初中数学北师大版九年级下册第三章 圆3 垂径定理示范课课件ppt

这是一份初中数学北师大版九年级下册第三章 圆3 垂径定理示范课课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了它有无数条对称轴，由①CD是直径，②CD⊥AB，可推得，③AEBE，④ACBC，⑤ADBD，符号语言，图形语言，文字语言等内容，欢迎下载使用。

2.它的对称轴是什么?
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线
3.你能找到多少条对称轴？
1.圆是轴对称图形吗？
1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧
２.连接圆上任意两点的线段叫做弦.
３.经过圆心的弦叫做直径.
直径是弦，但弦不一定是直径；
半圆是弧，但弧不一定是半圆；
半圆既不是劣弧，也不是优弧.
1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在 的直线是它的对称轴
（2）线段：AE=BE
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、 分别与 、 重合。
连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAE和Rt△OBE中,
∵OA=OB，OE=OE，
∴Rt△OAE≌Rt△OBE.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?
垂径定理的几个基本图形：
注意：垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段
例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB.
在⊙O中，直径CD⊥AB，
△OMA是直角三角形.
∴ AO = CO = 10.
∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6.
在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6，
∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16.
例2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
解:作OG⊥AB，∵AG=BG,CG=DG，∴AC=BD.
例3.如图,一条公路的转弯处是 一段圆弧(即图中 ,点O是 所在圆的圆心),其中CD=600m,E是 上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.
赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R m.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为点D，与AB交于点C，连结OA.根据垂径定理，则D是AB 的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
由题设可知，AB=37m，CD=7.23m，
∴ AD= BD=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.
即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
弦a，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r
如图a、b,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
2cm或12cm
半径为５的圆中，有两条平行弦AB 和CD，并且AB =６,CD=８，求AB和CD间的距离.
思考问题一定要全面，注意数学中分类讨论的思想
如图，AB(非直径)是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
特别说明：圆的任意两条直径都是互相平分的.
其实垂径定理可以进一步地推广，
以上五个条件中， 只要其中任意两个成立， 就可以得到另外三个结论．
这就是所谓的“知二推三”
④ AC =BC ⑤ AD =BD.
③ AE=BE(AB不是直径）
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　　必平分此弦所对的弧
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
　 ②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线一定经过圆心
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
1.（上海·中考）如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________.
【解析】由垂径定理得AN=CN，AM=BM，所以BC=2MN=6.
2.（芜湖·中考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
3．（烟台·中考）如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤正确结论的个数是（ ）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DEC．OE＝ CE D．∠AOC＝60°
5.（襄阳·中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（ ）A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm