初中数学北师大版九年级上册3 用公式法求解一元二次方程完美版课件ppt

课题名

2.3.1用公式法求解一元二次方程

教学目标

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程．

2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程．

3．能够理解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式进行相关的计算或推理.

4.通过运用公式法解一元二次方程，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心.

教学重点

一元二次方程求根公式的推导和公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判定和计算.

教学难点

一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力.

教学准备

教师准备：熟悉课本好课件.

学生准备：复习配方法求，为公式法的推导做好准备.

教学过程

一、复习

用配方法解下面的一元二次方程：2x2-4x-1=0

学生完成后课件出示过程，学生订正．

总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．

(1)化二次项系数为1；

(2)移项；

(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；

(4)原方程变形为(x＋n)2＝p的形式；

(5)如果右边是非负数，直接开平方求出方程的解；如果右边是负数，一元二次方程无解．

二、探究新知

如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的根．

解方程：ax2+bx+c=0（a≠0)

方程的两边同除以____，得

配方，方程的两边同加上_______，得

因为a≠0，所以4a2>0

当b2-4ac≥0时，是一个非负数，此时两边开平方，得

即，

所以                  -

即

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0  (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0  (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提是:

  1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0);

  2.b2-4ac≥0.

三、例题讲解

例 解方程

（1）x2-7x-18=0             （2）4x2+1=4x

用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？

（1）先将方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式；

（2）确定a，b，c的值； (注意a，b，c的确定应包括各自的符号)

（3）求b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0，代入求根公式，                 即可求出一元二次方程的根.

解方程 x2-2x+3=0                          

配方法：

x2-2x+3=0

x2-2x=-3

x2-2x+1=-3+1

（x-1）2=-2

∵不论x为何值，（x-1）2都不能为负数，

∴此方程无解。

公式法：

解：已知a=1，b=-2，c=3.

∵b2-4ac=(-2)2-4×1×3

             =-8<0

你能发现什么？

归纳总结

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac<0时，它的根

的情况是怎样的？

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定，

我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别

式，通常用希腊字母“Δ”来表示.

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

当Δ=b2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根.

当Δ=b2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根.

当Δ=b2 - 4ac < 0时，方程无实数根.

四、过关练习

1.

答案 0  -3   8  由两个相等的实数根     没有实数根 

有两个不相等的实数根

2．用公式法解一元二次方程，得x＝，则该一元二次方程是           ．

答案3x2＋5x＋1＝0

3.下列方程，最适合用公式法求解的是(　　)

A．(x－1)2＝4      B．2x2＝8

C．x2－x－1＝0     D．2(x＋1)2－20＝0

答案C

4.方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分别为(　　)

A．3、1、4                   B．3、－1、－4

C．3、－4、－1           D．－1、3、－4

答案B

5.不解方程，判断下列方程根的情况：

(1)16y2＋9＝24y；                    (2)5(x2＋1)－7x＝0

解：方程化为16y2－24y＋9＝0，

Δ＝b2－4ac

＝(－24)2－4×16×9＝0，

∴此方程有两个相等的实数根．

解：方程化为5x2－7x＋5＝0，

Δ＝b2－4ac

＝(－7)2－4×5×5＝－51＜0，

∴此方程无实数根．

6.已知关于x的方程x2－(m＋1)x＋2(m－1)＝0.试说明：无论m取任何实数值，方程总有实数根．

证明：∵在关于x的方程x2－(m＋1)x＋2(m－1)＝0中，

Δ＝b2－4ac

＝[－(m＋1)]2－8(m－1)

＝m2＋2m＋1－8m＋8

＝m2－6m＋9

＝(m－3)2≥0，

∴无论m取任何实数值，方程总有实数根．

五、课堂总结

本节课你学到了什么？

用公式法解一元二次方程的一般步骤:

（1）先将方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式；

（2）确定a，b，c的值； (注意a，b，c的确定应包括各自的符号)

（3）求b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0，代入求根公式，即可求出一元二次方程的根.

布置作业

教材第43页习题2.5第1、2题.

板书设计

课题：2.3 用公式法求解一元二次方程

一、公式法

二、判别式

教学反思

这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.