必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教学设计及反思

这是一份必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教学设计及反思，共4页。
余弦定理
（二）教材分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习余弦定理及利用余弦定理的应用。
本节课在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?”并进而指出,“从余弦定理以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方那么第三边所对的角是锐角。由上可知,余弦定理是勾股定理的推广”,还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解，求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量知识的同时注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系。
（三）教学目标
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
3.通过对余弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养
（四）教学重难点：
1. 重点：掌握余弦定理及其推论
2. 难点：掌握余弦定理的综合应用
（五）教学过程
1、情境引入
问题1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的其他边和角都可以用这两边及其夹角来表示，那么如何表示呢？由此引入本节研究内容
问题2：已知三角形两边分别为b和c,这两边的夹角为A，角A满足什么条件时较易求出第三边a？
2、探索新知
探究问题：在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C， 求边c
引导学生用向量方法按如下步骤探索余弦定理：
①把几何元素用向量表示：
设, ，,那么
②进行恰当的向量运算：
对上式两边平方，得 c2=c·c=(a－b)·(a－b)=a·a+b·b－2a·b
③向量式化成几何式：
追问：如何用已知的边b，c和它们的夹角A表示第三边a？如何用已知的边c ，a和它们的夹角B表示第三
边b？
答：同理可得
1）余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即
a2＝b2＋c2－2bccsA
b2＝a2＋c2－2accsB
c2＝a2＋b2－2abcsC
注意：正弦定理结构的最大特点是等式两边均为齐次式，结构和谐体现了数学的和谐美
问题3：利用余弦定理可以解决“已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边”的问题．然而，有时我们需要
根据三角形的边长求角．请思考：能否将余弦定理适当变形，用三条边表示角？
2）余弦定理推论：
问题4：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的
关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？
答：若三角形ABC中C=90°，则cs 90°=0，这时c2=a2+b2-2abcsC=a2+b2；
勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广
3）解三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c称为三角形的元素，已知三角形的
几个元素求其他元素的过程叫解三角形
问题6：利用余弦定理及其推论，可以解决哪几类解三角形问题？
答：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两边和一个夹角，求第三边和其他两个角
（2）已知三边，求三个角
【例1】在△ABC中，已知b= 60 cm，c= 34 cm，A=41°，解这个三角形 （角度精确到1°，边长精确到1 cm）
解：根据余弦定理，得 a²=b²+c²-2bccsA=60²+34²-2×60×34×cs41° ≈1 676.78
∴a≈41(cm)
由余弦定理的推论，得
利用计算器，可得C≈106°
所以B=180°-(A+C)≈180°-(41°+106°)=33°
【例2】在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足sinC=3314 ，求B（精确到1°）
解：因为sinC=3314，且C为锐角
所以csC=1−sin2C=1−(3314)2=1314
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcsC=49+64-2×7×8×1314=9
所以c=3
所以cs B===
利用计算器，可得C≈98°
方法规律：已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边
【例3】在△ABC中，若(a－c·cs B)·sin B＝(b－c·cs A)·sin A，判断△ABC的形状
解 ∵(a－c·cs B)·sin B＝(b－c·cs A)·sin A
∴由余弦定理可得：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))·a
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2
即 (a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2
∴a2＋b2＝c2或a＝b
故△ABC为直角三角形或等腰三角形
方法规律：判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状
3、课堂练习
P44 练习
1、 (1) 在△ABC中，已知b＝3，c＝2eq \r(3)，A＝30°，求a
(2) 在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，求角A、角C和边a
解 (1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A＝32＋(2eq \r(3))2－2×3×2eq \r(3)cs 30°＝3
所以a＝eq \r(3)
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B
得32＝a2＋(3eq \r(3))2－2a×3eq \r(3)×cs 30°
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6
当a＝3时，A＝30°，C＝120°
当a＝6时，由余弦定理cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝0，A＝90°，C＝60°
2、在△ABC中，若acs B＋acs C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
解 由acs B＋acs C＝b＋c并结合余弦定理
得a·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＋a·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝b＋c
即eq \f(a2＋c2－b2,2c)＋eq \f(a2＋b2－c2,2b)＝b＋c
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形
4、课堂小结
1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例
2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型
(1)已知三边解三角形
(2)已知两边及一角解三角形
3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍
5、课后作业
习题6.4 6
课后反思