高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式学案

这是一份高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式学案，共10页。
知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 重要不等式
a2＋b2≥_2ab__(a，b∈R)(当且仅当_a＝b__时等号成立)．
知识点二 基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(均值定理)
(1)基本不等式成立的条件：_a>0，b>0__；
(2)等号成立的条件：当且仅当_a＝b__时等号成立；
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的_算术平均数__，eq \r(ab)叫做正数a，b的_几何平均数__.
知识点三 利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，
那么当x＝y时，x＋y有最小值2eq \r(P).(简记：“积定和最小”)
(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，
那么当x＝y时，xy有最大值eq \f(S2,4).(简记：“和定积最大”)
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)．(当且仅当a＝b时取等号)
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号)
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号)
(4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．(当且仅当a＝b时取等号)．
(5)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a，b>0当且仅当a＝b时取等号)．
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝cs x＋eq \f(4,cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最小值等于4.( × )
(2)“x>0且y>0”是“eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2”的充要条件．( × )
(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．( √ )
(4)若a>0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值为2eq \r(a).( × )
(5)不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)有相同的成立条件．( × )
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )
题组二 走进教材
2．(必修5P100练习T1改编)若x0，x＋5y＝3xy，即x＝eq \f(5y,3y－1)，
令3y－1＝t，则y＝eq \f(t＋1,3)，(t>0)，
∴5x＋y＝eq \f(25y,3y－1)＋y＝eq \f(25,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,t)))＋eq \f(t＋1,3)
＝eq \f(26,3)＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,t)＋t))≥eq \f(26,3)＋eq \f(2,3)eq \r(\f(25,t)·t)＝12.
(当且仅当t＝5，即x＝y＝2时取等号)
∴5x＋y的最小值为12.
(3)∵a>0，b>0，且eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b)＝1，
∴a＋b＝[(a＋1)＋b]－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b)))[(a＋1)＋b]－1
＝eq \f(b,a＋1)＋eq \f(a＋1,b)＋1≥2eq \r(\f(b,a＋1)·\f(a＋1,b))＋1＝3，
当且仅当a＋1＝b，即a＝1，b＝2时取等号，
∴a＋b的最小值为3，
另解：(换元法)由eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b)＝1得b＝1＋eq \f(1,a)，(a>0)，
∴a＋b＝a＋eq \f(1,a)＋1≥2eq \r(a·\f(1,a))＋1＝3，
当且仅当a＝1，b＝2时取等号，
∴a＋b的最小值为3.
考点二 利用基本不等式求参数的范围——师生共研
例4 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则
(1)ab的取值范围是_[9，＋∞)__；
(2)a＋b的取值范围是_[6，＋∞)__.
[解析] (1)∵ab＝a＋b＋3≥2eq \r(ab)＋3，
令t＝eq \r(ab)>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.
∴t≥3即eq \r(ab)≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．
(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2.
令t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0.
∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．
名师点拨
利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．
另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b＝eq \f(a＋3,a－1)>0，∴a－1>0，∴a＋b＝a＋eq \f(a＋3,a－1)＝a＋eq \f(a－1＋4,a－1)＝a＋1＋eq \f(4,a－1)＝(a－1)＋eq \f(4,a－1)＋2≥6.当且仅当a＝b＝3时取等号．
〔变式训练2〕
(2020·黑龙江哈尔滨三中期中)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是_4__.
[解析] 解法一：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8.
∴(2y＋1)(x＋1)＝9且x＋1>0,2y＋1>0
∴x＋2y＝(2y＋1)＋(x＋1)－2≥2eq \r(2y＋1·x＋1)－2＝4.(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)
∴x＋2y的最小值为4.
解法二：∵x>0，y>0，∴2xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2y＋x,2)))2＝eq \f(2y＋x,4)2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)
又x＋2y＋2xy＝8，
∴x＋2y＋eq \f(x＋2y,4)2≥8，
∴(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，
∴x＋2y－4≥0，即x＋2y≥4
(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)
∴x＋2y的最小值为4.
解法三：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，
∴x＝eq \f(8－2y,1＋2y)＝eq \f(9,2y＋1)－1，
∴x＋2y＝eq \f(9,2y＋1)＋(2y＋1)－2≥2eq \r(\f(9,2y＋1)·2y＋1)－2＝4(当且仅当y＝1时取等号)
∴x＋2y的最小值为4.
秒杀解法：x＋2y＋2xy＝8，即x＋2y＋x·2y＝8.由条件及结论关于x、2y的对称性知当x＝2y＝2时x＋2y取最小值为4.
考点三 利用基本不等式解决实际问题——师生共研
例5 某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中a︰b＝1︰2，则S的最大值为_1_568__.
[解析] 由题意可得xy＝1 800，b＝2a，x>3，y>3，
则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a
＝(3x －8)eq \f(y－3,3)＝1 808－3x－eq \f(8,3)y
＝1 808－3x－eq \f(8,3)×eq \f(1 800,x)
＝1 808－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(4 800,x)))≤1 808－2eq \r(3x×\f(4 800,x))
＝1 808－240＝1 568，
当且仅当3x＝eq \f(4 800,x)，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1 568.
名师点拨
应用基本不等式解决实际问题的步骤：①仔细阅读题目，深刻理解题意；②找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用
它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；③利用基本不等式求出最值；④再还原成实际问题，作出解答．
〔变式训练3〕
某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m．如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为_160__m.
[解析] 设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为eq \f(4 800,3x) m，
由题意可得水池总造价
f(x)＝150×eq \f(4 800,3)＋120eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×3x＋2×3×\f(4 800,3x)))
＝240 000＋720eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1 600,x)))(x>0)，
则f(x)＝720eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1 600,x)))＋240 000
≥720×2eq \r(x·\f(1 600,x))＋240 000
＝720×2×40＋240 000＝297 600，
当且仅当x＝eq \f(1 600,x)，即x＝40时，f(x)有最小值297 600，
此时另一边的长度为eq \f(4 800,3x)＝40(m)，
因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160 m.
名师讲坛·素养提升
基本不等式的综合应用
角度1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
例6 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则eq \f(Sn＋8,an)的最小值是_eq \f(9,2)__.
[解析] an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝eq \f(n1＋n,2)，
所以eq \f(Sn＋8,an)＝eq \f(\f(n1＋n,2)＋8,n)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(16,n)＋1))
≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(n·\f(16,n))＋1))＝eq \f(9,2)，
当且仅当n＝4时取等号，所以eq \f(Sn＋8,an)的最小值是eq \f(9,2).
角度2 求参数值或取值范围
例7 已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( B )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))的最小值大于或等于9，
∵1＋a＋eq \f(y,x)＋eq \f(ax,y)≥a＋2eq \r(a)＋1，当且仅当y＝eq \r(a)x时，等号成立，∴a＋2eq \r(a)＋1≥9，∴eq \r(a)≥2或eq \r(a)≤－4(舍去)，∴a≥4，
即正实数a的最小值为4，故选B．
名师点拨
求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
〔变式训练4〕
(1)(角度1)已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则eq \f(8a＋b,ab)的最小值是( B )
A．10 B．9
C．8 D．3eq \r(2)
(2)设x>0，y>0，不等式eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(m,x＋y)≥0恒成立，则实数m的最小值是_－4__.
[解析] (1)由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，
由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，
所以f′(1)＝2a＋b＝2，
所以eq \f(8a＋b,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(8,b)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(8,b)))(2a＋b)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋\f(b,a)＋\f(16a,b)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋2\r(\f(b,a)·\f(16a,b))))
＝eq \f(1,2)(10＋8)＝9，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(16a,b)，即a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(4,3)时等号成立，
所以eq \f(8a＋b,ab)的最小值为9，故选B．
(2) 原问题等价于eq \f(m,x＋y)≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))恒成立，
∵x>0，y>0，∴等价于m≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(x＋y)的最大值．
而－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(x＋y)＝－2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＋\f(x,y)))≤－2－2＝－4，当且仅当x＝y时取“＝”，故m≥－4.