江苏省泰州中学附属初级中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)

这是一份江苏省泰州中学附属初级中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省泰州中学附属初级中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上）
1．（3分）下面说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）某银行经过最近两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，设平均每次降息的百分率为x，则可列方程为（　　）
A．2×2.25%（1﹣x）＝1.98% B．2.25%（1﹣2x）＝1.98%
C．1.98%（1+x）＝2.25% D．2.25%（1﹣x）2＝1.98%
4．（3分）已知方程x2﹣3x﹣m2＝0的两个根分别为x1、x2，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1x2＜0
C．x1≠x2 D．方程的根有可能为0
5．（3分）若x＝a，代数式的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF．
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）使分式有意义的x的取值范围是　 　．
8．（3分）一个不透明的盒子中装有3个黄球，6个红球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为　 　．
9．（3分）x1，x2为方程x2﹣4x﹣2020＝0的两根，则x12﹣x1+3x2的值为 　 　．
10．（3分）若关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m的值为　 　．
11．（3分）观察反比例函数y＝的图象，当y＞﹣2时，x的取值范围是 　 　．
12．（3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D＝α，则∠BEF的度数为　 　（用含α的式子表示）．

13．（3分）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2＝4，则2a+b＝　 　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 　 　．

15．（3分）定义：作▱ABCD的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为▱ABCD的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 　 　．

16．（3分）如图，矩形ABCD被分成四部分．其中△CEF、△ABE、△ADF的面积分别是3、4、5，则△AEF的面积为　 　．

三、解答题（本大题共有10题共102分.请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（16分）计算：
（1）（3.14﹣π）0﹣|1﹣；
（2）a；
解方程：（3）x2+6x﹣1＝0（用配方法解）；
（4）+1．
18．（8分）先化简，再求值：．其中x为x2﹣3x﹣4＝0的根．
19．（8分）端午节，某学校数学兴趣小组到社区参加社会实践活动，帮助有关部门了解某小区居民对去年销量较好的鲜花粽、火腿粽、豆沙粽、蛋黄粽四种粽子的喜爱情况．在对该小区居民进行抽样调查后，根据统计结果绘制如下统计图：

说明：参与本次抽样调查的每一位居民在上述四种粽子中选择且只选择了一种喜爱的粽子．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）对于这次调查，下列推断合理的序号是 　 　；
①调查的样本容量是200；
②个体是每个居民；
③扇形统计图中鲜花粽的圆心角的度数为125°；
④扇形统计图主要表示总体中各部分所占的百分比．
（3）若该小区有1820人，估计喜爱火腿粽的有多少人？
20．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+2n＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n＞﹣3，方程的根都是整数，求n的值．
21．（10分）在▱ABCD中，
（1）若∠A＝60°，如图1，点E、F分别是边AB、AD的中点，AB＝5，AD＝8，求EF的长；
（2）若∠A＝90°，如图2，点E、F分别是边AB、BC的中点，请仅用无刻度的直尺在图2中画一个以EF为边的菱形．


22．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有3个选项：①AF⊥EG②AF＝EG．

（1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是 　 　，结论是 　 　（只要填写序号）；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，直接写出AG+EF的最小值．

24．（10分）定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形ABCD的边AD∥BC∥x轴，AB∥CD∥y轴，且顶点A、C在反比例函数（k≠0）的图象上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”．

解决问题：（1）已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 　 　；（填序号）
（2）如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式；
（3）若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．

25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．
（1）如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．
（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．
（3）当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．

26．（14分）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+2及双曲线y＝（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m（m＞0）.
（1）如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．
（2）如图②过C、D两点分别作CC′∥y轴∥DD'交直线AB于C'，D'，当CD∥AB时，
①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．
②若k＝6，且满足m＝a﹣4+，求d的最大值．


江苏省泰州中学附属初级中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上）
1．（3分）下面说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【解答】解：A．3与不能合并，所以A选项不符合题意；
B． 与不能合并，所以B选项不符合题意；
C．原式＝＝3，所以C选项符合题意；
D．原式＝2，所以D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形，正确掌握中心对称图形的概念是解题关键．
3．（3分）某银行经过最近两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，设平均每次降息的百分率为x，则可列方程为（　　）
A．2×2.25%（1﹣x）＝1.98% B．2.25%（1﹣2x）＝1.98%
C．1.98%（1+x）＝2.25% D．2.25%（1﹣x）2＝1.98%
【分析】根据一年期存款的原年利率及经过两次降息后的年利率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：2.25%（1﹣x）2＝1.98%．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（3分）已知方程x2﹣3x﹣m2＝0的两个根分别为x1、x2，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1x2＜0
C．x1≠x2 D．方程的根有可能为0
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式逐一进行判断即可．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴Δ＝9+4m2＞0，
∴x1≠x2，
故C选项不符合题意；
∵x1+x2＝3＞0，
故A选项不符合题意；
∵x1x2＝﹣m2≤0，
∴方程的根有可能为0，
故B选项符合题意，D选项不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
5．（3分）若x＝a，代数式的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】由x＝a，代数式的值为﹣1，可得（a+1）2+＝0，即得a＝﹣1，n＝2，即可得到答案．
【解答】解：∵x＝a，代数式的值为﹣1，
∴a2+2a+＝﹣1，
∴（a+1）2+＝0，
∴a＝﹣1，n＝2，
∴当x＝﹣a时，

＝（﹣a）2﹣2a+
＝12+2+0
＝3．
故选：D．
【点评】本题考查求代数式的值，解题的关键是根据非负数的性质求出a、n的值．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF．
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C．

【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）使分式有意义的x的取值范围是　x≠﹣2　．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x+2≠0，
解得x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
8．（3分）一个不透明的盒子中装有3个黄球，6个红球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为　　．
【分析】由于一个不透明的盒子中装有3个黄球，6个红球，这些球除了颜色外无其他差别，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有3个黄球，6个红球，这些球除了颜色外无其他差别，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为：＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（3分）x1，x2为方程x2﹣4x﹣2020＝0的两根，则x12﹣x1+3x2的值为 　2032　．
【分析】根据x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两根，可得x12﹣4x1﹣2020＝0，x1+x2＝4，即可得出．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两根，
则x12﹣4x1﹣2020＝0，x1+x2＝4，
∴x12﹣x1+3x2＝x12﹣4x1+3x1+3x2＝2020+12＝2032，
故答案为：2032．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、方程的根，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（3分）若关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m的值为　1或3　．
【分析】先根据分式方程的解法即求出x的表达式，然后根据题意求出m的范围即可求出答案．
【解答】解：x＝2（x﹣2）+m，
x＝2x﹣4+m
x＝4﹣m
将x＝4﹣m代入x﹣2≠0，
∴m≠2
∵x＞0
∴m＜4，
∵m是正整数，
∴0＜m＜4且m≠2
∴m＝1或3
故答案为：1或3
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是求出m的范围，本题属于中等题型．
11．（3分）观察反比例函数y＝的图象，当y＞﹣2时，x的取值范围是 　x＜﹣1或x＞0　．
【分析】直接画出反比例函数图象，再利用反比例函数的性质结合图象得出x的取值范围．
【解答】解：当y＝﹣2时，x＝﹣1，如图所示：
则当y＞﹣2时，x的取值范围是：x＜﹣1或x＞0．
故答案为：x＜﹣1或x＞0．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．
12．（3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D＝α，则∠BEF的度数为　270°﹣3α　（用含α的式子表示）．

【分析】根据直角三角形的性质得到∠DAC＝90°﹣α，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到∠CEB＝180°﹣2α，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF＝∠D＝α，结合图形计算即可．
【解答】解：∵∠ACD＝90°，∠D＝α，
∴∠DAC＝90°﹣α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC＝90°﹣α，
∵∠ABC＝90°，E为AC的中点，
∴BE＝AE＝EC，
∴∠EAB＝∠EBA＝90°﹣α，
∴∠CEB＝180°﹣2α，
∵E、F分别为AC、CD的中点，
∴EF∥AD，
∴∠CFE＝∠D＝α，
∴∠BEF＝180°﹣2α+90°﹣α＝270°﹣3α，
故答案为：270°﹣3α．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
13．（3分）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2＝4，则2a+b＝　4　．
【分析】只需首先对7﹣估算出大小，从而求出其整数部分m，其小数部分用7﹣﹣m表示．再分别代入amn+bn2＝4进行计算．求出m，n的值，代入2a+b即得结果．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴5＞7﹣＞4，
∴m＝4，n＝7﹣﹣4＝3﹣，
∵amn+bn2＝4，
∴4（3﹣）a+b（3﹣）2＝4，
化简得（12a+16b）﹣（4a+6b）＝4，
等式两边相对照，因为结果不含
∴（12a+16b）＝4且（4a+6b）＝0，
解得a＝3，b＝﹣2，
∴2a+b＝2×3﹣2＝6﹣2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 　6　．

【分析】根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
【解答】解：过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，
根据题意可知，AC＝OE＝BD，
设AC＝OE＝BD＝a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，
∴四边形HFGO的面积为2（a+），
∴k＝4a＝2（a+），
解得：a＝，
∴k＝6．
故答案为：6．

【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
15．（3分）定义：作▱ABCD的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为▱ABCD的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 　2≤m≤4　．

【分析】根据平行四边形的性质可得∠BPC＝90°，当点Q与点C重合时，当点Q与点D重合时，分别作图，根据全等三角形的性质求出m的值，即可确定m的取值范围．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BP平分∠ABC，PC平分∠BCD，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝90°，
∴∠BPC＝90°，
当点Q与点C重合时，如图所示：

∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵∠BPC＝90°，
∴∠APB＝∠BPC＝90°，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（ASA），
∴AB＝BC，
∵BC＝4，
∴m＝4，
当点Q与点D重合时，如图所示：

延长CP交BA的延长线于点K，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵∠BPC＝90°，
∴∠KPB＝∠BPC＝90°，
∵BP＝BP，
∴△KBP≌△CBP（ASA），
∴BK＝BC，KP＝CP，
∵AB∥CD，
∴∠K＝∠DCP，
又∵∠KPA＝∠CPD，
∴△KPA≌△CPD（ASA），
∴CD＝AK，
∵AB＝CD，
∴BC＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴m＝2，
综上所述：当点Q落在线段CD上时，m的取值范围是2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与新定义的综合，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，矩形ABCD被分成四部分．其中△CEF、△ABE、△ADF的面积分别是3、4、5，则△AEF的面积为　8　．

【分析】如图设AB＝a，AD＝b，CF＝c，EC＝d，列出方程组求出ab即可解决问题．
【解答】解：如图设AB＝a，AD＝b，CF＝c，EC＝d，
由题意
由②得到ad＝ab﹣8 ④
由③得到bc＝ab﹣10 ⑤
④×⑤得到：abcd＝（ab）2﹣18ab+80，
∵cd＝6，
∴（ab）2﹣24ab+80＝0，
∴ab＝20（或4不合题意舍弃），
∴△AEF的面积＝S矩形ABCD﹣S△ECF﹣S△ABE﹣S△ADF＝20﹣3﹣4﹣5＝8．
故答案为8．

【点评】本题考查矩形的性质、方程组等知识，解题的关键是利用方程组解决问题，解方程组时注意解题技巧，把ab看成整体，转化为关于ab的方程，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共有10题共102分.请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（16分）计算：
（1）（3.14﹣π）0﹣|1﹣；
（2）a；
解方程：（3）x2+6x﹣1＝0（用配方法解）；
（4）+1．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（4）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（3.14﹣π）0﹣|1﹣
＝1﹣（﹣1）+2﹣2
＝1﹣+1+2﹣2
＝4﹣3；
（2）a
＝2a﹣a+2a
＝a；
（3）x2+6x﹣1＝0，
x2+6x＝1，
x2+6x+9＝10，
（x+3）2＝10，
x+3＝±，
x+3＝或x+3＝﹣，
x1＝﹣3，x2＝﹣﹣3；
（4）+1，
x（x﹣1）＝2（x+2）+（x+2）（x﹣1），
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，（x+2）（x﹣1）≠0，
∴x＝﹣是原方程的根．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，二次根式的混合运算，解分式方程，零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）先化简，再求值：．其中x为x2﹣3x﹣4＝0的根．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后求出x2﹣3x﹣4＝0的解，将使得原分式有意义的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x2﹣3x﹣4＝0时，
∴x1＝4，x2＝﹣1，
∵分母x+1≠0，
∴x≠﹣1
∴当x＝4时，
原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值及解一元二次方程，解题的关键是掌握分式运算法则及解一元二次方程的步骤．
19．（8分）端午节，某学校数学兴趣小组到社区参加社会实践活动，帮助有关部门了解某小区居民对去年销量较好的鲜花粽、火腿粽、豆沙粽、蛋黄粽四种粽子的喜爱情况．在对该小区居民进行抽样调查后，根据统计结果绘制如下统计图：

说明：参与本次抽样调查的每一位居民在上述四种粽子中选择且只选择了一种喜爱的粽子．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）对于这次调查，下列推断合理的序号是 　①④　；
①调查的样本容量是200；
②个体是每个居民；
③扇形统计图中鲜花粽的圆心角的度数为125°；
④扇形统计图主要表示总体中各部分所占的百分比．
（3）若该小区有1820人，估计喜爱火腿粽的有多少人？
【分析】（1）先计算出抽样调查的总人数，用总人数减去喜欢其它三种粽子的人数即可，从而补全统计图；
（2）根据抽样调查的定义以及扇形中总体与部分的关系解答即可；
（3）根据样本估计总体计算即可．
【解答】解：（1）抽样调查的总人数：70÷35%＝200（人），
喜欢火腿粽的人数为：200﹣70﹣40﹣30＝60（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）①调查的样本容量是：70÷35%＝200，故①符合题意；
②个体是每个居民对四种粽子的喜爱情况，故②不合题意；
③扇形统计图中鲜花粽的圆心角的度数为：360°×＝126°，故③不合题意；
④扇形统计图主要表示总体中各部分所占的百分比，说法正确，故⑤符合题意；
故答案为：①④；
（3）1820×＝546（人），
答：估计喜爱火腿粽的有546人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+2n＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n＞﹣3，方程的根都是整数，求n的值．
【分析】（1）先根据方程有两个实数根得出Δ＝（﹣2）2﹣4×2n＞0，解之可得n的取值范围；
（2）利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值．
【解答】解：（1）根据题意，得Δ＝（﹣2）2﹣4×2n＞0，
解得n＜；
（2）由原方程，得
（x﹣1）2＝2n+1，
解得x＝1±，
∵方程的两个实数根都是整数，且﹣3＜n＜，不是负数，
∴0＜1﹣2n＜7，且1﹣2n是完全平方数，
∴1﹣2n＝1或1﹣2n＝4，
解得n＝0或n＝﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式和一元二次方程的关系：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根是解决问题的关键．
21．（10分）在▱ABCD中，
（1）若∠A＝60°，如图1，点E、F分别是边AB、AD的中点，AB＝5，AD＝8，求EF的长；
（2）若∠A＝90°，如图2，点E、F分别是边AB、BC的中点，请仅用无刻度的直尺在图2中画一个以EF为边的菱形．


【分析】（1）连接BD，过点B作BH⊥AD于点H．求出BD，利用三角形中位线定理解决问题；
（2）连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交CD于点G，连接FO，延长FO交AD于点H，连接EH，GH，EF，FG即可．
【解答】解：（1）连接BD，过点B作BH⊥AD于点H．
∵∠A＝60°，AB＝5，
∴AH＝AD•cos60°＝，BH＝AB•sin60°＝，
∵AD＝8，
∴DH＝AD﹣AH＝8﹣＝，
∴BD＝＝＝7，
∵AE＝EB，AF＝FD，
∴EF＝BD＝；
（2）如图2中，四边形EFGH即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
【分析】（1）设每盒的售价为x元，则月销量为（570﹣20x）盒，根据月销量不低于270盒，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）利用月销售利润＝每盒的销售利润×月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每盒的售价为x元，则月销量为330﹣20（x﹣12）＝（570﹣20x）（盒），
依题意得：570﹣20x≥270，
解得：x≤15．
答：每盒售价最高为15元；
（2）依题意得：（15﹣2a﹣8）×（270+60a）＝1650，
解得：a1＝1，a2＝﹣2（不合题意，舍去）．
答：a的值为1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有3个选项：①AF⊥EG②AF＝EG．

（1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是 　①　，结论是 　②　（只要填写序号）；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，直接写出AG+EF的最小值．

【分析】（1）条件是①，结论是②．过点G作GP⊥AB交于P，证明△ABF≌△GPE（ASA）即可；
（2）①在Rt△APG中，求出AP＝1，PG＝6，利用勾股定理得出AG＝；
②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，证明△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理即可求AQ的值即为所求．
【解答】解：（1）（答案不唯一）选择的条件是①，结论是②．理由如下：
如图1，过点G作GP⊥AB交于P，
∵AH⊥EG，
∴∠AEH+∠DAH＝90°，
∵∠PEG+∠PGC＝90°，
∴∠EAH＝∠PGE．
在△ABF与△GPE中，
，
∴△ABF≌△GPE（ASA），
∴AF＝EG．
故答案为：①，②（答案不唯一）；
（2）①∵BF＝2，
∴PE＝2，
∵AB＝6，BE＝3，
∴AE＝3，
∴AP＝1，
在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6，
∴AG＝＝；
②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，
∴四边形EFQG为平行四边形，
∴GQ＝EF，
∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，
∴当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，
∵EG＝AF，EG＝FQ，
∴AF＝FQ，
∵AF⊥EG，
∴AF⊥FQ，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∵AF＝＝2，
∴AQ＝4，
∴AG+EF的最小值为4．


【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，正方形的性质，平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
24．（10分）定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形ABCD的边AD∥BC∥x轴，AB∥CD∥y轴，且顶点A、C在反比例函数（k≠0）的图象上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”．

解决问题：（1）已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 　①③　；（填序号）
（2）如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式；
（3）若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．

【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标的特征可得答案；
（2）根据矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标的特征可得（2，4），C（，），从而得出点D的坐标，再利用待定系数法可得直线BD的解析式；
（3）设A（m，），C（n，），则B（m，），D（n，），利用待定系数法求出直线BD的解析式可得答案．
【解答】（1）解：①∵A（﹣3，8），C（6，﹣4），
∴﹣3×8＝﹣24，6×（﹣4）＝﹣24，
∴A、C满足同一个反比例函数，
②∵A（1，5），C（2，3），
∴1×5＝5，2×3＝6，
∴A、C不满足同一个反比例函数，
③∵A（3，4），C（2，6），
∴3×4＝12，2×6＝12，
∴A、C满足同一个反比例函数，
∴可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③，
故答案为：①③；
（2）解：∵点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，
∴A（2，4），C（，），
∴D（，4），
设直线BD的解析式为y＝ax+b，
则，
∴，
∴y＝x；
（3）证明：∵A、C在反比例函数（k≠0）上，
设A（m，），C（n，），则B（m，），D（n，），
设直线BD的解析式为＝cx+d，
则，
∴，
即y＝x，
∴直线BD过原点．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，矩形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，理解“伴随矩形”满足的两个条件是解题的关键．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．
（1）如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．
（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．
（3）当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．

【分析】（1）由DE＝2知，AE＝AB＝6，可知∠AEB＝∠MEB＝45°，从而得出答案；
（2）根据对称性得，∠ENC＝∠BDC，则cos∠ENC＝，得EN＝，利用HL证明Rt△BMN≌Rt△DCB，得∠DBC＝∠BNM，则MN∥BD；
（3）当E在边AD上时，若直线MN过点C，利用AAS证明△BCM≌△CED，得DE＝MC，当点E在边CD上时，利用△BMC∽△CNE，则，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵DE＝2，
∴AE＝AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°．
由对称性知∠BEM＝45°，
∴∠AEM＝90°．
（2）如图2，∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∵当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10，

∴CN＝2．
由对称性得，∠ENC＝∠BDC，
∴cos∠ENC＝，
得EN＝，
∴DE＝EN＝．
∵BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，
∴Rt△BMN≌Rt△DCB（HL），
∴∠DBC＝∠BNM，
∴MN∥BD．
（3）如图3，当E在边AD上时，

∴∠BMC＝90°，
∴MC＝．
∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，
∴△BCM≌△CED（AAS），
∴DE＝MC＝．
如图4，点E在边CD上时，

∵BM＝6，BC＝8，
∴MC＝，CN＝8﹣．
∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，
∴△BMC∽△CNE，
∴，
∴EN＝，
∴DE＝EN＝．
综上所述，DE的长为或．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，根据题意画出图形，并运用分类讨论思想是解题的关键．
26．（14分）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+2及双曲线y＝（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m（m＞0）.
（1）如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．
（2）如图②过C、D两点分别作CC′∥y轴∥DD'交直线AB于C'，D'，当CD∥AB时，
①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．
②若k＝6，且满足m＝a﹣4+，求d的最大值．

【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由平行四边形的性质列出方程组，即可求解；
（2）①先证四边形CDD'C'是平行四边形，可得CC'＝DD'，列出方程可求解；
②将k和m代入k＝a（a+m），再利用二次函数的性质可求解．
【解答】（1）解：∵直线y＝﹣x+2交y轴于A点，交x轴于B点，
∴点A（0，2），点B（4，0），
∵C、D为双曲线上的两点，
∴点C（2，），点D（2+m，），
∵四边形CABD为平行四边形，
∴AD与BC互相平分，
∴＝，＝，
解得：m＝4，k＝6；
（2）①证明：∵CC′∥y轴∥DD'，CD∥AB，
∴四边形CDD'C'是平行四边形，
∴CC'＝DD'，
∵C、D为双曲线上的两点，
∴点C（a，），点D（a+m，），
∵CC′∥y轴∥DD'，
∴点C'的横坐标为a，点D的横坐标为a+m，
∴点C'（a，﹣a+2），点D'（a+m，﹣a﹣m+2），
∴+a﹣2＝+a+m﹣2，
∴k＝a（a+m），
∴当k为定值时，a（a+m）为定值；
②解：∵k＝6，
∴6＝a（a+m），
∴a2+am＝12，
∵m＝a﹣4+，
∴a2+a（a﹣4+）＝12，
∴d＝﹣2a2+4a+12＝﹣2（a﹣1）2+14，
∴当a＝1时，d的最大值为14．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，二次函数的性质等知识，利用参数表示点的坐标是解题的关键．