高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件多媒体教学ppt课件

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1.了解真命题与推出符号的关系,领会符号语言的优越性.(数学抽象)2.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.(逻辑推理)3.掌握证明充要条件的一般方法.(逻辑推理)
[激趣诱思]上午上学时,小明上学迟到了,老师问小明为什么迟到了,小明对老师说:“老师,今天早上我起来晚了”,老师说:“你的理由很充分啊!”老师为什么说小明的理由很充分呢?通过本节课的学习,你就能找出答案.
知识点一:充分条件与必要条件一般地,“若p,则q”为真命题,就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.名师点析 1.在逻辑推理中“p⇒q”的几种说法(1)“如果p,那么q”为真命题.(2)p是q的充分条件.(3)q是p的必要条件.(4)p的必要条件是q.(5)q的充分条件是p.这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
2.对充分条件的理解(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论或使此结论成立.(2)只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立,例如x=6⇒x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分条件.3.对必要条件的理解(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.(2)“p是q的必要条件”的理解:若有q,则必须有p;而具备了p,不一定有q.
微思考(1)已知“若p,则q”为真命题,说明p与q之间有什么关系?提示 说明当p成立时,一定能得出q成立.即由p通过推理可以得出q.这时我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q.(2)类似地,如果“若p,则q”为假命题,说明p与q之间有什么关系?提示 说明由条件p不能推出结论q,记作p q.(3)若p是q的充分条件,p是唯一的吗?q是唯一的吗?提示 不一定唯一.凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如x>2是x>1的充分条件,x>5、x>10等都是x>1的充分条件;凡是能由条件p推出的结论都是它的必要条件,如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件,“内错角相等”“同旁内角互补”等都是“两直线平行”的必要条件.
知识点二:充要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作 p⇔q .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.名师点析 1.对充要条件的两点说明(1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.(2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.
2.常见的四种条件与命题真假的关系如果有命题“若p,则q”和“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形:
微思考(1)我们知道,当“x>1”成立时,能推出“x>0”.那么“x>0”的充分条件是否只能是“x>1”?提示 不是.使结论“x>0”成立的条件并不唯一,如“x>1.2”,“30”是“x>1”的必要条件.那么“x>1”的必要条件是否只能是“x>0”?提示 不是.例如“x>1”还能推出“x>-1”“x≥ ”等,这些都是“x>1”成立的必要条件.
微练习已知A,B,C是△ABC的三个内角,则“A+C=2B”是“B=60°”的(　　)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C
例1(1)判断下列各题中,p是不是q的充分条件:①p:a∈Q,q:a∈R.②p:a1.④p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.⑤在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.⑥已知a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.
(2)判断下列各题中,q是不是p的必要条件:①p:|x|=|y|,q:x=y.②p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形.③p:x=1,q:x-1= .④p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.⑤p:a是自然数,q:a是正整数.
分析(1)逐个判断“若p,则q”是否为真命题.(2)逐个判断“若p,则q”是否为真命题.
解 (1)①由于Q⫋R,所以p⇒q,所以p是q的充分条件.②由于a0时, 1可以推出x2>1.因此p⇒q,所以p是q的充分条件.④设A={a|(a-2)(a-3)=0},B={3},则B⫋A.因此p q,所以p不是q的充分条件.⑤由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC.因此,p⇒q,所以p是q的充分条件.⑥因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p⇒q,所以p是q的充分条件.
(2)①若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此p q,所以q不是p的必要条件.②直角三角形不一定是等腰三角形.因此p q,所以q不是p的必要条件.③当x=1时,x-1= =0,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.④设A={x|-2≤x≤5},B={x|-1≤x≤5},则B⫋A,所以p q,所以q不是p的必要条件.⑤0是自然数,但0不是正整数,所以p q,所以q不是p的必要条件.
反思感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法:①确定谁是条件,谁是结论.②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.(2)集合转化法:如果条件p和结论q都是集合,那么若p⊆q,则p是q的充分条件;若p⊇q,则p是q的必要条件;若p=q,则p既是q的充分条件,又是q的必要条件.(3)命题判断法:①如果“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.②如果“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
变式训练1指出下列命题中,p是q的什么条件.(1)p:实数a能被6整除,q:实数a能被3整除;(2)已知实数a,b,p:a+b>0,q:ab>0;(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;(4)p:x,y不全为0,q:x+y≠0.
解 (1)实数a能被6整除,则一定能被3整除,反之不一定成立.即p⇒q,q p,则p是q的充分不必要条件;(2)若a+b>0,取a=3,b=-2,则ab>0不成立;反之,若ab>0,取a=-2,b=-3,则a+b>0也不成立,因此“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件;(3)△ABC中,有两个角相等时为等腰三角形,不一定为正三角形,即p q,且q⇒p,则p是q的必要不充分条件;(4)当x,y不全为0时,x+y=0可以成立,如x=-3,y=3,而x+y≠0时,x,y一定不全为0,这是因为若x,y全为0,则必有x+y=0,即q⇒p且p q,则p是q的必要不充分条件.
例2(多选题)(2021湖北武汉武昌高一期末)已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,下列说法正确的是(　　)A.r是q的充要条件B.p是q的充分不必要条件C.r是q的必要不充分条件D.r是s的充分不必要条件答案 AB解析 由已知有p⇒r,q⇒r,r⇒s,s⇒q,由此得r⇒q且q⇒r,A正确,C不正确,p⇒q,B正确,r⇒s且s⇒r,因此D不正确,故选AB.
要点笔记 涉及多个条件与结论之间的充分条件、必要条件的判断,可以借助各个条件与结论之间的推出关系,结合充分条件、必要条件的定义判断.
变式训练2如果A是B的必要不充分条件,B是C的充要条件,D是C的充分不必要条件,那么A是D的(　　)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意,得A B,B⇔C,C D,所以A不是D的充分条件;又D⇒C,C⇔B,B⇒A,所以A是D的必要条件,故选A.
例3求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明 因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程有一个根为1,所以a+b+c=0⇒方程ax2+bx+c=0有一个根为1.因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1⇒a+b+c=0,从而a+b+c=0⇔方程ax2+bx+c=0有一个根为1,因此方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
反思感悟 充要条件的证明 (1)根据充要条件的定义,证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明:一般地,证明“p成立的充要条件为q”;①充分性:把q当作已知条件,结合命题的前提条件,推出p;②必要性:把p当作已知条件,结合命题的前提条件,推出q.解题的关键是分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求.(2)在证明过程中,若能保证每一步推理都有等价性(⇔),也可以直接证明充要性.
延伸探究 将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”,“a+b+c=0”改为“ac