高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率教案及反思

10.1.4　概率的基本性质

教学设计（人教A版）

教材分析

概率的基本是继事件的关系与运算的后续部分,本节课主要讲解了概率的基本性质.

【学习目标】

教学重难点

重点：理解概率的性质．

难点：会求事件的概率.

课前准备

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：

一、新知探究

知识点　概率的基本性质

性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0.

性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.

性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).

性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).

性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).

思考　(1)如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么事件A1，A2，…，An的和事件的概率等于事件A1，A2，…，An的概率和吗？

答案　相等.P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).

(2)对于任意事件A，事件A的概率的范围是多少？

答案　因∅⊆A⊆Ω，∴0≤P(A)≤1.

一、互斥事件与对立事件概率公式的应用

例1　某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：

(1)射中10环或9环的概率；

(2)至少射中7环的概率；

(3)射中8环以下的概率.

解　“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”是彼此互斥的，可运用互斥事件的概率加法公式求解.

设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为事件A，B，C，D，E，则

(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.

(2)方法一　P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7环的概率为0.87.

方法二　事件“至少射中7环”的对立事件是“射中7环以下”，其概率为0.13，则至少射中7环的概率为1－0.13＝0.87.

(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中8环以下的概率为0.29.

反思感悟　运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤

(1)确定各事件彼此互斥.

(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.

注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.

跟踪训练1　在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：

(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；

(2)小明考试及格(60分及60分以上为及格).

解　分别记小明的成绩“在90分及90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”为事件B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥.

(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是

P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.

(2)方法一　小明考试及格的概率是

P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.

方法二　因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.

二、互斥、对立事件与古典概型的综合应用

例2　一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：

(1)取出1球是红球或黑球的概率；

(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.

解　记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则

P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.

根据题意，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥.

方法一　由互斥事件概率公式，得

(1)取出1球为红球或黑球的概率为

P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.

(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为

P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.

方法二　(1)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为

P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)

＝1－－＝＝.

(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以

P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.

反思感悟　求复杂事件的概率通常有两种方法

(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件.

(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.

跟踪训练2　某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员，求：

(1)该队员只属于一支球队的概率；

(2)该队员最多属于两支球队的概率.

解　分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由题图知3支球队共有球员20名.

则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.

(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.

则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，

∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＝＋＋＝.

(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，

则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，

∴P(E)＝1－P()＝1－＝.

正难则反思想的应用

典例　一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.

(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；

(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.

解　(1)由题意知，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种.

设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，

则事件A包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个.

所以P(A)＝＝.

即“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.

(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件包括的样本点有(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种.

∴P(B)＝1－P()＝1－＝.

即“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.

[素养提升]　当正面考虑所解决的问题比较繁琐复杂时，可以通过逻辑推理，找到所求事件的对立事件，利用对立事件的概率的公式求解.

五、课堂小结

1.知识清单：

性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0.

性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.

性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).

性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).

性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).

2.方法归纳：

(1)将所求事件转化为互斥事件的并事件.

(2)将求复杂事件的概率转化为求其对立事件的概率.

3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，不能重复和遗漏.

六、板书设计

七、作业

课本238页练习，243页习题10.1的9、10、11题.