高中人教B版 (2019)2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系教学演示ppt课件

课题名

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系

课标要求

1.理解一元二次方程,会求一元二次方程的解集.(数学运算)

2.明确一元二次方程根与系数的关系并会灵活应用.(数学抽象)

核心目标

(重点)1.会求一元二次方程的解集.

           2.明确一元二次方程根与系数的关系.

(难点)灵活应用根与系数的关系.

教学准备

教师准备：教案、课件

学生准备：教材、学案

教学过程

情景引入

今天是高一学生小芳的生日,她的4个同学约好为她举办一个生日晚会,邻居张叔叔路过晚会现场,想了解一下他们的年龄.小芳说:我是最小的,我们5个的年龄从小到大依次恰好相差1岁.小明说:我们中较大的两个的年龄的平方和恰好等于较小的三个人的年龄的平方和.张叔叔说:“我可以算出小芳的年龄了”.如果设小芳的年龄为x,那么列出的方程是怎样的?这类方程你见过吗?它有什么特点?

新知探究

知识点一、一元二次方程的解集

1.配方法

(1)一般地,方程=t:①当t>0时,解集为                        ;

                  ②当t=0时,解集为{0};

                  ③当t<0时,解集为⌀.

(2)一般地,方程=t:①当t>0时,解集为                   ;

                    ②当t=0时,解集为{k} ;

                    ③当t<0时,解集为 ⌀ .

(3)多项式ax^2+bx+c（a≠0）可化为

                 配方式a+.

2.公式法

方程ax^2+bx+c=0(a≠0)=a+

(1)当∆=b^2−4ac>0时，

               方程的解集为{,}

(2)当∆=b^2−4ac=0时，方程的解集为{−b/2a}

(3)当∆=b^2−4ac<0时，方程的解集为ϕ

3.因式分解法

对一元二次方程a+bx+c=0(a≠0),左边若能因式分解,变成(x+)(x+)=0的形式,根据几个因式之积为0,则至少有一个因式为0,则=-,=−.

思考

(1)方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数)一定是一元二次方程吗?

提示: 不一定,a≠0时为一元二次方程,a=0,b≠0时为一元一次方程.

(2)任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)都可以化为(x-k)2=t的形式吗?

提示:都可以.一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)

可以化为(x+b/2a)^2=b^2−4ac/4a^2,即k=−b/2a,t=b^2−4ac/4a^2

知识点二  一元二次方程根与系数的关系

当一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,其两

根,满足如下关系:

(1) +=−b/a;

(2) =c/a.

状元随笔　

应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：

(1)+＝(^2 +2＋^2)－2＝－2；

(2)＝－4；

(3)|－|＝√(−)^2＝√(+)^2−4；

(4)1/+1/＝+x/；

(5)/+/＝^2+^2 /＝(+)^2−2/.

微思考

利用一元二次方程根与系数的关系解题时,需要注意什么条件?

提示: 先把方程化为a+bx+c=0的形式,然后验证,是否满足a≠0,

Δ=-4ac≥0这两个条件,同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题.

核心目标检验

1.关于x的一元二次方程+x+1=0的根的情况是(　　)

A.两个不等的实数根

B.两个相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

解析 ∵+x+1=0,∴Δ=-4×1×1=-3<0,∴该方程无实数根.

2.一元二次方程3-6x-7=0的两根和为　　　　. 

解析 设3-6x-7=0的两根分别为,,

∴+=−=2.

课堂总结

1.会求一元二次方程的解集.

2.明确一元二次方程根与系数的关系.

3.灵活应用根与系数的关系.

命题讲练

命题方向1：求方程的解集

例题1:用适当的方法求下列方程的解集.

(1)  -2x-8=0;　

解 (1)(方法一)移项,得-2x=8, 配方,得=9,由此可得x-1=±3,

             ∴=4,=-2,∴方程的解集为{-2,4}.

      (方法二)原方程可化为(x-4)(x+2)=0,

             ∴x-4=0或x+2=0,∴=4,=-2,

              ∴方程的解集为{-2,4}.

(2)2-7x+6=0;

解 (2)(方法一)原方程可化为(x-2)(2x-3)=0,

             由此可得x−2=0或2x−3=0  ∴=2,=3/2,

              ∴方程的解集为{2,3/2}.

      (方法二)由a=2,b=−7,c=6, ∴∆=b^2−4ac=1>0,

               ∴x==,∴=2,=3/2,

            ∴方程的解集为{2,3/2}.

(3)-2x+2=0.

解 (3)原方程可化为-2(x-1)=0.

          因式分解,得(x-1)(x-1-2)=0,

        ∴x-1=0或x-3=0,

       ∴=1,=3,∴方程的解集为{1,3}.

跟踪练习1:求下列方程的解集:

(1)4-4x-1=0;　　　　

(2)-7x+10=0.

命题方向2:直接应用根与系数的关系进行计算

例题2:已知一元二次方程+3x-1=0的两根分别是,,请利用根与系数的关系求:

（1）^2+^2;

（2）1/+1/.

解：根据一元二次方程根与系数的关系，得+=−3,=−1.

   (1)^2+^2=(+)^2-2 =(−3)^2-2×(−1)=11.

   (2)1/+1/=+/=−3/−1=3

跟踪练习2：已知一元二次方程2＋3x－4＝0的两根为与，求下列各式的值：(1)^2+^2；(2)|－|.

【解析】　由一元二次方程根与系数的关系，得＋＝－3/2，＝－2.

(1)由上有^2+^2＝－2＝(−3/2)^2－2×(－2)＝25/4.

(2)因为＝－4＝(−3/2)^2－4×(－2)＝41/4，

所以|－|＝√(−)^2＝√41/2.

命题方向3:应用根与系数的关系求参数值或范围

例题3:已知关于x的方程－(k＋1)x＋＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．

(1)方程两实根的积为5；

(2)方程的两实根，，满足||＝.

【解析】　Δ＝[－－4×(+1)＝2k－3，Δ≥0，k≥3/2.

(1)设方程的两个根为，，＝＋1＝5，

＝16，k＝4或k＝－4(舍)．

(2)①若≥0，则＝，Δ＝0，k＝3/2.

方程为－5/2x＋25/16＝0，＝＝5/4>0满足．

②若<0，则＋＝0，即k＋1＝0，k＝－1.

方程为＋5/4＝0而方程无解，

所以k≠－1，所以k＝3/2.

跟踪练习3:(1)关于x的方程－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足＋＝，则m的值是(　　)

A．－2或3　B．3      C．－2          D．－3或2

解析：(1)∵＋＝m＋6，＝，＋＝，

∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.

∵方程－(m＋6)x＋＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝[－－4＝－3＋12m＋36＝0，

解得m＝6或m＝－2.

∴m＝－2.

(2)  已知：方程2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为________．

解析：(2)设，为方程的两个根，则，

|－|＝1，(k+1/2)^2－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.

检验当k＝9或k＝－3时，Δ≥0成立．

布置作业

教材练习题

教辅练习题

板书设计

一、求方程的解集

二、一元二次方程根与系数的关系

教学反思