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2022九年级数学上学期期中测试题新版湘教版
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这是一份2022九年级数学上学期期中测试题新版湘教版，共18页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022九年级数学上学期期中测试题 （新版）湘教版
一、选择题．（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填上符合题意的选项．本题共l0个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ）
A．y=3x B．y=﹣ C．y=x2+3 D．x+y=5
2．（3分）关于x的方程3x2﹣5=2x的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣2 B．3，2 C．3，5 D．5，2
3．（3分）一元二次方程2x2+x﹣3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．（3分）下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b=，c=2，d=4
C．a=4，b=5，c=8，d=10 D．a=2，b=3，c=4，d=5
5．（3分）反比例函数y=图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
6．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4=0时，配方后所得的方程为（ ）
A．（x﹣1）2=0 B．（x﹣1）2=5 C．（x+1）2=0 D．（x+1）2=5
7．（3分）若关于x的方程（m﹣1）x2+5x+2=0是一元二次方程，则m的值不能为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．0
8．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为108元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a%）2=108 B．200（1﹣a2%）=108 C．200（1﹣2a%）=108 D．200（1﹣a%）2=108
9．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
①若x2=a2，则x=a；
②方程2x（x﹣1）=x﹣1的解是x=0；
③已知三角形两边分别为2和6，第三边长是方程x2﹣8x+15=0的根，则这个三角形的周长11或13．
其中答案完全正确的题目个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）把方程（x+1）（3x﹣2）=10化为一元二次方程的一般形式后为．
12．（3分）一个四边形的各边之比为1：2：3：4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为cm．
13．（3分）若，则=．
14．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为．（无需确定x的取值范围）
15．（3分）若反比例函数y=（k≠0），在每个象限内，y随x的增大而减小，则一次函数y=kx+k的图象经过第象限．
16．（3分）已知线段AB=10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP≈cm．
17．（3分）如图（图象在第二象限），若点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为5，则k=．
18．（3分）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）
三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）用适当方法解方程：
（1）（x﹣1）（x+3）=12
（2）x（3x+2）=6（3x+2）
20．（6分）先化简，再求值：÷，其中x满足方程x2﹣x﹣2=0．
四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）设x1，x2是关于x的一元二次方程2x2+x﹣2=0的两个根，求下列各式的值：
（1）x1+x2
（2）x1•x2．
22．（8分）如图，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠1+∠2=90°．
求证：△ABC∽△CDE．
五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．
（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；
（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．
24．（9分）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，据此规律，请回答：
（1）设每件商品降价x元，则商场此商品可多售出 2x 件，此商品每件盈利 （50﹣x） 元，此商品每天可销售 （30+2x） 件．
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
26．（10分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△COE的面积；
（3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
一、选择题．（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填上符合题意的选项．本题共l0个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ）
A．y=3x B．y=﹣ C．y=x2+3 D．x+y=5
【考点】反比例函数的定义．
【分析】根据反比例函数的定义进行判断．
【解答】解：A、该函数是正比例函数，故本选项错误；
B、该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确；
C、该函数是二次函数，故本选项错误；
D、该函数是一次函数，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是（k≠0）．
2．（3分）关于x的方程3x2﹣5=2x的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣2 B．3，2 C．3，5 D．5，2
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】根据一元二次方程的一般形式，可得答案．
【解答】解：化为一般式，得
3x2﹣2x﹣5=0．
二次项系数和一次项系数分别是3，﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用移项化成一般式是解题关键．
3．（3分）一元二次方程2x2+x﹣3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=b2﹣4ac，找出△的正负，由此即可得出结论．
【解答】解：在方程2x2+x﹣3=0中，△=12﹣4×2×（﹣3）=25＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式，找出根的判别式△=b2﹣4ac=25＞0是解题的关键．
4．（3分）下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b=，c=2，d=4
C．a=4，b=5，c=8，d=10 D．a=2，b=3，c=4，d=5
【考点】比例线段．
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A、2×6=3×4，能成比例；
B、4×1=×2，能成比例；
C、4×10=5×8，能成比例；
D、2×5≠3×4，不能成比例．
故选D．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
5．（3分）反比例函数y=图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵k＞0，函数图象如图，
∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1＜1，
∴y2＜y1＜y3．
故选C．
【点评】本题考查了由反比例函数的图象确定y2，y1，y3的关系．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4=0时，配方后所得的方程为（ ）
A．（x﹣1）2=0 B．（x﹣1）2=5 C．（x+1）2=0 D．（x+1）2=5
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：x2﹣2x=4，
x2﹣2x+1=4+1，即（x﹣1）2=5，
故选：B
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．解决本题的关键是熟练掌握完全平方公式．
7．（3分）若关于x的方程（m﹣1）x2+5x+2=0是一元二次方程，则m的值不能为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得：m﹣1≠0，
m≠1，
故选A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点，也是本题列式的条件．
8．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为108元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a%）2=108 B．200（1﹣a2%）=108 C．200（1﹣2a%）=108 D．200（1﹣a%）2=108
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设平均每次降价为a%，根据题意可得，原价×（1﹣a%）2=售价，据此列方程．
【解答】解：由题意可得：200（1﹣a%）2=108．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
9．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】网格型．
【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．
【解答】解：根据勾股定理，AB==2，
BC==，
AC==，
所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，
A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故A选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故B选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故C选项错误；
D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．
10．（3分）下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
①若x2=a2，则x=a；
②方程2x（x﹣1）=x﹣1的解是x=0；
③已知三角形两边分别为2和6，第三边长是方程x2﹣8x+15=0的根，则这个三角形的周长11或13．
其中答案完全正确的题目个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；一元一次方程的解；三角形三边关系．
【分析】直接开平方可判断①；因式分解法求出方程的解可判断②；解方程求得根之后，由三角形三边间的关系可判断③．
【解答】解：①若x2=a2，则x=±a，错误；
②由2x（x﹣1）=x﹣1可得（x﹣1）（2x﹣1）=0，则方程的解是x=1或x=，错误；
③由方程x2﹣8x+15=0可得（x﹣3）（x﹣5）=0，
∴x=3或x=5，
当x=3时，2、3、6构不成三角形，舍去；
当x=5时，三角形的周长为2+5+6=13，错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查解方程的能力和三角形三边间的关系，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）把方程（x+1）（3x﹣2）=10化为一元二次方程的一般形式后为 3x2+x﹣12=0 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程整理为一般形式即可．
【解答】解：方程整理得：3x2+x﹣12=0，
故答案为：3x2+x﹣12=0
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=（a≠0）．
12．（3分）一个四边形的各边之比为1：2：3：4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为 20 cm．
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似多边形的对应边长的比等于相似比列式求解即可．
【解答】解：∵两个四边形相似，一个四边形的各边之比为1：2：3：4，
∴和它相似的多边形的对应边的比为1：2：3：4，
∵另一个四边形的最小边长为5cm，
∴最长边为4×5=20cm，
故答案为：20．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，比较简单，要注意对应边的确定．
13．（3分）若，则=．
【考点】分式的基本性质．
【专题】整体思想．
【分析】由，得a=，代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由，得a=，
∴=．
故答案为：．
【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．
14．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为 y=．（无需确定x的取值范围）
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【专题】跨学科．
【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y=，由于点（0.25，400）在此函数解析式上，故可先求得k的值．
【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y=，
由于点（0.25，400）在此函数解析式上，
∴k=0.25×400=100，
∴y=．
故答案为：y=．
【点评】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
15．（3分）若反比例函数y=（k≠0），在每个象限内，y随x的增大而减小，则一次函数y=kx+k的图象经过第 一、二、三 象限．
【考点】反比例函数的性质；一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据反比例函数的性质可得k＞0，然后再利用一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限可得答案．
【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴k＞0，
∴一次函数y=kx+k的图象经过第一、二、三象限，
故答案为：一、二、三．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，以及一次函数图象与系数的关系，关键是掌握反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
16．（3分）已知线段AB=10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP≈ 6.18 cm．
【考点】黄金分割．
【专题】计算题．
【分析】根据黄金分割的定义求解．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴AP=AB≈6.18（cm）．
故答案为6.18．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
17．（3分）如图（图象在第二象限），若点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为5，则k= ﹣10 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
【解答】解：因为△AMO的面积为5，
所以|k|=2×5=10．
又因为图象在二，四象限，k＜0，
所以k=﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
18．（3分）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是∠C=∠BAD （填一个即可）
【考点】相似三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】根据相似三角形的判定：
（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，
进行添加即可．
【解答】解：∵∠B=∠B（公共角），
∴可添加：∠C=∠BAD．
此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．
故答案可为：∠C=∠BAD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形判定的三种方法，本题答案不唯一．
三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）用适当方法解方程：
（1）（x﹣1）（x+3）=12
（2）x（3x+2）=6（3x+2）
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）先移项得到x（3x+2）﹣6（3x+2）=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2+2x﹣15=0，
（x+5）（x﹣3）=0，
x+5=0或x﹣3=0，
所以x1=﹣5，x2=3；
（2）x（3x+2）﹣6（3x+2）=0，
（3x+2）（x﹣6）=0，
3x+2=0或x﹣6=0，
所以x1=﹣，x2=6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
20．（6分）先化简，再求值：÷，其中x满足方程x2﹣x﹣2=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】化简分式可得原式=，解方程得x=2或x=﹣1，根据分式有意义的条件可得x=2，将x=2代入计算可得．
【解答】解：原式=•
=，
由x2﹣x﹣2=0得（x﹣2）（x+1）=0，
解得：x=2或x=﹣1，
∵x≠0且x≠±1，
∴x=2，
当x=2时，原式=1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值、解方程的能力，熟练掌握分式的混合运算的顺序和法则及解方程的方法是解题的关键．
四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）设x1，x2是关于x的一元二次方程2x2+x﹣2=0的两个根，求下列各式的值：
（1）x1+x2
（2）x1•x2．
【考点】根与系数的关系．
【分析】（1）根据根与系数的关系x1+x2=﹣，结合方程的系数即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系x1•x2=，结合方程的系数即可得出结论；
【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程2x2+x﹣2=0的两个根，
∴x1+x2=﹣；
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程2x2+x﹣2=0的两个根，
∴x1•x2=﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握x1+x2=﹣和x1•x2=是解题的关键．
22．（8分）如图，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠1+∠2=90°．
求证：△ABC∽△CDE．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据垂直的性质和给出的条件证明有两对角相等的两个三角形相似即可．
【解答】证明：∵AB⊥BC，ED⊥CD，
∴∠B=∠D=90°．
∴∠A+∠1=90°．
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，
∴△ABC∽△CDE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，常见的判定方法有
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．
（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；
（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD，即可求得EF：FA的值．
【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，
∵∠B=∠D，
∴∠DAE=∠D；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△BEF∽△AFD，
∴，
∵E为BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴EF：FA=1：2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
24．（9分）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】动点型．
【分析】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=2xcm，BQ=4xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分别从与分析，即可求得答案．
【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP=2xcm，BQ=4xcm，
∵AB=8cm，BC=16cm，
∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，
∵∠B是公共角，
∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，
解得：x=2；
②当，即时，△QBP∽△ABC，
解得：x=0.8，
∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，据此规律，请回答：
（1）设每件商品降价x元，则商场此商品可多售出 2x 件，此商品每件盈利 （50﹣x） 元，此商品每天可销售 （30+2x） 件．
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
【解答】解：（1）设每件商品降价x元，则商场此商品可多售出 2x件，此商品每件盈利 （50﹣x）元，此商品每天可销售 （30+2x）件．
故答案是：2x，（50﹣x），（30+2x）；
（2）解：设每件商品降价x元，由题意得：
（50﹣x）（30+2x）=2100，
化简得：x2﹣35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去．
∴x=20．
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．
26．（10分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△COE的面积；
（3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）点C（4，﹣3）坐标代入反比例函数y=即可求出k，C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点坐标代入y=ax+b解方程组即可求出a、b．由此即可解决问题．
（2）先求出点A坐标，根据S△COE=S△AOE+S△AOC计算即可．
（3）分三种情形①当CM=OC时，可得M1（8，0）．②当OC=OM时，可得M2（5，0），M3（﹣5，0）．②当MC=MO时，设M4（x，0），则有x2=（x﹣4）2+32，解方程即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点C（4，﹣3），
∴﹣3=，
∴k=﹣12，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
∵y=ax+b的图象经过C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+1．
（2）∵一次函数的解析式为y=﹣x+1与y轴交于点A（0，1）
∴S△COE=S△AOE+S△AOC=×1×3+×1×4=3.5．
（3）如图，∵C（4，﹣3），
∴OC==5，
①当CM=OC时，可得M1（8，0）．
②当OC=OM时，可得M2（5，0），M3（﹣5，0）．
②当MC=MO时，设M4（x，0），则有x2=（x﹣4）2+32，
解得x=，
∴M4（，0）．
综上所述，点M坐标为M1（8，0）或M2（5，0）或M3（﹣5，0）或M4（，0）．
【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2022九年级数学上学期期中测试题 （新版）湘教版
一、选择题．（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填上符合题意的选项．本题共l0个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ）
A．y=3x B．y=﹣ C．y=x2+3 D．x+y=5
2．（3分）关于x的方程3x2﹣5=2x的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣2 B．3，2 C．3，5 D．5，2
3．（3分）一元二次方程2x2+x﹣3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．（3分）下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b=，c=2，d=4
C．a=4，b=5，c=8，d=10 D．a=2，b=3，c=4，d=5
5．（3分）反比例函数y=图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
6．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4=0时，配方后所得的方程为（ ）
A．（x﹣1）2=0 B．（x﹣1）2=5 C．（x+1）2=0 D．（x+1）2=5
7．（3分）若关于x的方程（m﹣1）x2+5x+2=0是一元二次方程，则m的值不能为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．0
8．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为108元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a%）2=108 B．200（1﹣a2%）=108 C．200（1﹣2a%）=108 D．200（1﹣a%）2=108
9．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
①若x2=a2，则x=a；
②方程2x（x﹣1）=x﹣1的解是x=0；
③已知三角形两边分别为2和6，第三边长是方程x2﹣8x+15=0的根，则这个三角形的周长11或13．
其中答案完全正确的题目个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）把方程（x+1）（3x﹣2）=10化为一元二次方程的一般形式后为．
12．（3分）一个四边形的各边之比为1：2：3：4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为cm．
13．（3分）若，则=．
14．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为．（无需确定x的取值范围）
15．（3分）若反比例函数y=（k≠0），在每个象限内，y随x的增大而减小，则一次函数y=kx+k的图象经过第象限．
16．（3分）已知线段AB=10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP≈cm．
17．（3分）如图（图象在第二象限），若点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为5，则k=．
18．（3分）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）
三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）用适当方法解方程：
（1）（x﹣1）（x+3）=12
（2）x（3x+2）=6（3x+2）
20．（6分）先化简，再求值：÷，其中x满足方程x2﹣x﹣2=0．
四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）设x1，x2是关于x的一元二次方程2x2+x﹣2=0的两个根，求下列各式的值：
（1）x1+x2
（2）x1•x2．
22．（8分）如图，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠1+∠2=90°．
求证：△ABC∽△CDE．
五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．
（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；
（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．
24．（9分）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，据此规律，请回答：
（1）设每件商品降价x元，则商场此商品可多售出 2x 件，此商品每件盈利 （50﹣x） 元，此商品每天可销售 （30+2x） 件．
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
26．（10分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△COE的面积；
（3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
一、选择题．（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填上符合题意的选项．本题共l0个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ）
A．y=3x B．y=﹣ C．y=x2+3 D．x+y=5
【考点】反比例函数的定义．
【分析】根据反比例函数的定义进行判断．
【解答】解：A、该函数是正比例函数，故本选项错误；
B、该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确；
C、该函数是二次函数，故本选项错误；
D、该函数是一次函数，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是（k≠0）．
2．（3分）关于x的方程3x2﹣5=2x的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣2 B．3，2 C．3，5 D．5，2
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】根据一元二次方程的一般形式，可得答案．
【解答】解：化为一般式，得
3x2﹣2x﹣5=0．
二次项系数和一次项系数分别是3，﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用移项化成一般式是解题关键．
3．（3分）一元二次方程2x2+x﹣3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=b2﹣4ac，找出△的正负，由此即可得出结论．
【解答】解：在方程2x2+x﹣3=0中，△=12﹣4×2×（﹣3）=25＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式，找出根的判别式△=b2﹣4ac=25＞0是解题的关键．
4．（3分）下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b=，c=2，d=4
C．a=4，b=5，c=8，d=10 D．a=2，b=3，c=4，d=5
【考点】比例线段．
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A、2×6=3×4，能成比例；
B、4×1=×2，能成比例；
C、4×10=5×8，能成比例；
D、2×5≠3×4，不能成比例．
故选D．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
5．（3分）反比例函数y=图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵k＞0，函数图象如图，
∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1＜1，
∴y2＜y1＜y3．
故选C．
【点评】本题考查了由反比例函数的图象确定y2，y1，y3的关系．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4=0时，配方后所得的方程为（ ）
A．（x﹣1）2=0 B．（x﹣1）2=5 C．（x+1）2=0 D．（x+1）2=5
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：x2﹣2x=4，
x2﹣2x+1=4+1，即（x﹣1）2=5，
故选：B
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．解决本题的关键是熟练掌握完全平方公式．
7．（3分）若关于x的方程（m﹣1）x2+5x+2=0是一元二次方程，则m的值不能为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得：m﹣1≠0，
m≠1，
故选A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点，也是本题列式的条件．
8．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为108元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a%）2=108 B．200（1﹣a2%）=108 C．200（1﹣2a%）=108 D．200（1﹣a%）2=108
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设平均每次降价为a%，根据题意可得，原价×（1﹣a%）2=售价，据此列方程．
【解答】解：由题意可得：200（1﹣a%）2=108．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
9．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】网格型．
【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．
【解答】解：根据勾股定理，AB==2，
BC==，
AC==，
所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，
A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故A选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故B选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故C选项错误；
D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．
10．（3分）下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
①若x2=a2，则x=a；
②方程2x（x﹣1）=x﹣1的解是x=0；
③已知三角形两边分别为2和6，第三边长是方程x2﹣8x+15=0的根，则这个三角形的周长11或13．
其中答案完全正确的题目个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；一元一次方程的解；三角形三边关系．
【分析】直接开平方可判断①；因式分解法求出方程的解可判断②；解方程求得根之后，由三角形三边间的关系可判断③．
【解答】解：①若x2=a2，则x=±a，错误；
②由2x（x﹣1）=x﹣1可得（x﹣1）（2x﹣1）=0，则方程的解是x=1或x=，错误；
③由方程x2﹣8x+15=0可得（x﹣3）（x﹣5）=0，
∴x=3或x=5，
当x=3时，2、3、6构不成三角形，舍去；
当x=5时，三角形的周长为2+5+6=13，错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查解方程的能力和三角形三边间的关系，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）把方程（x+1）（3x﹣2）=10化为一元二次方程的一般形式后为 3x2+x﹣12=0 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程整理为一般形式即可．
【解答】解：方程整理得：3x2+x﹣12=0，
故答案为：3x2+x﹣12=0
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=（a≠0）．
12．（3分）一个四边形的各边之比为1：2：3：4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为 20 cm．
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似多边形的对应边长的比等于相似比列式求解即可．
【解答】解：∵两个四边形相似，一个四边形的各边之比为1：2：3：4，
∴和它相似的多边形的对应边的比为1：2：3：4，
∵另一个四边形的最小边长为5cm，
∴最长边为4×5=20cm，
故答案为：20．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，比较简单，要注意对应边的确定．
13．（3分）若，则=．
【考点】分式的基本性质．
【专题】整体思想．
【分析】由，得a=，代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由，得a=，
∴=．
故答案为：．
【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．
14．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为 y=．（无需确定x的取值范围）
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【专题】跨学科．
【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y=，由于点（0.25，400）在此函数解析式上，故可先求得k的值．
【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y=，
由于点（0.25，400）在此函数解析式上，
∴k=0.25×400=100，
∴y=．
故答案为：y=．
【点评】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
15．（3分）若反比例函数y=（k≠0），在每个象限内，y随x的增大而减小，则一次函数y=kx+k的图象经过第 一、二、三 象限．
【考点】反比例函数的性质；一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据反比例函数的性质可得k＞0，然后再利用一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限可得答案．
【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴k＞0，
∴一次函数y=kx+k的图象经过第一、二、三象限，
故答案为：一、二、三．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，以及一次函数图象与系数的关系，关键是掌握反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
16．（3分）已知线段AB=10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP≈ 6.18 cm．
【考点】黄金分割．
【专题】计算题．
【分析】根据黄金分割的定义求解．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴AP=AB≈6.18（cm）．
故答案为6.18．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
17．（3分）如图（图象在第二象限），若点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为5，则k= ﹣10 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
【解答】解：因为△AMO的面积为5，
所以|k|=2×5=10．
又因为图象在二，四象限，k＜0，
所以k=﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
18．（3分）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是∠C=∠BAD （填一个即可）
【考点】相似三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】根据相似三角形的判定：
（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，
进行添加即可．
【解答】解：∵∠B=∠B（公共角），
∴可添加：∠C=∠BAD．
此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．
故答案可为：∠C=∠BAD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形判定的三种方法，本题答案不唯一．
三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）用适当方法解方程：
（1）（x﹣1）（x+3）=12
（2）x（3x+2）=6（3x+2）
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）先移项得到x（3x+2）﹣6（3x+2）=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2+2x﹣15=0，
（x+5）（x﹣3）=0，
x+5=0或x﹣3=0，
所以x1=﹣5，x2=3；
（2）x（3x+2）﹣6（3x+2）=0，
（3x+2）（x﹣6）=0，
3x+2=0或x﹣6=0，
所以x1=﹣，x2=6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
20．（6分）先化简，再求值：÷，其中x满足方程x2﹣x﹣2=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】化简分式可得原式=，解方程得x=2或x=﹣1，根据分式有意义的条件可得x=2，将x=2代入计算可得．
【解答】解：原式=•
=，
由x2﹣x﹣2=0得（x﹣2）（x+1）=0，
解得：x=2或x=﹣1，
∵x≠0且x≠±1，
∴x=2，
当x=2时，原式=1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值、解方程的能力，熟练掌握分式的混合运算的顺序和法则及解方程的方法是解题的关键．
四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）设x1，x2是关于x的一元二次方程2x2+x﹣2=0的两个根，求下列各式的值：
（1）x1+x2
（2）x1•x2．
【考点】根与系数的关系．
【分析】（1）根据根与系数的关系x1+x2=﹣，结合方程的系数即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系x1•x2=，结合方程的系数即可得出结论；
【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程2x2+x﹣2=0的两个根，
∴x1+x2=﹣；
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程2x2+x﹣2=0的两个根，
∴x1•x2=﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握x1+x2=﹣和x1•x2=是解题的关键．
22．（8分）如图，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠1+∠2=90°．
求证：△ABC∽△CDE．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据垂直的性质和给出的条件证明有两对角相等的两个三角形相似即可．
【解答】证明：∵AB⊥BC，ED⊥CD，
∴∠B=∠D=90°．
∴∠A+∠1=90°．
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，
∴△ABC∽△CDE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，常见的判定方法有
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．
（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；
（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD，即可求得EF：FA的值．
【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，
∵∠B=∠D，
∴∠DAE=∠D；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△BEF∽△AFD，
∴，
∵E为BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴EF：FA=1：2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
24．（9分）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】动点型．
【分析】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=2xcm，BQ=4xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分别从与分析，即可求得答案．
【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP=2xcm，BQ=4xcm，
∵AB=8cm，BC=16cm，
∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，
∵∠B是公共角，
∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，
解得：x=2；
②当，即时，△QBP∽△ABC，
解得：x=0.8，
∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，据此规律，请回答：
（1）设每件商品降价x元，则商场此商品可多售出 2x 件，此商品每件盈利 （50﹣x） 元，此商品每天可销售 （30+2x） 件．
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
【解答】解：（1）设每件商品降价x元，则商场此商品可多售出 2x件，此商品每件盈利 （50﹣x）元，此商品每天可销售 （30+2x）件．
故答案是：2x，（50﹣x），（30+2x）；
（2）解：设每件商品降价x元，由题意得：
（50﹣x）（30+2x）=2100，
化简得：x2﹣35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去．
∴x=20．
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．
26．（10分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△COE的面积；
（3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）点C（4，﹣3）坐标代入反比例函数y=即可求出k，C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点坐标代入y=ax+b解方程组即可求出a、b．由此即可解决问题．
（2）先求出点A坐标，根据S△COE=S△AOE+S△AOC计算即可．
（3）分三种情形①当CM=OC时，可得M1（8，0）．②当OC=OM时，可得M2（5，0），M3（﹣5，0）．②当MC=MO时，设M4（x，0），则有x2=（x﹣4）2+32，解方程即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点C（4，﹣3），
∴﹣3=，
∴k=﹣12，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
∵y=ax+b的图象经过C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+1．
（2）∵一次函数的解析式为y=﹣x+1与y轴交于点A（0，1）
∴S△COE=S△AOE+S△AOC=×1×3+×1×4=3.5．
（3）如图，∵C（4，﹣3），
∴OC==5，
①当CM=OC时，可得M1（8，0）．
②当OC=OM时，可得M2（5，0），M3（﹣5，0）．
②当MC=MO时，设M4（x，0），则有x2=（x﹣4）2+32，
解得x=，
∴M4（，0）．
综上所述，点M坐标为M1（8，0）或M2（5，0）或M3（﹣5，0）或M4（，0）．
【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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