人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教学设计

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《6.2.4向量的数量积》教学设计（一）教学内容     平面向量的数量积的概念及物理意义，平面向量的数量积的几何性质和代数性质。平面向量投影的概念和投影向量的意义。（二）教材分析 1. 教材来源 本节课选自人民教育出版社2019版必修第二册第六章第二节第四课时2. 地位与作用      本节内容是向量的又一运算，与前面的线性运算一样是沟通代数、几何与三角函数对的桥梁，为后续研究两向量的位置关系奠定基础。（三）学情分析 1.认知基础： 本节内容是学生学习了平面向量的线性运算的基础上进行的，学生对于向量运算已经有了丰富的经验，对其中的数学思想和方法也有了比较全面的认识。数量积与线性运算一样有性质有运算律，学生可类比掌握。2.认知障碍： 数量积运算是不封闭的，两个向量做点乘的结果是一个实数，这是学生以往经历中没有的。数量积的运算性质非常丰富，“这些性质是如何想到的”是学生困惑的问题。（四）教学目标 1. 知识目标：通过物理中的功等实例，理解平面向量数量积及其物理意义，会计算平面向量的数量积。 能力目标：类比数想运算，借助物理背景，学生发现和提出向量运算，培养学生的创新能力。 3.素养目标：发展学生的数学抽象，数学运算的素养. （五）教学重难点：1. 重点：平面向量数量积的概念与物理意义，数量积的几何性质和代数性质，向量投影的概念，投影向量的意义2.难点：平面向量数量积的概念及几何性质，投影向量的意义；（六）教学思路与方法     本教学设计以数学知识的发生发展过程为基本线索，从数学内部设计情景、提出问题，形成一个循序渐进、具有内在逻辑关联的“情景和问题串”。因为学生已经获得了向量线性运算的知识和技能，所以在每个问题后，都由学生先独立思考，再进行小组合作，最后全班交流，教师点评，归纳概括出有关结论。（七）课前准备PPT（八）教学过程    教学环节：新课引入教学内容师生活动设计意图问题1：向量可以进行加、减运算，以及数乘运算，这三种运算称为向量的线性运算。类比数的运算，你认为接下来还可以研究向量的什么运算？你认为应按怎样的路径研究这种运算？学生独立思考，总结出研究线性运算的整体架构，再进行全班讨论，确定学习任务，明确研究路径。引导学生归纳研究向量运算的“基本套路”，同时培养学生的一种思维习惯。教学环节：新知探究教学内容师生活动设计意图问题2：如图，一个物体在力的作用下产生位移且力与位移的夹角为，那么力所做的功是多少？       问题3：你能给出向量乘法的定义吗？    追问1：向量的数量积运算与向量的数乘运算的结果有什么不同？   追问2：影响数量积大小的因素有哪些？   问题4：你能解释一下的物理意义吗？ 追问1：类比的物理意义,你能说一说的几何意义吗？  追问2：就是向量在所在直线上投影的长度。对于任意两个向量，如何得到一个向量向另一个向量的投影？  追问3：设与向量方向相同的单位向量为，向量与的夹角为，那么与之间有怎样的关系？  问题5：接下来我们要研究数量积运算的性质，根据已有的研究经验，你认为可以从哪些角度研究数量积的性质？    追问:向量运算的性质既有几何性质也有代数性质。你认为该怎样入手研究几何性质？   问题6：前面从向量的特殊取值及两个向量的特殊几何关系入手研究了数量积的性质，你认为从代数角度应研究数量积的什么性质？    追问：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？ 学生独立思考，由功的定义得到启示，需要先定义两个向量的夹角。       由学生类比功的定义，给出向量数量积的概念，师生再进行补充完善。               学生独立思考，互动交流明确研究任务，自主探究各种位置下的投影向量，最后总结出投影向量的公式。               学生独立思考，师生共同总结出性质的研究内容。    自主探究，全班交流。    学生，思考，猜想，证明         通过物理背景和相关的物理知识，为定义向量的数量积概念做好认知准备的同时，引出向量夹角的概念。       学生体会数学地定义一个概念的方式方法，培养学生思维严谨性。               借助力在位移方向的分量概念，分类讨论投影向量的大小和方向，得出向量公式。                学生思考具有统领性的问题，有利于学生养成从一般性角度思考问题的习惯。       引导学生通过类比得出数量积的运算律，提升思想性和系统性。       教学环节：例题解析教学内容师生活动设计意图例1．我们知道，对任意恒有对任意向量，是否也有下面类似的结论？   例2.已知与的夹角，求。   例3.已知 且与不共线，当为何值时，向量与       互相垂直？     师生共同解决三个例题。落实向量数量积的定义。教学环节：课堂练习已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)·；(2)·；(3)·.      学生独立完成，师生共同核实答案。根据教学目标，巩固数量积的定义，落实投影向量定义教学环节：小结思考    布置作业通过本节课的学习:（1）你学到了哪些数学知识？（2）你掌握了哪些解题方法？（3）你体会了哪些数学思想？ 作业：课本22页 练习1，2，3学生总结及时梳理复习，加深学生知识的印象   教学环节：板书设计6.2.4向量的数量积1.向量的夹角                        例1：2.数量积的定义  3.投影向量                          例2：4.数量积的性质5.数量积运算的性质.                  例3：