高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算教案设计

《复数的乘、除运算》教学设计

一、教学内容

复数的代数形式的乘法与除法运算法则

二、教材分析

本节课选自人民教育出版社《普通高中教科书数学必修第二册（A版）》第七章第二节第二课时《复数的乘、除运算》，主要内容是复数的乘、除运算。学生的知识基础是已经学习了复数的概念和坐标表示，在第二节第一课时，介绍了复数代数形式的加、减的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具。在这节内容中，类比多项式的乘法法则，可把复数代数形式a+bi看成由a和bi两个非同类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题.

三、教学目标

1.知识与技能目标：

理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则。

2.过程与方法目标：

在问题探究过程中，体会和学习类比等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。

3.情感、态度与价值观目标：

培养类比思想和逆向思维；通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。

四、教学重点：

复数代数形式的乘、除法的运算法则及其运算律。

五、教学难点：

复数除法的运算法则。

六、教学方法：

探究法。

七、教学过程

（一）复习回顾，引入新课

各位同学，大家好。今天这节课我们将探讨复数的乘法、除法运算。经过前面的学习，我们了解了复数的概念，以及复数加减法运算及其几何意义。复数的加法和减法法则，类似多项式的加减法，是将复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减。从几何意义的角度出发，复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按照向量的减法（三角形法则）来进。一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

通过上节课的探究，我们发现，复数的加减法与实数中多项式的加减法类似，那么，复数的乘除运算，是否也有这个规律呢？接下来让我们一起来探究一下。

设计意图：复习复数的加减法运算及其几何意义相关知识，通过复数加减法运算与实数运算的对比，引出复数乘除法的运算法则。

（二）新课探究

1、复数的乘法法则：

我们规定，复数的乘法法则如下：

设，那么他们的积

根据复数的乘法法则，请同学们思考一下问题：

问题（1）：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？

通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定。

问题（2）：当都是实数时，与实数乘法法则一致吗？

根据法则，我们发现，当时，都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致。

问题（3）：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法?

两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可。

通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘。

设计意图：与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则。同时培养学生类比的核心素养。

2、复数乘法的运算律

复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是否满足实数乘法的运算律呢？复数的乘法满足交换律、结合律、分配律。以为例，让我们一起验证。

设，根据乘法的运算法则：

所以，

同理可证，

设计意图：引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律。培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深。

3、复数的除法法则

与复数减法法则的推导方法类似，我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，利用复数的加法法则，推导出了复数的减法法则。现在我们依据，复数的除法是乘法的逆运算，利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则。即把满足的复数，叫做复数的商。

计算，得到，

计算，得到，，

由复数相等的定义，得    ，

联立以上两个等式，解这个二元一次方程组，用加减消元法比较简单，最终解得。

以上，就是复数除法法则的探究过程。 

设，

复数的除法法则是：，由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数。

说明：在进行复数的除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，即

这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”。

设计意图：通过将复数的除法转化成分式的除法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则。渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系。

（三）例题讲解

1、复数的乘法对应例题

例：计算

分析：复数的乘法，类似于多项式乘法，从左到右进行计算。

解：

例：计算   

分析：可以利用复数的乘法法则计算，也可以用与实数系相对应的乘法公式计算

解：   

设计意图：及时运用新的理论知识，进行应用和巩固练习，让学生体验成功。使学生实现从掌握知识到运用知识的转化。在计算的过程中，锻炼学生的计算能力，培养学生的数学运算的核心能力。

2、复数的除法对应例题

例：计算

分析：先将除法化成分式的形式，在进行分母实数化运算。

解

例：在复数范围内解下列方程

设计意图：在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。让学生先独立思考，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力。分层教学，让不同能力水平的学生学有所得。

（四）总结

（1）复数代数形式的乘法法则：

两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可。

（2）复数代数形式的除法法则：

在进行复数的除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，将分母“实数化”。

设计意图：通过课堂小结，增强学生对复数代数形式的乘法除法运算的理解。引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。