人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 章末素养提升1 PPT课件+同步习题

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第一章　空间向量与立体几何
章末素养提升
| 体 系 构 建 |
| 核 心 归 纳 |
1．空间向量的有关概念
2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
5.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．
(3)空间位置关系的向量表示
| 素 养 提 升 |
角度1　基向量的运算　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求异面直线BD1与AC夹角的余弦值．
素养1　数学运算
(1)基向量的选择：三个向量不共面且模和夹角已知或能求，使下一步的计算成为可能．(2)基向量的运算常常与共线向量定理、共面向量定理、平面向量基本定理等相结合，各个定理要理解准确．(3)加减运算中注意表示向量的字母规律，数量积运算中注意两向量夹角的确定．
角度2　坐标运算　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点．(1)求证：DE⊥C1F；(2)求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值．
2．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．(1)求证：PA∥平面BDE；(2)求二面角B－DE－C的余弦值．
(1)证明：方法一，如图，连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点．又∵E为PC的中点，∴OE∥PA．∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.
　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，P为侧棱CC1上一点．(1)求证：侧棱CC1上不存在点P使B1P⊥平面ABB1A1.(2)CC1上是否存在点P使得B1P⊥A1B？若存在，确定PC的长；若不存在，说明理由．
素养2　逻辑推理
(1)证明：(反证法)若CC1上存在点P，使B1P⊥平面ABB1A1，则平面BCC1B1⊥平面ABB1A1.又∵BC⊥BB1，∴BC⊥平面ABB1A1.∴BC⊥AB，与题意矛盾．∴CC1上不存在点P使B1P⊥平面ABB1A1.(2)解：CC1上存在点P使B1P⊥A1B．如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系．
巧用空间向量证明空间中的位置关系(1)线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②可在平面内找到一个向量，证明其与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(2)线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的性质定理转化为线线垂直问题．
(3)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(4)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．
3．如图，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3，PC＝CD＝2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．求证：(1)AD∥平面PCB；(2)平面PDE⊥平面PAC．
证明：(1)∵∠ADC＝∠DCB＝90°，∴AD∥BC，且AD⊄平面PCB，BC⊂平面PCB．∴AD∥平面PCB．
∴DE⊥CA，DE⊥CP.又CP∩CA＝C，AC⊂平面PAC，CP⊂平面PAC，∴DE⊥平面PAC．∵DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC．
| 链 接 高 考 |
　(2020年浙江)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．(1)求证：EF⊥DB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
线面角
图1
方法二，由三棱台ABC－DEF得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为θ.如图2，以O为原点，分别以射线OC，OD为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
图2
【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．
　(2021年全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.(1)求证：BF⊥DE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
面面角
解：因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB．因为A1B1∥AB，BF⊥A1B1，所以BF⊥AB．又BB1∩BF＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.所以BA，BC，BB1两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
【点评】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出D(a,0,2)(0≤a≤2)，在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步．
　(2019年新课标Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)求证：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．
距离
图1
方法二，∵直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD．以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图2.
图2
【点评】本题考查线面平行的证明，点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识以及推理能力与计算能力，属于中档题．