高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用习题ppt课件

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| 自 学 导 引 |
|cs〈n1，n2〉|
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　)(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．(　　)(3)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2则θ＝〈n1，n2〉．(　　)【答案】(1)×　(2)×　(3)×
3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1，1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　)A．45°B．135°C．45°或135°D．90°【答案】C
| 课 堂 互 动 |
　如图，在四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD且AB＝BC＝6，BD＝8，E为AD中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
题型1　异面直线所成的角
求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解．
1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求异面直线AE与D1F所成角．
解：如图，设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系Dxyz.
(1)证明：∵在△PAD中，由E，F为PD，PA中点得EF为中位线，∴EF∥AD．又∵底面为矩形，AD∥BC，∴EF∥BC．∴由平行线确定唯一平面得E，F，B，C在同一平面上．
(2)解：如图，以A为原点建立坐标系，其中AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴，
　如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠APB＝90°.(1)求证：AP⊥PC；(2)设AB＝5，AP＝BC＝2AD＝4，求直线CB与平面PCD所成角的正弦值．素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
题型2　直线与平面所成的角
(1)证明：因为平面PAB⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AP.又因为AP⊥PB，且PB∩BC＝B，故AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC．(2)解：如图，作PM⊥AB于点M，则建立空间直角坐标系Mxyz，
素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．
(1)证明：如图1，连接AC交BD于点O，因为四边形ABCD为平行四边形，且AD＝CD，所以四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．因为BD∥平面AEQF，平面AEQF∩平面SBD＝EF，BD⊂平面SBD，所以BD∥EF.因为BD⊥AC，所以EF⊥AC．
规范解答　利用向量法求空间角
审题指导：(1)要证明DE⊥平面ACD，需要证明DE与平面ACD内两条相交直线垂直，其中DE⊥DC较明显，由平面ABC⊥平面BCDE，且AC⊥BC，证得AC⊥平面BCDE，从而DE⊥AC．(2)要求二面角B－AD－E的大小，可先以D为原点建系，再求出平面ADE和平面ABD的法向量，最后由公式计算二面角的大小．
【题后悟道】1．利用条件建立空间直角坐标系充分利用题干中的垂直关系建立空间直角坐标系，使几何体的顶点尽量多地落在坐标轴上，建系或在求点的坐标时用到的位置关系和数量关系要进行必要的说明，如本例中，AC⊥平面BCDE，不仅用于证明AC⊥DE，还为求点A的坐标提供依据．
| 素 养 达 成 |
2．向量法求直线与平面所成角的原理
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)A．120°B．60°C．30°D．以上均错【答案】C【解析】由直线与平面所成的角的范围及与向量所成角的关系知直线l与平面α所成的角等于90°－(180°－120°)＝30°.
3.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　)A．45°B．135°C．90°D．45°或135°【答案】D
4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为________．