数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用习题ppt课件

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| 自 学 导 引 |
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则：
空间垂直关系的向量表示
u1v1＋u2v2＋u3v3＝0
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)(1)两直线垂直的充要条件是两直线的方向向量垂直．(　　)(2)直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行．(　　)(3)两平面垂直的充要条件是两平面的法向量垂直．(　　)【答案】(1)√　(2)√　(3)√【解析】(1)根据直线的方向向量和线线垂直的定义，该判断正确．(2)根据直线的方向向量与平面的法向量的定义和线面垂直的定义，该判断正确．(3)根据平面的法向量的定义和面面垂直的定义，该判断正确．
2．若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为(　　)A．l与α斜交　B．l⊂αC．l∥α　D．l⊥α【答案】D【解析】因为a＝(2,0,1)，n＝(－4,0，－2)，所以n＝－2a，故n∥a.即直线l的方向向量与平面α的法向量平行，故l⊥α.
3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.【答案】－4【解析】因为α⊥β，且向量a，b分别是平面α，β的法向量，所以a⊥b，a·b＝x－2＋6＝0，所以x＝－4.
用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？
【答案】提示：需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系.
| 课 堂 互 动 |
　如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为(　　)A．1∶2B．1∶1C．3∶1D．2∶1素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．【答案】B
1．利用向量法证明线线垂直的依据和关键点(1)依据：转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.(2)关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求直线的方向向量．2．应用线线垂直求点的坐标的策略(1)设出点的坐标．(2)利用点满足的条件建立与坐标有关的方程．(3)通过解方程的方法求出点的坐标．
1．如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝BB1.求证：BC1⊥AB1.
证明：如图，以点C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C中点．求证：MN⊥平面A1BD．素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系．(2)将直线的方向向量用坐标表示．(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系．(2)将直线的方向向量用坐标表示．
(3)求出平面的法向量．(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．提醒：用坐标证明垂直问题，关键是根据题目中的垂直关系建立适当的坐标系．
证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)，
方向2　探究性问题 　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
解：建立如图所示的空间直角坐标系．
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)将一平面内两相交直线的方向向量用坐标表示．(3)由两条相交直线的方向向量，计算两组向量的数量积，得到数量积为0.(4)同理求出另一个平面的法向量．
【拓展延伸】探索性问题的解决方法(1)猜测法：猜测满足的条件，然后以此为基础结合题目中的其他条件进行证明结论成立，或者利用题目条件用变量设出条件，再结合结论逆向推导出变量的取值．(2)逆推法：利用结论探求条件；如果是存在型问题，那么先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在．
3．在三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直且相等，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC．证明：方法一，如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，
　如图，在棱长为2的正方体中ABCD－A1B1C1D1，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0