高考数学一轮复习第8章解析几何第3讲圆的方程学案

这是一份高考数学一轮复习第8章解析几何第3讲圆的方程学案，共10页。

知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 圆的定义及方程
知识点二 点与圆的位置关系
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2__＝__r2⇔点在圆上；
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2__＞__r2⇔点在圆外；
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2__＜__r2⇔点在圆内．
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．
2．圆心在任一弦的垂直平分线上．
3．两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
4．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(公式推导：设圆上任一点P(x，y)，则有kPA·kPB＝－1，由斜率公式代入整理即可)．
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．( √ )
(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( × )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx＋Ey＋F＞0．( √ )
(5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( × )
题组二 走进教材
2．(必修2P124A组T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝10__．
[解析] 设圆心坐标为C(a,0)，
∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，
即eq \r(a＋12＋1)＝eq \r(a－12＋9)，解得a＝2，
∴圆心为C(2,0)，
半径|CA|＝eq \r(2＋12＋1)＝eq \r(10)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10．
3．(必修2P132A组T3)以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( C )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
[解析] 因为圆心(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝eq \f(|6＋4＋5|,5)＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9．故选C．
题组三 走向高考
4．(2019·北京高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__(x－1)2＋y2＝4__．
[解析] ∵抛物线的方程为y2＝4x，∴其焦点坐标为F(1，0)，准线l的方程为x＝－1．又∵圆与直线l相切，∴圆的半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋y2＝4．
5．(2020·高考全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( B )
A．eq \f(\r(5),5)B．eq \f(2\r(5),5)
C．eq \f(3\r(5),5)D．eq \f(4\r(5),5)
[解析] 设圆心为P(x0，y0)，半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点(2,1)，∴x0＝y0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2，∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5．①r＝1时，圆心P(1,1)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|2－1－3|,\r(22＋－12))＝eq \f(2\r(5),5)；②r＝5时，圆心P(5,5)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|10－5－3|,\r(22＋－12))＝eq \f(2\r(5),5)．故选B．
考点突破·互动探究
考点一 求圆的方程——自主练透
例1 (1)(2021·海南海口二中模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( C )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
(2)(2021·重庆一中、湖北鄂州期中)圆C半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( B )
A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2－4x＝0
C．x2＋y2＋4x＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0
(3)(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__x2＋y2－2x＝0__．
(4)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝9__．
[解析] (1)由题意知，圆M的半径r为两平行线间距离eq \f(10,\r(32＋42))＝2的一半，
∴r＝1，设圆心的坐标为(a，－a－4)，
则eq \f(|3a－4－a－4|,\r(32＋42))＝eq \f(|3a－4－a－4＋10|,\r(32＋42))
解得a＝－3，∴圆心坐标为(－3，－1)，
∴圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1，故选C．
另解：与两平行直线距离相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＋5＝0,y＝－x－4))，得圆心坐标为(－3，－1)，
又两平行线间距离为eq \f(10,\r(32＋42))＝2，
∴圆M的半径r＝1，
∴圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1．故选C．
(2)设圆心C(a,0)(a＞0)，由题意知eq \f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝2，解得a＝2，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故选B．
(3)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．分别代入(0,0)，(1,1)，(2,0)三点，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝0，,F＝0.))故圆的方程为x2＋y2－2x＝0．
(4)设圆C的圆心坐标为(a,0)，a＞0，半径为r，则eq \f(4\r(5),5)＝eq \f(|2a|,\r(22＋12))．∵a＞0，∴a＝2．∴r2＝(2－0)2＋(0－eq \r(5))2＝9，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．
名师点拨
求圆的方程的两种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
〔变式训练1〕
(1)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( A )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为__(x＋1)2＋(y＋2)2＝10__．
[解析] (1)由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a＞0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，
∴eq \f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或a＝－eq \f(1,2)(舍去)．
∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1．
故选A．
(2)AB的中点为H(0，－4)，
且kAB＝eq \f(－3－－5,2－－2)＝eq \f(1,2)，
∴AB中垂线方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋4＝0,x－2y－3＝0))得圆心C(－1，－2)，∴r2＝AC2＝10．
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
考点二 与圆有关的最值问题——多维探究
角度1 斜率型最值
例2 已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则eq \f(y－1,x－2)的最大值与最小值分别为__eq \f(\r(3),3)，－eq \f(\r(3),3)__．
[解析] 设eq \f(y－1,x－2)＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．
由eq \f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq \f(\r(3),3)，故填eq \f(\r(3),3)，－eq \f(\r(3),3)．
角度2 截距型最值
例3 (2021·海南海口模拟)已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝eq \r(3)x＋y的取值范围是( B )
A．(－2eq \r(3)，4)B．[－2eq \r(3)，4]
C．[－4,4]D．[－4,2eq \r(3)]
[解析] x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线eq \r(3)x＋y－m＝0的斜率为－eq \r(3)，在y轴上的截距为m；当直线eq \r(3)x＋y－m＝0过点(－2,0)时，m＝－2eq \r(3)．设圆心(0,0)到直线eq \r(3)x＋y－m＝0的距离为d，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－2\r(3)，,d≤2.))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－2\r(3)，,\f(|－m|,2)≤2.))解得m∈[－2eq \r(3)，4]．
角度3 与距离有关的最值
例4 (2021·陕西西安一中质检)P是圆M：x2＋(y－3)2＝4上的动点，则P到直线l：eq \r(3)x－y－3＝0的最短距离为( D )
A．5B．3
C．2D．1
[解析] 如图，过M作MA⊥l于A，
当P在线段MA上时，|PA|为最短距离，
|MA|＝eq \f(|\r(3)·0－3－3|,\r(\r(3)2＋1))＝3，|PA|＝|MA|－2＝1．
[引申]本例中若P(x，y)，则
(1)(x＋3)2＋(y＋1)2的最大值为__49__，最小值为__9__．
(2)|x－2y－2|的取值范围为__[8－2eq \r(5)，8＋2eq \r(5)]__．
[解析] (1)(x＋3)2＋(y＋1)2表示圆上的点到点N(－3，－1)距离的平方，
由|MN|＝eq \r(0－－32＋3－－12)＝5知圆上的点到N的距离的最大值为7，最小值为3，
故(x＋3)2＋(y＋1)2的最大值为49，最小值为9．
(2)|x－2y－2|表示圆上的点到直线l1：x－2y－2＝0距离的eq \r(5)倍，
又圆心M(0,3)到直线l1的距离为eq \f(8,\r(5))＝eq \f(8\r(5),5)，
∴圆M上的点到直线l2距离的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(5),5)－2，\f(8\r(5),2)＋2))．
故|x－2y－2|的取值范围为[8－2eq \r(5)，8＋2eq \r(5)]．
名师点拨
与圆有关的最值问题的常见解法
(1)形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(4)圆上的点到定点(定直线)距离的最大值与最小值为圆心到定点(定直线)距离与半径的和与差．
〔变式训练2〕
已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
(1)(角度1)eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)(角度2)y－x的最大值和最小值；
(3)(角度3)x2＋y2的最大值和最小值．
[解析] (1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点C(2,0)为圆心，以eq \r(3)为半径的圆．
设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx，
则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k2＝3，所以kmax＝eq \r(3)，kmin＝－eq \r(3)．
(2)解法一：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6)．
所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6)．
解法二：设圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\r(3)cs θ，,y＝\r(3)sin θ))(0≤θ＜2π)，
则y－x＝eq \r(3)sin θ－eq \r(3)cs θ－2＝eq \r(6)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))－2，
当θ＝eq \f(3,4)π时，取最大值eq \r(6)－2，
当θ＝eq \f(7,4)π时，取最小值－eq \r(6)－2．
(3)解法一：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)．
x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3)．
解法二：由(2)中的参数方程可得：
x2＋y2＝(2＋eq \r(3)cs θ)2＋(eq \r(3)sin θ)2＝7＋4eq \r(3)csθ从而得x2＋y2的最大值为7＋4eq \r(3)，最小值为7－4eq \r(3)．
考点三 与圆有关的轨迹问题——师生共研
例5 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解析] (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．
(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4．
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．
名师点拨
求与圆有关的轨迹方程的方法
eq \x(直接法)—eq \x(直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法)
|
eq \x(定义法)—eq \x(根据圆或直线的定义列方程求解的方法)
|
eq \x(几何法)—eq \x(利用圆的几何性质，得出方程的方法)
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eq \x(代入法)—eq \x(\a\al(找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满,足的关系式的方法))
〔变式训练3〕
(2021·河北衡水中学调研)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[解析] (1)解法一：设C(x，y)，
因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0．
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2．
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，
M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y．
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1．
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
名师讲坛·素养提升
对称思想在圆中的应用
例6 (1)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D )
A．－eq \f(5,3)或－eq \f(3,5)B．－eq \f(3,2)或－eq \f(2,3)
C．－eq \f(5,4)或－eq \f(4,5)D．－eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)
(2)已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是__2eq \r(5)__．
[解析] (1)圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3,2)，半径r＝1．如图，作出点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B．设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0．由反射光线与圆相切可得eq \f(|k－3－2－2k－3|,\r(1＋k2))＝1，即|5k＋5|＝eq \r(1＋k2)，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4)，故选D．
(2)圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝5，其圆心C(2，1)关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点为C′(－3，－4)，|PA|＋|PQ|的最小值为|AC′|－eq \r(5)＝eq \r(62＋32)－eq \r(5)＝2eq \r(5)．
[引申]本例(1)中入射光线所在直线的方程为__4x－3y－1＝0或3x－4y－6＝0__．
名师点拨
1．光的反射问题一般化为轴对称解决．
2．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
3．定点到圆上动点距离的最大(小)值为定点到圆心的距离加(减)半径；圆上的点到定直线距离的最大(小)值为圆心到直线的距离加(减)半径．
〔变式训练4〕
已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( A )
A．5eq \r(2)－4B．eq \r(17)－1
C．6－2eq \r(2)D．eq \r(17)
[解析] C1(2,3)关于x轴的对称点为C3(2，－3)，
又|C2C3|＝eq \r(2－32＋－3－42)＝5eq \r(2)，
∴|PM|＋|PN|的最小值为5eq \r(2)－3－1＝5eq \r(2)－4．故选A．
定义
平面内到__定点__的距离等于__定长__的点的集合(轨迹)叫做圆
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C：__(a，b)__
半径：__r__
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径：r＝__eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)__