数学必修 第二册6.4 平面向量的应用教学设计

这是一份数学必修 第二册6.4 平面向量的应用教学设计，共6页。
《平面几何中的向量方法》教学设计 （一）教学内容   用向量方法解决几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.（二）教材分析 1. 教材来源 本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修第二册第六章第4节《平面向量的应用》第１课时。2. 地位与作用 本节课主要学习用向量解决平面几何问题，进一步加深对向量工具性的理解。通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:（三）学情分析 1.认知基础： 学生已经学习了平面向量的定义；平面向量的加、减、数乘三种线性运算；平面向量的数量积运算；平面向量基本定理；平面向量的坐标表示及坐标运算等向量相关的基础知识。能够解决相关的向量问题。2.认知障碍： 在复杂的几何背景中抽取基本的向量关系，调动相关学科知识来理解问题。。（四）教学目标 1. 知识目标：通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性. 2.能力目标：学会在几何问题背景中抽取基本的向量关系，调动相关学科知识来帮助理解问题。切身感受向量在解决几何问题中的价值和作用。3.素养目标：培养数学抽象，逻辑推理，数学运算，直观想象，数学建模等核心素养。（五）教学重难点：1. 重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”； 难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.（六）教学思路与方法 通过熟悉的几何问题实例，引导学生们运用平面向量相关知识解决问题，逐步培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括的能力。（七）课前准备  多媒体（八）教学过程    教学环节：新课引入教学内容师生活动设计意图问题：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等 、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决.问题1：平面几何问题与平面向量之间的对应关系如何？完成下表. 几何元素及其表示向量及其运算平行  垂直  长度  夹角   学生思考问题，引出本节新课内容。设置问题情境，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。从向量的线性运算和数量积运算具有的几何背景出发，建立平面几何元素与平面向量之间的对应关系。  教学环节：新知探究教学内容师生活动设计意图问题1：如图6.4-1，DE是的中位线，用向量方法证明：             问题2：如图，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，|a|2，|b|2．得 ( a+b)·( a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．           ①|a|2-2a·b+|b|2．                        ②①+②得   2(|a|2+|b|2)=2()．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．      用向量方法解决平面几何问题的基本思路和步骤是什么？方法总结
用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。  师提问：如果两个向量共线，那么向量所在直线的位置关系是怎样的？向量共线与线段平行、重合的关系是什么？生：向量共线证明线段平行的方法，先证，再说明没有公共点.师：如何利用平面向量证明线段（直线）平行？长度关系？生：利用向量共线关系，特别是向量的倍数关系既能说明平行还可以说明长度关系。 师引导学生分析问题，如何将长度问题转为向量问题。生：选则基底法或坐标法探究长度关系。  创设数学情境，通过线段（直线）平行与向量共线关系的实例，启发学生初步感知用平面向量表示几何图形中的元素，并借助向量运算研究图形中的几何元素之间的关系.让学生感受在数学学习中，利用平面向量研究平面几何中平行关系这一类问题.              利用向量方法探究平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系，意图之一仍是体会基底思想，用基底建立的联系，意图之二是体会涉及两个向量的和或差的模的问题时，只需对向量的和或差的模平方.通过例题让学生了解用向量方法证明几何问题，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，总结用向量方法做几何问题的步骤，提高学生分析问题、概括问题的能力    教学环节：例题解析教学内容师生活动设计意图例1： 如图所示，在正方形中，，分别是,的中点，求证：.例2： 如图，在中，,,点在线段上，且.求：（1）的长；（2）的大小.解析　(1)设=a,=b,则=+=+=+(-)=+=a+b.∴||2===a2+2×a·b+b2=×9+2××3×3×cos 120°+×9=3,∴AD=(负值舍去).(2)设∠DAC=θ(0°<θ<120°),则θ为与的夹角.∴cos θ=====0,∴θ=90°,即∠DAC=90°.方法一：基底法，            方法二：坐标法，.   生将几何关系转为向量关系体会利用向量的方法解决直线垂直关系的问题.         体会利用向量的方法解决长度和角度的问题. 教学环节：小结思考    布置作业用向量方法解决几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.向量在平面几何中常见的应用(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))(3)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|=＝ (a＝(x，y))或AB＝||＝ (A(x1，y1)，B(x2，y2))1．已知平面内四边形和点，若，，，，且，则四边形为(　　)A．菱形　B．梯形  C．矩形D．平行四边形 D．平行四边形2．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．3．(多选)在中，下列命题正确的是(　　)A. B. C．若, 则为等腰三角形D．若 ，则为锐角三角形生回忆总结，师适时引导   教学环节：板书设计平面几何中的向量方法问1                        例1                   三部曲：问2                        例2