2021学年1.1.1 集合及其表示方法第2课时教学设计

这是一份2021学年1.1.1 集合及其表示方法第2课时教学设计，共6页。

1.了解空集、有限集、无限集的概念.
2.会用列举法表示有限集.
3.理解描述法的格式及其适用情形.
4.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换.
教学知识梳理
知识点一 集合的分类
按集合中的元素个数分类，不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅；含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集.
知识点二 列举法
把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫作列举法.适用于元素较少的集合.
思考 用列举法表示不大于6的正整数构成的集合.
【答案】{1,2,3,4,5,6}
知识点三 描述法
描述法：用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法.符号表示为{|}，如{x∈A|p(x)}.
思考 选择适当的方法表示下列集合：(1)方程(x－1)∙(x＋2)＝0的实数根组成的集合；
(2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.
【答案】(1){1，－2} (2){(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}
教学知识小测
1. {1}＝1.( × )
2.{(1，2)}＝{ x＝1，y＝2}.( × )
3.{ x∈R|x>1}＝{ y∈R|y>1}.( √ )
4.{ x|x2＝1}＝{－1，1}.( √ )
题型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合．
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
(3)单词lk中的字母组成的集合．
(4)不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－6>0，,1＋2x≥3x－5))的整数解组成的集合．
解 (1)小于10的所有自然数有：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，故用列举法表示为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(2)方程x2＝x的实数根为1，0，用列举法表示为{1，0}．
(3)因为集合中的元素具有互异性，所以lk中的字母组成的集合为{l，，k}．
(4)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－6>0，,1＋2x≥3x－5，))得3组成的集合为{4，5，6}．
反思感悟 (1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开.
(2)列举法表示的集合的种类
①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；
③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为
{0,1,2,3，…}.
跟踪训练1 用列举法表示下列集合.
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由1～20的所有素数组成的集合.
解 (1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}.
(2)设由1～20的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.
题型二 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)满足不等式3x＋2>2x＋1的实数x组成的集合；
(2)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合；
(3)所有正奇数组成的集合.
解 (1){x∈R|3x＋2>2x＋1}.
(2){(x，y)|x>0，y>0，且x，y∈R}.
(3){x|x＝2k－1，k∈N＋}.
反思感悟 用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号.
(2)说明该集合中元素的性质.
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内.
(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略.
跟踪训练2 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
题型三 集合表示的综合应用
例3 已知f(x)＝x2－ax＋b(a，b∈R)，A＝{x∈R|f(x)－x＝0}，B＝{x∈R|f(x)－ax＝0}，若A＝{1，－3}，试用列举法表示集合B.
解 因为f(x)－x＝0，即x2－(a＋1)x＋b＝0.
又因为A＝{1，－3}，
所以由根与系数的关系，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋（－3）＝a＋1，,1×（－3）＝b，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－3，))所以f(x)＝x2＋3x－3.
f(x)－ax＝0，亦即x2＋6x－3＝0.
所以B＝{x∈R|x2＋6x－3＝0}＝{－3－2eq \r(3)，－3＋2eq \r(3)}．
跟踪训练3 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求实数a的值；
(2)若A中最多有一个元素，求实数a的取值范围；
(3)若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－eq \f(1,2)，符合题意．当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即当a＝1时，原方程的解为x1＝x2＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，A中只有一个元素．
(2)A中最多有一个元素，即A中有一个元素或A中没有元素．当Δ＝4－4a<0，即a>1时，原方程无实数解．结合(1)知当a＝0或a≥1时，A中最多有一个元素．
(3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由Δ>0，得a<1，结合(1)可知a≤1.即a≤1时，A中至少有一个元素．
反思感悟 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.
(2)在学习过程中要注意数学思想的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.
核心素养之数学抽象
新定义的集合
典例 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(5n＋k|n∈Z))，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：
①2 016∈[1]；
②－3∈[3]；
③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；
④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”.
其中，正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】由于[k]＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(5n＋k|n∈Z))，对于①，2 016除以5等于403余1，∴2 016∈[1]，
∴①正确；
对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；
对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，
则a－b＝5(n1－n2)能被5整除，∴a－b∈[0]，∴③正确；
对于④，若a－b∈[0]，
则可设a－b＝5n，n∈Z，
即a＝5n＋b，n∈Z，
不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0,1,2,3,4，
则a＝5n＋5m＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，
∴a，b属于同一“类”，∴④正确，
则正确的有①③④，共3个.
[素养评析](1)命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求.
(2)对新定义的理解，是获得数学概念和规则的基础，突出培养学生数学抽象的核心素养.
教学总结
1.在用列举法表示集合时应注意
(1)元素间用逗号“，”分隔.
(2)元素不重复.
(3)元素无顺序.
(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集.若元素个数比较少，用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示.
2.在用描述法表示集合时应注意
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑.
课堂达标
1．集合{x|－3≤x≤3，x∈N}用列举法表示应是( )
A．{1，2，3} B．{0，1，2，3}
C．{－2，－1，0，1，2} D．{－3，－2，－1，0，1，2，3}
【解析】因为x∈N，故表示－3到3的自然数组成的集合，所以用列举法可表示为{0，1，2，3}．
【答案】B
2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
【解析】根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.
【答案】A
3．方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,x－y＝5))的解集用列举法表示为________；用描述法表示为________．
【解析】方程组的解为x＝eq \f(7,2)，y＝－eq \f(3,2)，因此用列举法表示该集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，－\f(3,2)))))，
描述法表示为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x，y）\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(7,2)，,y＝－\f(3,2))))))).
【答案】eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，－\f(3,2))))) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x，y）\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(7,2)，,y＝－\f(3,2)))))))
4．已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，10}，且－3∈A，则集合A＝________．
【解析】由－3∈A知a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－eq \f(3,2).下面检验：
当a＝－1时，2a2＋5a＝a－2＝－3，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
当a＝－eq \f(3,2)时，集合中的元素互不相同，满足题意．
综上，a＝－eq \f(3,2)，集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)，－3，10)).
【答案】A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)，－3，10))
5．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．
解 (1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，所以解集为{0，－1}．
(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，x∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构
成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．