考点07 三角函数的图像与性质（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）

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考点07  三角函数的图像与性质（核心考点讲与练）一、同角三角函数基本关系式与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__α cos__α －cos__α sin__α－sin__α 正切tan αtan__α－tan__α－tan__α  口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限 二、 三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象定义域RR{x x≠kπ＋}值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ－π，2kπ]递减区间[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)对称轴方程x＝kπ＋x＝kπ无三、 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x－－＋－ωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径4．三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.1.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解.(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.2.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.　 (3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.3．识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象.4.(1)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移 (ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.　三角函数图象性质1.（多选题）（2021湖北省新高考高三下2月质检）已知函数在上是减函数，则下列表述正确的是（　　）A.B.的单调递减区间为，C.a的最大值是，D.的最小正周期为2. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）A. 导函数为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间上是增函数D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到根据三角函数图象求解析式1.（2022年安徽省亳州市第一中学高三上学期9月检测）已知函数的部分图象如图所示，点，则将函数图象向左平移个单位长度，然后横坐标变为原来的2倍､纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式是（    ）A.    B.    C.    D.2 （2020广东省潮州市高三第二次模拟）函数的部分图象如图所示．则函数的单调递增区间为（　　）A. ， B. ，C. ， D. ，三角函数图象判断1.（2020江西省靖安中学高三上学期第二次月考）已知函数，则函数的部分图象可以为（    ）A.    B.    C.    D.2. . （2022广东省深圳市普通中学高三上学期质量评估）函数在上的图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 三角函数图象变换1.（2021浙江省金华十校高三模拟）已知奇函数的图象由函数的图象向左平移个单位后得到，则m可以是（    ）A.    B.    C.    D.2. （2020安徽省合肥市高三第三次教学质量检测）为了得到函数的图像，只需将函数的图像A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位1. （2021年全国高考乙卷）函数的最小正周期和最大值分别是（    ）A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和22. （2021年全国高考乙卷）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）A.  B. C.  D. 3. （2021年全国新高考Ⅰ卷）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）A.  B.  C.  D. 4. （2021年全国高考甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．一、单选题1．（2022·福建·模拟预测）已知为锐角，且，则（       ）A． B． C． D．2．（2022·辽宁锦州·一模）若，则的值为（       ）A． B． C． D．3．（2022·江西九江·二模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（       ）A． B． C． D．4．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知函数 的最小正周期为， 将其图象沿 轴向右平移 个单位， 所得函数为奇函数， 则实数的最小值为（       ）A． B． C． D．5．（2022·浙江·模拟预测）已知E，F分别是矩形ABCD边AD，BC的中点，沿EF将矩形ABCD翻折成大小为的二面角．在动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中，记二面角的大小为，则（       ）A．当时，sin先增大后减小B．当时，sin先减小后增大C．当时，sin先增大后减小D．当时，sin先减小后增大6．（2022·四川达州·二模（理））设，则下列说法正确的是（       ）A．值域为 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．7．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （       ）A． B．C． D．8．（2022·山西长治·模拟预测（理））若函数满足，则可以是（       ）A． B． C． D．9．（2022·天津·一模）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（       ）A．， B．，C．， D．，  10．（2022·新疆·模拟预测（理））我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（       ）A． B．C． D．11．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））己知函数在区间上单调，且满足.有下列结论：①；②若，则函数的最小正周期为；③关于x的方程在区间上最多有5个不相等的实数根；④若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为.其中正确的结论的个数为（       ）A．1 B．2 C．3 D．412．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ）A． B．在上单调递增C．在上的最小值为 D．直线平是的一条对称轴 13．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设从点运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h是关于t的函数.当时关于的图象，下列说法正确的是（       ）A．对称中心为B．对称中心为C．对称轴为D．对称轴为14．（2022·河南·模拟预测（理））密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为12－50，则该扇形的面积为（       ）A． B． C． D．二、多选题15．（2022·河北·模拟预测）已知角的终边经过点．则（       ）A． B．C． D． 16．（2022·重庆八中模拟预测）下列函数的图像中，与曲线有完全相同的对称中心的是(       )A． B．C． D．17．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知，则（       ）A．    B．    C．    D．   18．（2022·湖北·一模）已知函数，则(       )A．的图象关于对称 B．的最小正周期为C．的最小值为1 D．的最大值为三、解答题19．（2022·浙江宁波·二模）已知.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数在的取值范围.    20．（2022·天津三中一模）已知．(1)若，求使函数为偶函数；(2)在（1）成立的条件下，求满足，的的集合．     21．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)求的取值范围.     22．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数 .(1)求函数的最小正周期及其对称中心；(2)求函数在上的值域.    23．（2022·山东枣庄·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范围．