高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件的概率学案

这是一份高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件的概率学案，共10页。

知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 随机事件和确定事件
(1)在条件S下，__必然要发生__的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．
(2)在条件S下，__不可能发生__的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．
(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．
(4)在条件S下，__可能发生也可能不发生__的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．
知识点二 概率与频率
(1)概率与频率的概念：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的__频数__，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的__频率__．
(2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用__频率fn(A)__来估计概率P(A)．
知识点三 互斥事件与对立事件
事件的关系与运算
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__．
(2)必然事件的概率：P(A)＝__1__．
(3)不可能事件的概率：P(A)＝__0__．
(4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__．
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)

题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( × )
(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ )
(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )
(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．( × )
(5)对立事件肯定是互斥事件、互斥事件不一定是对立事件．( √ )
题组二 走进教材
2．(P121T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( D )
A．至多有一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都不中靶
[解析] “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．故选D．
3．(P133T4)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为__eq \f(5,6)__．
[解析] 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－eq \f(6,36)＝eq \f(5,6)．
题组三 走向高考
4．(2018·课标全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( B )
A．0.3B．0.4
C．0.6D．0.7
[解析] 设事件A为“不用现金支付”，事件B为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C为“只用现金支付”，则P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4故选B．
5．(2020·新课标Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( A )
A．eq \f(1,5)B．eq \f(2,5)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(4,5)
[解析] O，A，B，C，D中任取3点，共有
Ceq \\al(3,5)＝10种，
即OAB，OAC，OAD，OBC，OBD，OCD，ABC，ABD，ACD，BCD十种，
其中共线为A，O，C和B，O，D两种，
故取到的3点共线的概率为P＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，故选A．
考点突破·互动探究

考点一 随机事件的关系——自主练透
例1 (1)(2020·辽宁六校协作体期中)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( C )
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
(2)(2021·中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是( C )
A．①B．②④
C．③D．①③
(3)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( A )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)对于选项A，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于选项B，“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于选项C，“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件，符合题意；对于选项D，“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故选C．
(2)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，2个奇数，2个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①中的事件可以同时发生，不是对立事件，故选C．
(3)若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件，如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝eq \f(7,8)，P(B)＝eq \f(1,8)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件，故甲是乙的充分不必要条件．
名师点拨
(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．
(2)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
〔变式训练1〕
(2021·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为( B )
A．至多有2件次品B．至多有1件次品
C．至多有2件正品D．至少有2件正品
[解析] ∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A的对立事件为“至多有1件次品”．
考点二 随机事件的概率——多维探究
角度1 频率与概率
例2 (2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化．那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
[解析] (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50．
故所求概率为eq \f(50,2 000)＝0.025．
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝56＋10＋45＋50＋160＋51
＝372．
故所求概率估计为1－eq \f(372,2 000)＝0.814．
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
角度2 统计与概率
例3 (2021·云南名校适应性月考)下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( A )
A．eq \f(4,5)B．eq \f(2,5)
C．eq \f(9,10)D．eq \f(7,10)
[解析] 记其中被污损的数字为x，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是eq \f(1,5)×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，
乙的5次综合测评的平均成绩是
eq \f(1,5)×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝eq \f(442＋x,5)，
令90＞eq \f(442＋x,5)，解得x＜8，即x的取值可以是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是eq \f(8,10)＝eq \f(4,5)．故选A．
名师点拨
概率和频率的关系
概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．
〔变式训练2〕
(1)(2021·黑龙江大庆质检)某公司欲派甲、乙、丙3人到A，B两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A城市恰好只有甲去的概率为( B )
A．eq \f(1,5)B．eq \f(1,6)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(1,4)
(2)(2021·吉林模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
①估计顾客同时购买乙和丙的概率；
②估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
③如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
[解析] (1)总的派法有：(甲、乙A)，(丙B)；(甲、乙B)，(丙A)；(甲、丙A)，(乙B)；(甲、丙B)，(乙A)；(乙、丙A)，(甲B)；(乙、丙B)，(甲A)，共6种(或Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝6(种))，A城市恰好只有甲去有一种，故所求概率P＝eq \f(1,6)．
(2)①从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq \f(200,1 000)＝0.2．
②从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq \f(100＋200,1 000)＝0.3．
③与①同理．可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq \f(200,1 000)＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq \f(100＋200＋300,1 000)＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq \f(100,1 000)＝0.1．
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
考点三 互斥事件、对立事件的概率——师生共研
例4 (1)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C．求：
①P(A)，P(B)，P(C)；
②1张奖券的中奖概率；
③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
(2)(2021·河南新乡模拟)从5个同类产品(其中3个正品，2个次品)中，任意抽取2个，下列事件发生概率为eq \f(9,10)的是( C )
A．2个都是正品B．恰有1个是正品
C．至少有1个正品D．至多有1个正品
[解析] (1)①P(A)＝eq \f(1,1 000)，P(B)＝eq \f(10,1 000)＝eq \f(1,100)，
P(C)＝eq \f(50,1 000)＝eq \f(1,20)．
②因为事件A，B，C两两互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1,1 000)＋eq \f(1,100)＋eq \f(1,20)＝eq \f(61,1 000)．故1张奖券的中奖概率为eq \f(61,1 000)．
③P(eq \x\t(A∪B))＝1－P(A＋B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)＋\f(1,100)))＝eq \f(989,1 000)．
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq \f(989,1 000)．
(2)从5个产品中任取2个的取法有Ceq \\al(2,5)＝10种，其中2个都是正品的取法有Ceq \\al(2,3)＝3种，故2个都是正品的概率P1＝eq \f(3,10)；其对立事件是“至多有1个正品”，概率为P2＝1－P1＝1－eq \f(3,10)＝eq \f(7,10)．恰有1个正品的取法有Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(1,2)＝6种，故恰有1个正品的概率P3＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)．至少有1个正品的概率P4＝P1＋P3＝eq \f(3,10)＋eq \f(6,10)＝eq \f(9,10)．
名师点拨
求复杂的互斥事件的概率的两种方法
(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq \x\t(A))，即运用逆向思维(正难则反)．特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
〔变式训练3〕
(1)(2020·西安二模)2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B( A )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
(2)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为__0.8__；该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为__0.2__．
[解析] (1)2021年某省新高考将实行“3 ＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确．故选A．
(2)记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．
①由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，
所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8．
②因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2．
名师讲坛·素养提升
用正难则反的思想求对立事件的概率

例5 (1)(2020·浙江湖州期末，改编)现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是__eq \f(4,5)__．
(2)(2021·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
求：
(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
[解析] (1)“相同颜色的球不都相邻”的对立事件为“相同颜色的球都相邻”，记为事件A．因5个不同编号的小球排列有Aeq \\al(5,5)＝120种排法，“相同颜色的球都相邻”的排法有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝24种排法，∴所求概率P＝|－P(A)|＝1－eq \f(24,120)＝eq \f(4,5)．
(2)记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
①记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．
②解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．
解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．
名师点拨
“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现．在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度．在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件A与事件B互为对立事件，在求P(A)或P(B)时，利用公式P(A)＝1－P(B)先求容易的一个，再求另一个．
〔变式训练4〕
某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
[解析] (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝ 20．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
eq \f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，P(A2)＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10)．
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq \f(1,5)－eq \f(1,10)＝eq \f(7,10)．故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq \f(7,10)．
定义
符号表示
包含
关系
若事件A__发生__，则事件B__一定发生__，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
__B⊇A__
__(或A⊆B)__
相等
关系
若B⊇A，且__A⊇B__，则称事件A与事件B相等
__A＝B__
并事件
(和事件)
若某事件发生__当且仅当事件A发生或事件B发生__，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
__A∪B__
__(或A＋B)__
交事件
(积事件)
若某事件发生__当且仅当事件A发生且事件B发生__，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
__A∩B__
__(或AB)__
互斥
事件
若A∩B为__不可能__事件，则称事件A与事件B互斥
__A∩B＝∅__
对立
事件
若A∩B为__不可能__事件，A∪B为__必然事件__，则称事件A与事件B互为对立事件
__A∩B＝∅，__
__且A∪B＝Ω__
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
甲
乙
9 8
8
3 3 7
2 1 0
9
● 9
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3