人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 模块综合测试

这是一份人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 模块综合测试，共11页。
模块综合测试(时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x，y∈R，向量a＝(x,1,1)，b＝(1，y,1)，c＝(2，－4，2)，a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)A．2 B．C．3 D．4【答案】C　【解析】∵b∥c，∴y＝－2.∴b＝(1，－2,1)．∵a⊥c，∴a·c＝2x＋1·＋2＝0，∴x＝1.∴a＝(1,1,1)．∴a＋b＝(2，－1,2)．∴|a＋b|＝＝3.2．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则＋(－)等于(　　)A． B．C． D．【答案】C　【解析】－＝，(－)＝＝，∴＋(－)＝＋＝.3．若直线l1：mx＋2y＋1＝0与直线l2：x＋y－2＝0互相垂直，则实数m的值为(　　)A．2 B．－2C． D．－【答案】B　【解析】直线l1：y＝－x－，直线l2：y＝2－x，又直线l1与直线l2互相垂直，∴－×(－1)＝－1，即m＝－2.4．已知直线l：x－2y＋a－1＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a＝(　　)A．－9 B．1C．1或－2 D．1或－9【答案】D　【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l：x－2y＋a－1＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－2＝2，所以a2＋8a－9＝0，解得a＝1或a＝－9.5．已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为(　　)A． B．C． D．【答案】A　【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x，y)，则y＝x，由|AB|＝2c，可知|OA|＝＝c，即＝c，解得x＝c，所以A.把点A代入椭圆方程得到＋＝1，整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，因为0<e<1，所以可得e＝.6．已知M(x0，y0)是双曲线C：－＝1上的一点，半焦距为c，若|MO|≤c(其中O为坐标原点)，则y的取值范围是(　　)A． B．C． D．【答案】A　【解析】因为|MO|≤c，所以|MO|≤，所以x＋y≤a2＋b2，又－＝1，消去x得0≤y≤，所以0≤y≤.7．在空间直角坐标系Oxyz中，O(0,0,0)，E(2，0,0)，F(0,2，0)，B为EF的中点，C为空间一点且满足||＝||＝3，若cos〈，〉＝，则·＝(　　)A．9 B．7C．5 D．3【答案】D　【解析】设C(x，y，z)，B(，，0)，＝(x，y，z)，＝(x－，y－，z)，＝(－2，2，0)，由cos〈，〉＝＝＝，整理可得x－y＝－，由||＝||＝3，得＝，化简得x＋y＝，以上方程组联立得x＝，y＝，则·＝(x，y，z)·(0,2，0)＝2y＝3.8．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为(　　)A．＋ B．9＋C．＋ D．9＋【答案】D　【解析】抛物线方程中：令y＝1可得x＝，即A，结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立可得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，据此可得xAxB＝1，∴xB＝＝4，且|AB|＝xA＋xB＋p＝，将x＝4代入y2＝4x可得y＝±4，故B(4，－4)，故|MB|＝＝，故△ABM的周长为|MA|＋|AB|＋|BM|＝＋＋＝9＋.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是(　　)A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0C．直线l过定点(0,1)D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC　【解析】对于A项，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，所以正确；对于B项，若直线l与直线x－y＝0平行，可知(a2＋a＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a＝0或a＝－1，所以不正确；对于C项，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D项，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在两轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC．10．已知F1，F2是双曲线C：－＝1的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1F2为直径的圆经过点M，则下列说法正确的是(　　)A．双曲线C的渐近线方程为y＝±xB．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2C．点M的横坐标为±D．△MF1F2的面积为2【答案】ACD　【解析】由双曲线方程－＝1知a＝2，b＝，焦点在y轴，渐近线方程为y＝±x＝±x，A正确；c＝＝，以F1F2为直径的圆的方程是x2＋y2＝6，B错；由得或由对称性知M点横坐标是±，C正确；S△MF1F2＝|F1F2||xM|＝×2×＝2，D正确．故选ACD．11．已知点A是直线l：x＋y－＝0上一定点，P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(　　)A．(0，) B．(1，－1)C．(，0) D．(－1,1)【答案】AC　【解析】如图所示，原点到直线l的距离为d＝＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，由图可知，当AP，AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP，OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝|OP|＝，由两点间的距离公式得|OA|＝＝，整理得2t2－2t＝0，解得t＝0或，因此，点A的坐标为(0，)或(，0)．故选AC．12．关于空间向量，以下说法正确的是(　　)A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若对空间中任意一点O，有＝＋＋，则P，A，B，C四点共面C．设是空间中的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底D．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角【答案】ABC　【解析】对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B中，若对空间中任意一点O，有＝＋＋，根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以是正确的；对于C中，由是空间中的一组基底，则向量a，b，c不共面，可得向量a＋b，b＋c，c＋a也不共面，所以{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D中，若a·b<0，又由〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉∈，所以不正确．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz中，点M(1，－1,1)关于x轴的对称点坐标是__________；|OM|＝________. 【答案】(1,1，－1)　　【解析】在空间直角坐标系Oxyz中，点M(1，－1,1)关于x轴的对称点坐标是M′(1,1，－1)，|OM|＝＝.14．若直线mx＋y－2＝0(m∈R)与圆C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B两点，且△ABC的面积为，则m的值为________．【答案】±1　【解析】将x2＋y2－2y－1＝0化成标准方程为x2＋(y－1)2＝2，因为△ABC的面积为，所以·()2·sin∠ACB＝，所以sin∠ACB＝，所以∠ACB＝或，所以圆心C到直线AB的距离是×＝或×＝，根据点到直线的距离公式得＝或＝，所以m＝±1.15．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．【答案】　【解析】如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则D(0,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，M，A(1,0,0)．∴＝，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．设平面ACD1的法向量n＝，则即令x＝1，则y＝z＝1，∴n＝(1,1,1)．∴点M到平面ACD1的距离d＝＝.又綉，故MN∥平面ACD1.故直线MN到平面ACD1的距离为.16．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为该双曲线上一点且2|PF1|＝3|PF2|，若∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】　【解析】2|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|＝6a，|PF2|＝4a，在△PF1F2中，利用余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2·6a·4acos 60°，化简整理得到c＝a，故e＝.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在△ABC中，A(2，－5,3)，＝(4,1,2)，＝(3，－2,5)．(1)求顶点B，C的坐标；(2)求·；(3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标．解：(1)设点O为坐标原点，＝＋＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)，则B(6，－4,5)．＝＋＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C(9，－6,10)．(2)＝＋＝(7，－1,7)，则＝(－7,1，－7)，又＝(3，－2,5)，因此，·＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58.(3)设点O为坐标原点，＝，则－＝(－)，则＝＋＝(2，－5,3)＋(9，－6,10)＝，所以点P的坐标为.18．(12分)已知常数a>0，向量p＝(1,0)，q＝(0，a)，经过定点M(0，－a)、方向向量为λp＋q的直线与经过定点N(0，a)、方向向量为p＋2λq的直线交于点R，其中λ∈R.(1)求点R的轨迹方程；(2)a＝，过F(0,1)的直线l交点R的轨迹于A，B两点，求·的取值范围．解：(1)设R(x，y)，则MR＝(x，y＋a)，NR＝(x，y－a)．又λp＋q＝(λ，a)，p＋2λq＝(1,2λa)，且MR∥(λp＋q)，NR∥(p＋2λq)，故消去参数λ，得点R的轨迹方程为(y＋a)(y－a)＝2a2x2，即y2－2a2x2＝a2(去掉点(0，－a))．(2)因a＝，则点R的轨迹方程为2y2－2x2＝1．,若l的斜率不存在，其方程为x＝0，l与双曲线交于一点A.若l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋1.代入2y2－2x2＝1，化简得2x2＋4kx＋1＝0.由解得k≠±1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝.故·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝(x1，kx1)·(x2，kx2)＝x1x2＋k2x1x2＝＝.当－1<k<1时，k2－1<0，故k＝0时，·有最大值－；当k>1或k<－1时，k2－1>0，·>.综上可得·∈∪.19．(12分)如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2 m的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20 m的正方形．因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5 m/s，仪器Q的移动速度为1 m/s.若仪器P与仪器Q的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中．(1)如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P在点A处，仪器Q在BC上距离点C 4 m处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由；(2)如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为多少？解：(1)建立如图1所示的平面直角坐标系，则Q(10,6)，P(－10，－10)，所以kPQ＝，所以直线PQ的方程是x－y－2＝0，即4x－5y－10＝0，故圆心O到直线PQ的距离d＝＝<2，所以圆O与直线PQ相交，故仪器Q在仪器P的“盲区”中．(2)建立如图2所示的平面直角坐标系，则A(－10，－10)，B(10，－10)，C(10,10)，D(－10,10)．依题意知起始时刻仪器Q在仪器P的“盲区”中．假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为t s.则P，Q，所以直线PQ的斜率kPQ＝＝＝，故直线PQ的方程是y－(10－t)＝(x－10)，即(t－8)x＋8y－2t＝0，从而点O到直线PQ的距离d＝＝≤2，整理得t2≤t2－16t＋128，解得t≤8，结合时间t≥0，得0≤t≤8.答：仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为8 s.20．(12分)如图，过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F的直线交C于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，且x1x2＝－4.(1)求抛物线C的标准方程；(2)R，Q是C上的两动点，R，Q的纵坐标之和为1，R，Q的垂直平分线交y轴于点T，求△MNT的面积的最小值．解：(1)由题意，得设直线MN的方程为y＝kx＋，由得x2－2pkx－p2＝0，由题意知x1，x2是方程两根，所以x1x2＝－p2＝－4，所以p＝2，抛物线的标准方程为x2＝4y.(2)设R(x3，y3)，Q(x4，y4)，T(0，t)，因为T在RQ的垂直平分线上，所以|TR|＝|TQ|.得x＋(y3－t)2＝x＋(y4－t)2，因为x＝4y3，x＝4y4，所以4y3＋(y3－t)2＝4y4＋(y4－t)2.即4(y3－y4)＝(y3＋y4－2t)(y4－y3)，所以－4＝y3＋y4－2t.又因为y3＋y4＝1，所以t＝，故T.于是S△MNT＝|FT||x1－x2|＝|x1－x2|.由(1)得x1x2＝－4，x1＋x2＝4k.S△MNT＝|x1－x2|＝＝＝3≥3.所以当k＝0时，S△MNT有最小值3.21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．(1)证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC．∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．(2)解：如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)．设P(0,0，a)(a>0)，则E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝，取m＝(1，－1,0)，则m·＝m·＝0，所以m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点(，0)作直线l与椭圆C交于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得＝，＋＝1，又a2－b2＝c2，解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)存在定点Q，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称．设直线l的方程为x＋my－＝0，与椭圆C联立，整理得(4＋m2)y2－2my－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t,0)．(依题意t≠x1，t≠x2)则由韦达定理可得，y1＋y2＝，y1y2＝.直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于AQ，BQ的斜率互为相反数．所以＋＝0，即得y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0.又x1＋my1－＝0，x2＋my2－＝0，所以y1(－my2－t)＋y2(－my1－t)＝0，整理得(－t)(y1＋y2)－2my1y2＝0.从而可得(－t)·－2m·＝0，即2m(4－t)＝0，所以当t＝，即Q时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称成立．特别地，当直线l为x轴时，Q也符合题意．综上所述，存在x轴上的定点Q，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称．