数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教学设计及反思

这是一份数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教学设计及反思，共14页。
8.6.3 平面与平面垂直教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习二面角，平面垂直的定义，平面与平面垂直的判定定理及其应用。两个平面垂直的判定定理是平面与平面位置关系的重要内容.通过这节的学习可以发现:直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定和性质定理形成了套完整的证明体系,而且可以实现利用低维位置关系推导高维位置关系,利用高维位置关系也能推导低维位置关系,充分体现了转化思想在立体几何中的重要地位。这节课的重点是判定定理,难点是定理的发现及证明。平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系.是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展.这一节的学习对理顺学生的知识架构体系、提高学生的綜合能力起着重要的作用.学习目标课标要求素养要求1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理，并加以证明.2.会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直.在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.             教学重难点1.教学重点：面面垂直的判定定理；2.教学难点：求简单二面角平面角的大小，用定理证明垂直关系。课前准备多媒体教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新1.异面直线所成的角”是怎样定义的？【答案】直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角.2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？【答案】平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.二、探索新知问题：    在铁路公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？1..二面角的概念(1) 半平面的定义平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2) 二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．(3) 二面角的画法和记法：面1－棱－面2      点1－棱－点2    二面角    二面角思考：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，你认为应该怎么刻画二面角的大小？（4）  二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图，，则∠AOB成为二面角的平面角. 它的大小与点O的选取无关.二面角的平面角必须满足：①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内③角的边都要垂直于二面角的棱观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构这些二面角的面、棱、平面角及其度数。【答案】三个2. 平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作：图形表示：观察：如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？【答案】用铅锤来检测，如系有铅锤的细线紧贴墙面，认为墙面垂直与地面。3.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。图形：符号语言：简记：线面垂直，则面面垂直。一、二面角的求法例1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.解　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.反思感悟　在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角.跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：①二面角D′－AB－D的大小为________.②二面角A′－AB－D的大小为________.答案　①45°　②90°解析　①在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角.在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.二、平面与平面垂直的判定例2　在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.证明　∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC. 反思感悟　证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.跟踪训练2　如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.证明　作SH⊥AC交AC于点H，连接BH，∵SA＝SC，∴AH＝HC.在Rt△ABC中，H是AC的中点，∴BH＝AC＝AH，又SH＝SH，SA＝SB，∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH，又AC∩BH＝H，AC，BH⊂平面ABC，∴SH⊥平面ABC，又SH⊂平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.三、平面与平面垂直的性质定理例3　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 证明　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.反思感悟　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练3　如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC.求证：AM⊥平面EBC.证明　∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，BC，EC⊂平面EBC，∴AM⊥平面EBC.  通过复习线线角、线面角，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。     通过观察实例，引入二面角的定义，提高学生分析问题的能力。                   通过思考，引入二面角的平面角，提高学生分析问题、概括能力。              通过观察，由实例引入两平面垂直，提高学生分析问题法人能力。              通过观察实例，引入平面与平面垂直的判定定理，提高学生分析问题的能力。                 通过例题的讲解，让学生进一步理解平面与平面垂直的判定定理的应用，提高学生解决与分析问题的能力。三、达标检测一、选择题1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)A.一定平行   B.一定垂直C.一定是异面直线   D.一定相交答案　B解析　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.2.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　　)A.1条   B.2条  C.3条   D.4条答案　B解析　和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1.3.在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是(　　)A.90°   B.60°  C.45°   D.30°答案　A解析　∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR＝90°.4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则直线EF，MN所成角的大小为(　　)A.   B.  C.   D.答案　C解析　连接A1C1，C1B，A1B.∵E，F，M，N分别是BC，CC1，A1D1，C1D1的中点.∴MN∥A1C1，EF∥BC1，∴∠A1C1B是异面直线EF与MN所成的角.由△A1BC1为等边三角形，知∠A1C1B＝.5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)A.   B.C.   D.答案　C解析　法一　∵AB∥CD，∴∠EAB(或其补角)为AE与CD所成的角.连接BE(图略)，则在Rt△ABE中，若设AB＝2，则BE＝，从而tan∠EAB＝＝，∴异面直线AE与CD所成角的正切值为.故选C.法二(补形法)如图，在已知正方体ABCD－A1B1C1D1的后面再补上一个与其相同的正方体DCFG－D1C1F1G1，取FF1中点E1，连接DE1，EE1，则EE1綉CF綉AD，∴四边形AEE1D是平行四边形.∴DE1∥AE.∴∠E1DC(或其补角)为AE与CD所成角.连接E1C，设AB＝2，则DC＝2，CE1＝.在Rt△DCE1中，tan∠E1DC＝＝.故选C.二、填空题6.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有________.答案　AB，A1B1解析　由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论正确的为________(填序号).答案　①③解析　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.8.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.答案　5解析　取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角(或其补角)，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5.    通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。    四、小结1.知识清单：(1)二面角以及二面角的平面角.(2)平面与平面垂直的判定定理.(3)平面与平面垂直的性质定理.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直.五、作业习题8.6  6,7题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 课后反思本节课教师通过多媒体动画演示使学生初步感知判定定理。然后进一步通过建筑工程中和现实生活中的实际例子去发现平面与平面垂直的判定定理，而不是接受定理，这样处理增加了学生的感性认识。第二，教师以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，然后请同学给出面面垂直的判定定理. 培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察能力，归纳能力，语言表达能力。第三，通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.通过实验，培养学生学习兴趣和探 索意识，加深对知识的理解与掌握。