高考数学一轮复习第8章解析几何第5讲椭圆学案

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知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．
注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：
(1若a＞c，则集合P为__椭圆__；
(2若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；
(3若a＜c，则集合P为__空集__．
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．
2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝eq \f(2b2,a)，称为通径．
3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．
4．e＝eq \r(1－\f(b2,a2))．
5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．
6．AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的弦，A(x1，y1，B(x2，y2，弦中点M(x0，y0，则
(1弦长l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；
(2直线AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0)．
7．若M、N为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点，则KPM·KPN＝－eq \f(b2,a2)．
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”
(1平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )
(3方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n表示的曲线是椭圆．( √ )
(4eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0的焦距相同．( √ )
题组二 走进教材
2．(必修2P42T4椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的焦距为4，则m等于( C )
A．4B．8
C．4或8D．12
[解析] 当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，
10－m－(m－2＝4，∴m＝4．
当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m＝4，∴m＝8．
∴m＝4或8．
3．(必修2P68A组T3过点A(3，－2且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为( A )
A．eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1B．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1
C．eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1D．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,15)＝1
题组三 走向高考
4．(2018·课标全国Ⅱ已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( D )
A．1－eq \f(\r(3),2)B．2－eq \r(3)
C．eq \f(\r(3)－1,2)D．eq \r(3)－1
[解析] 设|PF2|＝x，则|PF1|＝eq \r(3)x，|F1F2|＝2x，故2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋eq \r(3)x,2c＝|F1F2|＝2x，于是离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(2x,1＋\r(3)x)＝eq \r(3)－1．
5．(2019·课标Ⅰ，10已知椭圆C的焦点为F1(－1,0，F2(1,0，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( B )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
[解析] 设|F2B|＝x(x＞0，
则|AF2|＝2x，|AB|＝3x，
|BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|＝4a－6x，
由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x，
所以|AF1|＝2x．
在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|F2B|·|F1F2|cs∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cs∠BF2F1，①
在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cs∠AF2F1，即4x2＝ 4x2＋22＋8x·cs∠BF2F1，②
由①②得x＝eq \f(\r(3),2)，所以2a＝4x＝2eq \r(3)，a＝eq \r(3)，
所以b2＝a2－c2＝2．
所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1．故选B．
考点突破·互动探究
考点一 椭圆的定义及应用——自主练透
例1 (1(2021·泉州模拟已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是( B )
A．圆B．椭圆
C．双曲线的一支D．抛物线
(2已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值和最小值分别为__6＋eq \r(2)，6－eq \r(2)__．
(3已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面积为3eq \r(3)，则b＝__3__．
[解析] (1如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，设椭圆方程：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(其中a＞b＞0．连接MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO|＝a(a＞|F1O|，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．
(2如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6．
∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6．
由椭圆方程eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1知c＝eq \r(9－5)＝2，
∴F1(2,0，∴|AF1|＝eq \r(2)．
利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立．
∴|PA|＋|PF|≤6＋eq \r(2)，|PA|＋|PF|≥6－eq \r(2)．
故|PA|＋|PF|的最大值为6＋eq \r(2)，最小值为6－eq \r(2)．
(3|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝eq \f(4,3)b2，
又因为S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)b2×eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(\r(3),3)b2＝3eq \r(3)，所以b＝3．故填3．
[引申]本例(2中，若将“A(1,1”改为“A(2,2”，则|PF|－|PA|的最大值为__4__，|PF|＋|PA|的最大值为__8__．
[解析] 设椭圆的右焦点为F1，则∵|PF1|＋|PA|≥|AF1|＝2(P在线段AF1上时取等号，∴|PF|－|PA|＝6－(|PF1|＋|PA|≤4，∵|PA|－|PF1|≤|AF1|＝2，(当P在AF1延长线上时取等号，∴|PF|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF1|≤8．
名师点拨
(1椭圆定义的应用范围：
①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
②解决与焦点有关的距离问题．
(2焦点三角形的应用：
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．
〔变式训练1〕
(1(2021·大庆模拟已知点M(eq \r(3)，0，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1与直线y＝k(x＋eq \r(3)交于点A、B，则△ABM的周长为__8__．
(2(2019·课标Ⅲ，15设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__(3，eq \r(15)__．
(3(2021·河北衡水调研设F1、F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4，则|PM|－|PF1|的最小值为__－5__．
[解析] (1直线y＝k(x＋eq \r(3)过定点N(－eq \r(3)，0．
而M、N恰为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的两个焦点，
由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．
(2因为F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知|F1M|＝|F1F2|，又由椭圆方程eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1，知|F1F2|＝8，|F1M|＋|F2M|＝2×6＝12，
所以|F1M|＝|F1F2|＝8，所以|F2M|＝4．
设M(x0，y0 (x0＞0，y0＞0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＋42＋y\\al(2,0)＝64，,x0－42＋y\\al(2,0)＝16，))
解得x0＝3，y0＝eq \r(15)，即M(3，eq \r(15)．
(3由题意可知F2(3,0，
由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|．
∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，
当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，
又|MF2|＝eq \r(6－32＋4－02)＝5,2a＝10，
∴|PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5．
考点二 求椭圆的标准方程——师生共研
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0；
(2短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq \r(3)；
(3经过点P(－2eq \r(3)，1，Q(eq \r(3)，－2两点；
(4与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同离心率，且经过点(2，－eq \r(3)．
[解析] (1若焦点在x轴上，设方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0．
∵椭圆过点A(3,0，
∴eq \f(9,a2)＝1，∴a＝3．∵2a＝3×2b，
∴b＝1．∴方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1．
若焦点在y轴上，设方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0．
∵椭圆过点A(3,0，∴eq \f(9,b2)＝1，∴b＝3．
又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程为eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1．
综上所述，椭圆方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1．
(2由已知，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))
从而b2＝a2－c2＝9．
∴所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1．
(3设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n，
∵点P(－2eq \r(3)，1，Q(eq \r(3)，－2在椭圆上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得m＝eq \f(1,15)，n＝eq \f(1,5)．
故椭圆方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)＝1．
(4若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝t(t＞0，将点(2，－eq \r(3)代入，得t＝eq \f(22,4)＋eq \f(－\r(3)2,3)＝2．
故所求方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1．
若焦点在y轴上，设方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝λ(λ＞0代入点(2，－eq \r(3)，得λ＝eq \f(25,12)，∴所求方程为eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1．
综上可知椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1．
名师点拨
(1求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a＞|F1F2|这一条件．
(2用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：
①作判断：根据条件判断焦点的位置；
②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0；
③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；
④求解，得方程．
(3椭圆的标准方程的两个应用
①方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0与eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(λ＞0有相同的离心率．
②与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0共焦点的椭圆系方程为eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
〔变式训练2〕
(1“2＜m＜6”是“方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的( B )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
(2(2021·广东深圳二模已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,3)＝1(a＞0的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足|OF|＝|FP|，则C的方程为( D )
A．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,3)＝1
C．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
[解析] (1eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2＞0,6－m＞0,m－2≠6－m))⇔2＜m＜6且m≠4，
∴“2＜m＜6”是方程“eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．
(2根据对称性知P在x轴上，|OF|＝|FP|，
故a＝2c，a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1，
故椭圆方程为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．故选D．
考点三 椭圆的几何性质——师生共研
例3 (1(2017·全国椭圆C的焦点为F1(－1,0，F2(1,0，点P在C上，F2P＝2，∠F1F2P＝eq \f(2π,3)，则C的长轴长为( D )
A．2B．2eq \r(3)
C．2＋eq \r(3)D．2＋2eq \r(3)
(2(2021·河北省衡水中学调研直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( B )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3)D．eq \f(3,4)
(3(2021·广东省期末联考设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右焦点，若在直线x＝eq \f(a2,c)上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( D )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))
[解析] (1椭圆C的焦点为F1(－1,0，F2(1,0，则c＝1，
∵|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2，
由余弦定理可得
|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·cs eq \f(2π,3)，
即(2a－22＝4＋4－2×2×2×eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
解得a＝1＋eq \r(3)，a＝1－eq \r(3)(舍去，
∴2a＝2＋2eq \r(3)，故选D．
(2不妨设直线l：eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离eq \f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq \f(2b,4)⇒e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，故选B．
(3如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知eq \f(a2,c)－c≤2c，∴e2＝eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,3)，即e≥eq \f(\r(3),3)，又0＜e＜1，∴eq \f(\r(3),3)≤e＜1．故选D．
名师点拨
椭圆离心率的求解方法
求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．
求椭圆离心率的取值范围的方法
〔变式训练3〕
(1(2017·全国卷Ⅲ已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( A )
A．eq \f(\r(6),3)B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),3)D．eq \f(1,3)
(2(2021·内蒙古呼和浩特市质检已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为( D )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(6),3)
(3已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是__eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))__．
[解析] (1由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0，半径为a．
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝eq \f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq \r(3)b，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,\r(3))，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3))))2)＝eq \f(\r(6),3)．故选A．
(2当P为短轴端点时∠A1PA2最大，由题意可知eq \f(a,b)＝tan 60°＝eq \r(3)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，∴e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(6),3)，故选D．
(3由题意可知当P为椭圆短轴端点时∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b，
∴c2≥a2－c2，∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，即e≥eq \f(\r(2),2)，
又0＜e＜1，∴eq \f(\r(2),2)≤e＜1．
考点四 直线与椭圆——多维探究
角度1 直线与椭圆的位置关系
例4 (多选题若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则m的值可能是( BCD )
A．eq \f(1,2)B．1
C．eq \r(3)D．4
[解析] 解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1，
所以点(0,1必在椭圆内或椭圆上，
则0＜eq \f(1,m)≤1且m≠5，
故m≥1且m≠5．故选B、C、D．
解法二：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))
消去y整理得(5k2＋mx2＋10kx＋5(1－m＝0．
由题意知Δ＝100k2－20(1－m(5k2＋m≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m＞0且m≠5，∴m≥1且m≠5．故选B、C、D．
角度2 中点弦问题
例5 (1(2021·湖北省宜昌市调研过点P(3,1且倾斜角为eq \f(3π,4)的直线与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0相交于A，B两点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为( C )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(6),3)D．eq \f(\r(3),3)
(2已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为__2x＋4y－3＝0__．
[解析] (1由题意可知P为AB的中点，且kAB＝－1，设A(x1，y1，B(x2，y2，则eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，两式相减得eq \f(x1－x2x1＋x2,a2)＝－eq \f(y1－y2y1＋y2,b2)，∴kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝－eq \f(3b2,a2)＝－1，即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，∴e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(6),3)，故选C．
(2设弦的两端点为A(x1，y1，B(x2，y2，中点为M(x0，y0，则有eq \f(x\\al(2,1),2)＋yeq \\al(2,1)＝1，eq \f(x\\al(2,2),2)＋yeq \\al(2,2)＝1．
两式作差，得eq \f(x2－x1x2＋x1,2)＋(y2－y1(y2＋y1＝0．
∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，eq \f(y2－y1,x2－x1)＝kAB，
代入后求得kAB＝－eq \f(x0,2y0)＝－eq \f(1,2)，
∴其方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即2x＋4y－3＝0．
角度3 弦长问题
例6 已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)，\f(1,2)))，椭圆E的一个焦点为(eq \r(3)，0．
(1求椭圆E的方程；
(2若直线l过点M(0，eq \r(2)且与椭圆E交于A，B两点，求|AB|的最大值．
[解析] (1依题意，设椭圆E的左、右焦点分别为F1(－eq \r(3)，0，F2(eq \r(3)，0．
由椭圆E经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)，\f(1,2)))，得|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，
∴a＝2，c＝eq \r(3)，∴b2＝a2－c2＝1．
∴椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋eq \r(2)，A(x1，y1，B(x2，y2．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋\r(2)，,\f(x2,4)＋y2＝1))得(1＋4k2x2＋8eq \r(2)kx＋4＝0．
由Δ＞0得(8eq \r(2)k2－4(1＋4k2×4＞0，∴4k2＞1．
由x1＋x2＝－eq \f(8\r(2)k,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4,1＋4k2)
得|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝2eq \r(－6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1＋4k2)))2＋\f(1,1＋4k2)＋1)．
设t＝eq \f(1,1＋4k2)，则0＜t＜eq \f(1,2)，
∴|AB|＝2eq \r(－6t2＋t＋1)＝2eq \r(－6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,12)))2＋\f(25,24))≤eq \f(5\r(6),6)，当且仅当t＝eq \f(1,12)时等号成立．
当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2＜eq \f(5\r(6),6)．
综上，|AB|的最大值为eq \f(5\r(6),6)．
名师点拨
直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略
(1直线与椭圆位置关系的判断方法
①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．
(2求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a，b，c的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．
(3关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1，B(x2，y2，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(其中k为直线斜率．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
(4对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1，B(x2，y2，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．
〔变式训练4〕
(1(角度1直线y＝kx＋k＋1与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的位置关系是__相交__．
(2(角度2(2021·广东珠海期末已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的右焦点为F，离心率eq \f(\r(2),2)，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1，则直线l的斜率为( D )
A．2B．－2
C．eq \f(1,2)D．－eq \f(1,2)
(3(角度3斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( C )
A．2B．eq \f(4\r(5),5)
C．eq \f(4\r(10),5)D．eq \f(8\r(10),5)
[解析] (1由于直线y＝kx＋k＋1＝k(x＋1＋1过定点(－1,1，而(－1,1在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
(2因为eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，∴4c2＝2a2，∴4(a2－b2＝2a2，∴a2＝2b2，设A(x1，y1，B(x2，y2，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2x\\al(2,1)＋a2y\\al(2,1)＝a2b2,b2x\\al(2,2)＋a2y\\al(2,2)＝a2b2))，相减得b2(x1＋x2(x1－x2＋a2(y1＋y2(y1－y2＝0，所以2b2(x1－x2＋2a2(y1－y2＝0，所以2b2＋4b2eq \f(y1－y2,x1－x2)＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－eq \f(1,2)，选D．
(3设A，B两点的坐标分别为(x1，y1，(x2，y2，直线l的方程为y＝x＋t，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(8,5)t，x1x2＝eq \f(4t2－1,5)．
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq \f(4\r(2),5)·eq \r(5－t2)，
当t＝0时，|AB|max＝eq \f(4\r(10),5)．故选C．
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利用换元法求解与椭圆相关的最值问题
例7 如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为__4__．
[解析] e2＝eq \f(c2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝1－eq \f(b2,4)＝eq \f(1,4)，∴b2＝3，
∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，且F(－1,0，A(2,0，设P(2sin θ，eq \r(3)cs θ，则
eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝(－1－2sin θ，－eq \r(3)cs θ·(2－2sin θ，－eq \r(3)cs θ＝sin2θ－2sin θ＋1＝(sin θ－12≤4．
当且仅当sin θ＝－1时取等号，
故eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为4．
另解：设P(x，y，由上述解法知eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝(－1－x，－y·(2－x，－y＝x2＋y2－x－2＝eq \f(1,4)(x－22(－2≤x≤2，显然当x＝－2时，eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))最大且最大值为4．
名师点拨
遇椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解，即令x＝asin θ，y＝bcs θ，将其化为三角最值问题．
〔变式训练5〕
椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1上的点到直线x＋2y－eq \r(2)＝0的最大距离是( D )
A．3B．eq \r(11)
C．2eq \r(2)D．eq \r(10)
[解析] 设椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1上的点P(4cs θ，2sin θ，则点P到直线x＋2y－eq \r(2)＝0的距离为d＝eq \f(|4cs θ＋4sin θ－\r(2)|,\r(5))＝eq \f(|4\r(2)sinθ＋\f(π,4)－\r(2)|,\r(5))，∴dmax＝eq \f(|－4\r(2)－\r(2)|,\r(5))＝eq \r(10)．
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0，A2(a,0
B1(0，－b，B2(0，b
A1(0，－a，A2(0，a
B1(－b,0，B2(b,0
轴
长轴A1A2的长为__2a__；
短轴B1B2的长为__2b__
焦距
|F1F2|＝__2c__
离心率
e＝__eq \f(c,a)__∈(0,1
a、b、c
的关系
__c2＝a2－b2__
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，|y|≤b,0＜e＜1，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
题设条件直接有不等关系