高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10一讲导数的概念及运算学案

这是一份高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10一讲导数的概念及运算学案，共9页。

知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 导数的概念与导数的运算
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，把式子eq \f(fx2－fx1,x2－x1)称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，还可以表示为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1).
2．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的 瞬时变化率 ，记作：y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx) .
3．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝ 0 (C为常数)；(2)(xn)′＝ nxn－1 (n∈Q*)
(3)(sin x)′＝ cs x ; (4)(cs x)′＝ －sin x ；
(5)(ax)′＝ axln a ; (6)(ex)′＝ ex ；
(7)(lgax)′＝eq \f(1,xln a)； (8)(ln x)′＝ eq \f(1,x) .
4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) .
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) .
特别地：[C·f(x)]′＝ Cf′(x) (C为常数)
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝ eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0) .
5．复合函数的导数
复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′ .即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
知识点二 导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0) .
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
1.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝－eq \f(f′x,f2x).
2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.
3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x)与f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同．( × )
(2)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相同．( × )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3)))′＝cs eq \f(π,3).( × )
(6)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × )
(7)(2x)′＝x·2x－1.( × )
(8)[ln(－x)]′＝eq \f(1,x).( √ )
[解析] (2)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线，点P在曲线上，而过点P(x0，y0)的切线，点P可以在曲线外．
(3)如图所示，切线可以与曲线有多个公共点．
(4)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线．
(8)[ln(－x)]′＝－eq \f(1,x)×(－1)＝eq \f(1,x).
题组二 走进教材
2．(选修2－2P18AT4改编)计算：
(1)(x4－3x3＋1)′＝ 4x3－9x2 ；
(2)(xex)′＝ ex＋xex ；
(3)(sin x·cs x)′＝ cs 2x ；
(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝ －eq \f(1,xln2x) .
3．(选修2－2P18AT5改编)已知函数f(x)＝2xf′(1)＋xln x，则f′(1)＝( C )
A．e B．1
C．－1 D．－e
[解析] f′(x)＝2f′(1)＋ln x＋1，
当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)＋1，
∴f′(1)＝－1，故选C.
4．(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝ －9.8t＋6.5 m/s，加速度a＝ －9.8 m/s2.
[解析] v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.
题组三 走向高考
5．(2020·课标Ⅰ理，6,5分)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( B )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
[解析] 本题考查导数的几何意义．
f′(x)＝4x3－6x2，则f′(1)＝－2，易知f(1)＝－1，由点斜式可得函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
6．(2019·江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 (e,1) .
[解析] 设A(x0，ln x0)，又y′＝eq \f(1,x)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝eq \f(1,x0)(－e－x0)，化简得ln x0＝eq \f(e,x0)，解得x0＝e，则点A的坐标是(e,1)．
考点突破·互动探究
考点一 导数的基本运算——师生共研
例1 (1)求下列函数的导数．
①y＝ln x＋eq \f(1,x)；
②y＝(2x2－1)(3x＋1)；
③y＝x－sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)；
④y＝eq \f(cs x,ex)；
⑤y＝lneq \r(1－2x2)；
⑥y＝e2xcs 3x.
(2)若函数f(x)＝ln x－f′(1)x2＋3x－4，则f′(3)＝－eq \f(14,3).
[分析] ①直接求导；②③化简后再求导；④利用商的导数运算法则求解；⑤⑥用复合函数求导法则求导．
(2)先求出f′(1)得出导函数的解析式，再把x＝3代入导函数解析式得f′(3)．
[解析] (1)①y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(1,x)))′＝(ln x)′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x2).
②因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
另解：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
③因为y＝x－sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)＝x－eq \f(1,2)sin x，
所以y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)sin x))′＝x′－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x))′
＝1－eq \f(1,2)cs x.
④y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,ex)))′＝eq \f(cs x′ex－cs xex′,ex2)
＝－eq \f(sin x＋cs x,ex).
⑤y＝lneq \r(1－2x2)＝eq \f(1,2)ln(1－2x2)，令u＝1－2x2，
则y＝lneq \r(1－2x2)由y＝eq \f(1,2)ln u与u＝1－2x2复合而成，
∴y′＝f′(u)·u′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)ln u))′·(1－2x2)′＝eq \f(1,2u)·(－4x)＝eq \f(－2x,1－2x2).
⑥y′＝(e2x)′cs 3x＋e2x(cs 3x)′
＝2e2x·cs 3x－3e2xsin 3x＝e2x(2cs 3x－3sin 3x)．
(2)对f(x)求导，得f′(x)＝eq \f(1,x)－2f′(1)x＋3，所以f′(1)＝1－2f′(1)＋3，解得f′(1)＝eq \f(4,3)，所以f′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(8,3)x＋3，将x＝3代入f′(x)，可得f′(3)＝－eq \f(14,3).
名师点拨
导数计算的原则和方法
(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导．
(2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；⑥复合函数：由外向内，层层求导．
〔变式训练1〕
(1)填空
①若y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则y′＝ 3x2＋12x＋11 ；
②若y＝exln x，则y′＝ exeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋ln x)) ；
③若y＝tan x，则y′＝ eq \f(1,cs2x) ；
④若y＝(x2＋2x－1)e2－x，则y′＝ (3－x2)e2－x ；
⑤若y＝eq \f(ln2x＋3,x2＋1)，则y′＝ eq \f(2x2＋1－2x2x＋3ln2x＋3,2x＋3x2＋12) .
(2)(2020·课标Ⅲ，15,5分)设函数f(x)＝eq \f(ex,x＋a).若f′(1)＝eq \f(e,4)，则a＝ 1 .
(3)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝ －2 .
(4)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝ 2 .
[解析] (1)①y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，所以y′＝3x2＋12x＋11.
②y′＝exln x＋ex·eq \f(1,x)＝exeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋ln x)).
③y＝tan x＝eq \f(sin x,cs x)，∴y′＝eq \f(cs x·cs x－－sin xsin x,cs2x)＝eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)＝eq \f(1,cs2x).
④y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)·(e2－x)′
＝(2x＋2)e2－x＋(x2＋2x－1)·(－e2－x)
＝(3－x2)e2－x.
⑤y′＝eq \f([ln2x＋3]′x2＋1－ln2x＋3x2＋1′,x2＋12)
＝eq \f(\f(2x＋3′,2x＋3)·x2＋1－2xln2x＋3,x2＋12)
＝eq \f(2x2＋1－2x2x＋3ln2x＋3,2x＋3x2＋12).
(2)f′(x)＝eq \f(x＋a－1ex,x＋a2)，则f′(1)＝eq \f(ae,a＋12)＝eq \f(e,4)，解得a＝1.
(3)f′(x)＝4ax3＋2bx，因为f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，所以f′(－1)＝－2.故填－2.
(4)解法一：令t＝ex，故x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝eq \f(1,x)＋1，所以f′(1)＝2.
解法二：f′(ex)＝1＋ex，f′(1)＝f′(e0)＝1＋e0＝2.故填2.
考点二 导数的几何意义——多维探究
角度1 求曲线的切线方程
例2 已知曲线f(x)＝x3－x，则
(1)曲线在点(1,0)处的切线方程为 2x－y－2＝0 ；
(2)曲线过点(1,0)的切线方程为 2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0 ；
(3)曲线平行于直线5x－y＋1＝0的切线方程为 5x－y－4eq \r(2)＝0或5x－y＋4eq \r(2)＝0 .
[分析] (1)解决曲线的切线问题直接利用导数的几何意义求切线斜率可得；
(2)由于在点P处的切线平行于直线5x－y＋1＝0，则在点P处的切线斜率为5.
[解析] f′(x)＝3x2－1.
(1)曲线在点(1,0)处切线的斜率为k＝f′(1)＝2.
∴所求切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)设切点为P(x0，xeq \\al(3,0)－x0)，则k切＝f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－1，
∴所求切线方程为y－xeq \\al(3,0)＋x0＝(3xeq \\al(2,0)－1)(x－x0)，
又切线过点(1,0)，∴－xeq \\al(3,0)＋x0＝(3xeq \\al(2,0)－1)(1－x0)
解得x0＝1或－eq \f(1,2).
故所求切线方程为y＝2(x－1)或y－eq \f(3,8)＝－eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))即2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0.
(3)设切点坐标为(x0，xeq \\al(3,0)－x0)，则k切＝3xeq \\al(2,0)－1＝5解得x0＝±eq \r(2)，故切点为(eq \r(2)，eq \r(2))或(－eq \r(2)，－eq \r(2))所以所求切线方程为y－eq \r(2)＝5(x－eq \r(2))或y＋eq \r(2)＝5(x＋eq \r(2))即5x－y－4eq \r(2)＝0或5x－y＋4eq \r(2)＝0.
名师点拨
求曲线的切线方程的两种类型
(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
(2)在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(3)求过点P的曲线的切线方程的步骤为：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
注：也可利用f′(x1)＝eq \f(fx1－fx0,x1－x0)＝k切求切点坐标(x1，y1)，有几组解就有几条切线．
角度2 求切点坐标
例3 (2021·郑州质量检测)已知曲线y＝eq \f(x2,2)－3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( A )
A．3 B．2
C．1 D．eq \f(1,2)
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0，
由y′＝x－eq \f(3,x)，得k＝x0－eq \f(3,x0)＝2，∴x0＝3.
角度3 求参数的值(或范围)
例4 (1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b＝ 1 .
(2)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
[解析] (1)由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(13＋a＋b＝3，,3×12＋a＝k，,k＋1＝3，))
由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
(2)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．
所以f′(x)＝eq \f(1,x)＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－eq \f(1,x).
因为x>0，所以2－eq \f(1,x)<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2019·全国卷Ⅱ，5分)曲线y＝2sin x＋cs x在点(π，－1)处的切线方程为( C )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
(2)(角度1)过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程为 x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0 .
(3)(角度2)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是( C )
A．(0,1) B．(1，－1)
C．(1,3) D．(1,0)
(4)(角度3)(2019·全国卷Ⅲ，5分)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( D )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
[解析] (1)依题意得y′＝2cs x－sin x，y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝π))＝(2cs x－sin x)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝π))＝2cs π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C.
(2)设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－2.
故切线方程为y－y0＝(3xeq \\al(2,0)－2)(x－x0)．
即y－(xeq \\al(3,0)－2x0)＝(3xeq \\al(2,0)－2)(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，
得－1－(xeq \\al(3,0)－2x0)＝(3xeq \\al(2,0)－2)(1－x0)．
解得x0＝1或x0＝－eq \f(1,2).
故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－eq \f(5,4)(x－1)．
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
(3)由题意知y′＝eq \f(3,x)＋1＝4，解得x＝1，
此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，故点P0的坐标是(1,3)．
(4)因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1))＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ae＋1＝2，,b＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝e－1，,b＝－1.))
名师讲坛·素养提升
两曲线的公共切线问题
例5 (2020·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝( C )
A．1 B．eq \f(1,2)
C．1－ln 2 D．1－2ln 2
[解析] 设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．
则切线分别为y－ln x1－2＝eq \f(1,x1)(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝eq \f(1,x2＋1)(x－x2)．
化简得y＝eq \f(1,x1)x＋ln x1＋1，y＝eq \f(1,x2＋1)x－eq \f(x2,x2＋1)＋ln(x2＋1)，
依题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＝\f(1,x2＋1),ln x1＋1＝－\f(x2,x2＋1)＋lnx2＋1))，解得x1＝eq \f(1,2)，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.故选C.
[引申]本例中两曲线公切线方程为 y＝2x＋1－ln 2 .
[解析] k＝eq \f(1,x1)＝2，∴公切线方程为y＝2x＋1－ln 2.
名师点拨
同时和曲线y＝f(x)、y＝g(x)都相切的直线称为两曲线的公共切线．设直线与曲线y＝f(x)切于(x1，f(x1))与曲线y＝g(x)切于(x2，g(x2))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－f′(x1)x1同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2.∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′x1＝g′x2,fx1－f′x1x1＝gx2－g′x2x2))，解出x1、x2，从而可得切线方程．由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数．
〔变式训练3〕
若曲线y＝x＋ln x与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1存在过点(0，－1)的公切线，则a＝ 8 .
[解析] 设直线l与曲线C：y＝x＋ln x切于P(x0，x0＋ln x0)，则k切＝y′|x＝x0＝1＋eq \f(1,x0).
∴1＋eq \f(1,x0)＝eq \f(x0＋ln x0＋1,x0)，解得x0＝1，
∴切线l的方程为y＝2x－1.
又直线l与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切．
∴方程2x－1＝ax2＋(a＋2)x＋1即ax2＋ax＋2＝0的判别式Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8或0(舍去)．