高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲逻辑联结词全称量词与存在量词学案

这是一份高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲逻辑联结词全称量词与存在量词学案，共8页。
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理
知识点一 简单的逻辑联结词
(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，
(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，
(3)对一个命题p的否定记作¬ p，
(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表
知识点二 全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．
(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
3．含有一个量词的命题的否定
(1)
(2)p∨q的否定是(¬ p)∧(¬ q)；
p∧q的否定是(¬ p)∨(¬ q)．
重要结论
1．逻辑联结词与集合的关系．
(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；
(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；
(3)“非”与集合中的补集相类似．
2．常用短语的否定词
双基自测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √ )
(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √ )
(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )
(4)命题¬ (p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √ )
题组二 走进教材
2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )
A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0
C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0
[解析] 对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．
3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬ p，¬ q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬ p，¬ q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．
题组三 走向高考
4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是①③④．
①p1∧p4 ②p1∧p2
③(¬ p2)∨p3 ④(¬ p3)∨(¬ p4)
[解析] 对于命题p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A∈α，B∈α，可得直线AB⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p1是真命题；
对于命题p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p2是假命题，从而¬ p2是真命题；
对于命题p3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，从而¬ p3是真命题；
对于命题p4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p4是假命题．
综上所述，p1∧p4是真命题，p1∧p2是假命题，(¬ p2)∨p3是真命题，(¬ p3)∨(¬ p4)是真命题，所以答案为①③④.
5．(2016·浙江，5分)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( D )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n0
C．∃x∈R，lg x0
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x∈R，eq \f(x,x－1)≥0”的否定是( D )
A．∃x∈R，eq \f(x0,x0－1)0，∴p是假命题，¬ p：∀x∈R，lg2(3x＋1)>0.故选B．
(3)命题p为真命题时a≤1；命题q：“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0”为真命题，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q为真命题，即¬ p真且q真，所以a>1，即a的取值范围为(1，＋∞)．故选C．
(4)因为f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，
所以f(x)∈[a－1，＋∞)．
因为g(x)＝2x＋eq \r(x＋1)在[－1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a－1≤－2，
所以a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
简易逻辑的综合应用
例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A．
名师点拨 MING SHI DIAN BO
在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．
〔变式训练2〕
(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
[解析] 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．
p
q
¬ p
p∨q
p∧q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，¬ p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，¬ p(x)
若给定语为
等于
大于
是
且
或
一定
都是
至多有一个
至少有一个
至多
有n个
其否定
语为
不等
于
小于或
等于
不是
或
且
一定
不
不都
是
至少有
两个
没有
至少有
n＋1个
全称命题
特称命题
真假
真
假
真
假
法一
证明所有对象使命题为真
存在一个对象使命题为假
存在一个对象使命题为真
证明所有对象使命题为假
法二
否定为假
否定为真
否定为假
否定为真