新教材高中数学人教A必修第一册 模块复习课02 一元二次函数、方程和不等式 PPT课件+课时练习

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[对应学生用书P122][对应学生用书P122]一．数或式比较大小问题数或式比较大小的方法(1)作差或作商比较法．(2)找中间量来比较， 往往找1或0.(3)特值法，对相关的式子赋值计算得出结果．(4)数形结合法，画出相应的图形， 直观比较大小．[训练1]　若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A，B的大小关系为________．解析　因为A－B＝(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝x2＋10x＋21－(x2＋10x＋24)＝－3＜0，所以A＜B．答案　A＜B[训练2]　已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．[来源:Zxxk.Com]解　a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)＝(a－b)(a－c)(b－c)．∵a＜b＜c，∴a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，∴(a－b)(a－c)(b－c)＜0.∴a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2.二．不等式的性质及应用应用时容易出错的不等式的性质(1)同向不等式可以相加；异向不等式可以相减；若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d，若a＞b，c＜d则a－c＞b－d，但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；若a＞b＞0,0＜c＜d，则＞.(3)左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方．若a＞b＞0，则an＞bn或＞.(4)若ab＞0，a＞b，则＜，若ab＜0，a＞b，则＞.[训练3]　若a＞b, x＞y，下列不等式正确的是(　　)A．a＋x＜b＋y　　 B．ax＞byC．|a|x≥|a|y　 D．(a－b)x＜(a－b)yC　[因为当a≠0时， |a|＞0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.][训练4]　已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是(　　)A．xy＞yz　 B．xz＞yzC．xy＞xz　 D．x|y|＞z|y|C　[因为x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，又y＞z，所以xy＞xz.][训练5]　下列命题中，正确的是(　　)A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ac＞bc，则a＞bC．若＜，则a＜bD．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－dC　[取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c＜0时，ac＞bc，则a＜b，∴B错误；∵＜，∴c≠0，又c2＞0，∴a＜b，C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．]三、利用基本不等式求最值问题利用基本不等式求最值的方法基本不等式通常用来求最值问题：一般用a＋b≥2(a＞0，b＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤2解“定和求积，积最大”问题．[训练6]　设a，b，c为正实数，且满足a－3b＋2c＝0，则的最小值是________. 解析　因为a，b，c为正实数，a－3b＋2c＝0，所以b＝. 则＝≥＝，当且仅当a＝2c，b＝时取等号，所以的最小值是.答案　[训练7]　设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．解　∵＋＝3，∴＝1.∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×＝≥＝.当且仅当＝，即y＝2x时，取等号．又∵＋＝3，∴x＝，y＝.∴2x＋y的最小值为.四、利用基本不等式求解实际问题在实际应用中，经常涉及函数y＝x＋(k＞0)．一定要注意基本不等式适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证．[训练8]　某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：m/s)、平均车长l(单位：m)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．解析　(1)l＝6.05，则F＝＝，由基本不等式v＋≥2＝22，得F≤＝1 900(辆/小时)．(2)l＝5，F＝＝，由基本不等式v＋≥2＝20，当且仅当v＝时，即v＝10时，等号成立．得F≤＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)．答案　(1)1 900　(2)100[训练9]　某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)为50＜x≤80时，每天售出的件数为P＝，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？解　设销售价格为每件x元(50＜x≤80)，每天获得的利润为y元，则y＝(x－50)·P＝，令x－50＝t，则x＝50＋t，∴y＝＝＝≤＝2 500.当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500.所以销售价格每件应定为60元．五、一元二次不等式及其应用(1)一元二次不等式常与集合运算相结合．(2)三个二次之间的关系是解决一元二次不等式问题的关键．[来源:学*科*网](3)含参数的一元二次不等式恒成立问题是常见题型，关键是等价转化与合理分类．构造函数法与判别式、根与系数的关系是常见思考方向．(4)高次不等式、分式不等式要等价转化．[训练10]　若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，则m＝________.解析　因为ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m＞1，则解得答案　2[训练11]　解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0.解　当a＝0时，解集为R；当a＞0时，Δ＝－12a＜0，∴解集为R；当a＜0时，Δ＝－12a＞0，方程ax2－2ax＋a＋3＝0的两根分别为，，∴此时不等式的解集为.综上所述，当a≥0时，原不等式的解集为R；当a＜0时，原不等式的解集为.六、一元二次函数、方程和不等式一元二次不等式恒成立可以转化为判别式Δ和开口方向应满足不等式组，也可利用函数最值进行转化，即转化为求函数的最值问题．[训练12]　若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是__________．解析　令y＝8x2－(m－1)x＋m－7.∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，∴由二次函数图象得解得∴m的取值范围是{m|m≥25}．答案　[25，＋∞)[训练13]　若不等式x2＋ax＋3－a＞0对于满足－2≤x≤2的一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．解　设y＝x2＋ax＋3－a，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足－2≤x≤2的一切实数x恒有y＞0，只需满足：①Δ＝a2－4(3－a)＜0；②， 或，解①②得，当－7＜a＜2时，不等式x2＋ax＋3－a＞0对于满足－2≤x≤2的一切实数x恒成立．[对应学生用书P198]1．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝(　　)A．{x|－1＜x＜3}　　 B．{x|－1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}　 D．{x|2＜x＜3}A　[A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}．]2．若a，b∈R，则下列命题正确的是(　　)A．若a＞b，则a2＞b2　 B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞|b|，则a2＞b2　 D．若a≠|b|，则a2≠b2C　[因为a＝1＞b＝－1, a2＝b2，所以A错；因为|a|＝1＞b＝－1, a2＝b2，所以B错；若a＞|b|，则a2＞|b|2＝b2，所以C对；因为a＝－1，b＝1, a≠|b|, a2＝b2，所以D错．]3．若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于(　　)A．　 B．　C．　 D．A　[由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.]4．若＜＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|，②a＜b，③a＋b＜ab，④a3＞b3，则不正确的不等式的个数是(　　)A．0　 B．1　C．2　 D．3C　[由＜＜0可得b＜a＜0，从而|a|＜|b|，①②均不正确；a＋b＜0，ab＞0，则a＋b＜ab成立，③正确；a3＞b3，④正确. ]5．已知a＞0，b＞0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)A．8　 B．7　C．6　 D．5C　[∵2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54(当且仅当a＝b时，取等号)．∴9m≤54，即m≤6.]6．(多空题)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__________．解析　由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)＞2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km, 则原来行驶8天的路程就要用9天多， 即＞9.答案　8(x＋19)＞2 200　＞9[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]7．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________．解析　x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.答案　k≥4或k≤28．若实数a、b满足＋＝，则ab的最小值为________．解析　∵＋＝，∴a＞0，b＞0，∴＝＋≥2＝2，∴ab≥2，(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2.答案　29．当x＞3时，求的取值范围．解　∵x＞3，∴x－3＞0.∴＝＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24.当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，等号成立．10．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c＞＋＋.[来源:学科网ZXXK]证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0.∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c＞＋＋.11．已知：a，b，c∈(0，＋∞)．求证：··≤.证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0，∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc＞0.∴≤，即··≤.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解　 (1)设每件定价为t元，依题意，有[8－(t－25)×0.2]t≥25×8，整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x＞25时，a≥＋x＋有解．∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．