2020-2021学年1.4 空间向量的应用习题课件ppt

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| 自 学 导 引 |
空间中点、直线的向量表示
2．用向量表示直线的位置
如何获得直线的方向向量？
【答案】提示：最常用的方法是在直线上取一有向线段，该有向线段表示的向量即可作为直线的方向向量．
2．通过平面α上的一个定点A和法向量来确定
空间中确定平面的条件有哪些？
【答案】提示：①空间一个点，一个法向量(一个方向)可确定一个平面；②空间内一点和平面内两个不共线的向量可确定一个平面．
一个平面的法向量有多少个？它们是什么关系？
【答案】提示：无数个，都互相平行．
设空间两条直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，两个平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则有如下结论：
用向量描述空间平行关系
a1u1＋a2u2＋a3u3＝0
u1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv3　
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)(1)平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(　　)(2)如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．(　　)【答案】(1)√　(2)×【解析】(1)根据平面法向量的定义，可知，平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量，是正确的．(2)当a，b共线时，n就不是平面α的一个法向量．
4．设直线l1的方向向量a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为________．【答案】2【解析】因为l1⊥l2，所以a⊥b.因为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，解得m＝2.
| 课 堂 互 动 |
　(1)若向量a＝(2,1)是直线l1的一个方向向量，向量b＝(－1,3)是直线l2的一个法向量，则直线l1与l2的夹角的余弦值为________．
题型1　求直线的方向向量和平面的法向量
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　)A．(1，－1,3)B．(1，－1，－3)C．(2，－3,6)D．(－2,3，－6)素养点睛：考查数学抽象、直观想象的核心素养．
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.
　已知O为坐标原点，四面体OABC中，A，B，C的坐标分别为A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，若直线AD∥BC且AD交坐标平面Ozx于点D，求点D的坐标．素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
题型2　空间中的线线平行问题
或0＝－(x－1)，2＝－(y－2)，－5＝－z.所以x＝1，y＝4，z＝－5或x＝1，y＝0，z＝5.故D点坐标为(1,4，－5)或(1,0,5)．
向量法处理空间平行问题的两个应用(1)求字母的值：通过线线、线面、面面平行转化为向量的共线、垂直的关系，再利用向量关系构造关于字母的等量关系，进而求出字母的值．(2)求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量，利用空间中点、线、面的位置关系，转化为向量的位置关系，进而建立与所求点的坐标有关的等式．
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
题型3　向量法证明线面、面面平行问题　(1)若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.(2)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．求证：EF∥平面SAD．素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
1．用向量证明线面平行的方法(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直．(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．2．向量法证明面面平行的方法设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
　已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是________．错解：因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0，所以u⊥a，所以l∥α.错解分析：错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别．实际上，本例中由向量u⊥a可得l⊂α或l∥α.正解：因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0，所以u⊥a.所以l⊂α或l∥α.
易错警示　利用向量法判断直线与平面平行
防范措施：向量法证明线面平行的两个关注点(1)明确理论依据如果一条直线与一个平面的垂线垂直，那么，这条直线在平面内或与平面平行．(2)区分有关概念直线与平面平行，直线一定在平面外，向量与平面平行，向量对应的直线可在平面内.
| 素 养 达 成 |
1．点、直线、平面位置确定的关键(1)确定点：用向量确定空间中的任意一个点，关键是确定一个基点．(2)确定直线：用向量确定一条直线，关键是确定一个点和一个方向向量．
(3)确定平面：①一个定点两个向量：用向量确定一个平面，关键是理解平面向量基本定理，即存在有序实数对(x，y)使得平面内的向量等于xa＋yb，这样点O与向量a，b不仅能确定一个平面，而且还能具体表示出平面内的一个点．②一个点一个向量：给定一个点和一个向量，过这个点，以这个向量为法向量的平面唯一确定．
3．对平面法向量的两点说明(1)平面法向量的选取：平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．即只需作一条垂直于平面的直线，选取该直线的方向向量．(2)平面法向量的不唯一性：一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．
4．空间中平行问题的解决策略
3．若平面α，β的法向量分别为m＝(1，－5,2)，n＝(－3,1,4)，则(　　)A．α⊥βB．α∥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确【答案】A【解析】m·n＝1×(－3)＋(－5)×1＋2×4＝0，则m⊥n，所以α⊥β.
4．已知直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n.下列可能使l∥α的是(　　)A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)【答案】D【解析】要使l∥α，当且仅当a⊥n，即a·n＝0，只有D中a·n＝1×0－1×3＋3×1＝0.
5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.