高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第3讲二项式定理学案

这是一份高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第3讲二项式定理学案，共9页。

知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N＋)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Ceq \\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)叫做__二项式系数__，式中的__Ceq \\al(k,n)an－kbk__叫做二项展开式的__通项__，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第__k＋1__项：Tk＋1＝__Ceq \\al(k,n)an－kbk__．
知识点二 二项展开式形式上的特点
(1)项数为__n＋1__．
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为__n__．
(3)字母a按__降幂__排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按__升幂__排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n．
知识点三 二项式系数的性质
(1)0≤k≤n时，Ceq \\al(k,n)与Ceq \\al(n－k,n)的关系是__Ceq \\al(k,n)＝Ceq \\al(n－k,n)__．
(2)二项式系数先增后减，中间项最大．
当n为偶数时，第eq \f(n,2)＋1项的二项式系数最大；当n为奇数时，第eq \f(n＋1,2)项和eq \f(n＋3,2)项的二项式系数最大．
(3)各二项式系数的和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝__2n__，Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝__2n－1__．
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
1．二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．
2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk中，Ceq \\al(k,n)是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．
(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)

题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Ceq \\al(k,n)an－kbk是二项展开式的第k项．( × )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √ )
(4)(a－b)n的展开式第k＋1项的系数为Ceq \\al(k,n)an－kbk．( × )
(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n．( × )
(6)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．( × )
题组二 走进教材
2．(P31例2(2))若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( B )
A．10B．20
C．30D．120
[解析] 二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·x6－k·(eq \f(1,x))k＝Ceq \\al(k,6)x6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝Ceq \\al(3,6)＝20．
3．(P41B组T5)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( B )
A．9B．8
C．7D．6
[解析] 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8．
题组三 走向高考
4．(2020·新课标)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(2,x)))6的展开式中常数项是__240__(用数字作答)．
[解析] 展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(x2)6－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)))r＝2rCeq \\al(r,6)x12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，故常数项为24Ceq \\al(4,6)＝240．
5．(2017·全国卷Ⅰ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6展开式中x2的系数为( C )
A．15B．20
C．30D．35
[解析] (1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)xr，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×Ceq \\al(2,6)＋1×Ceq \\al(4,6)＝30，故选C．
考点突破·互动探究

考点一 二次展开式的通项公式的应用——多维探究
角度1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数
例1 (1)(2018·课标卷Ⅲ)(x2＋eq \f(2,x))5的展开式中x4的系数为( C )
A．10B．20
C．40D．80
(2)(2019·课标Ⅲ，4)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( A )
A．12B．16
C．20D．24
(3)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( C )
A．10B．20
C．30D．60
[解析] (1)Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(x2)5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)))r＝Ceq \\al(r,5)2rx10－3r，
当10－3r＝4时，解得r＝2，
则x4的系数为Ceq \\al(2,5)×22＝40，选C．
(2)(1＋x)4的二项展开式的通项为
Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)xk(k＝0,1,2,3,4)，
故(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为Ceq \\al(3,4)＋2Ceq \\al(1,4)＝12．故选A．
(3)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝Ceq \\al(2,5)(x2＋x)3·y2．
其中(x2＋x)3中含x5的项为Ceq \\al(1,3)x4·x＝Ceq \\al(1,3)x5．
所以x5y2的系数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)＝30．故选C．
另解：由乘法法则知5个因式中两个选y项，两个选x2项，一个选x项乘即可，∴x5y2的系数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)＝30．
角度2 二项展开式中的含参问题
例2 (1)(2021·广东广州阶段测试)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax－\f(1,x)))6的展开式中的常数项为160，则a的值为( A )
A．－2B．2
C．－4D．4
(2)(2021·福建三明质检)若(3x2－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的展开式中x3的系数为－80，则a＝__－4__．
(3)(2021·河北衡水中学模拟)已知二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,\r(x))))n的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为__240__．
[解析] (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax－\f(1,x)))6的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(ax)6－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq \\al(r,6)a6－rx6－2r，由题意得－Ceq \\al(3,6)a3＝160，解得a＝－2，故选A．
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(2x)5－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))r＝(－1)r·25－r·Ceq \\al(r,5)x5－2r，则3×23×Ceq \\al(2,5)＋a×24×Ceq \\al(1,5)＝－80，解得a＝－4．
(3)由题意得：Ceq \\al(1,n)∶Ceq \\al(2,n)＝2∶5，解得n＝6．所以Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)(2x)n－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))r＝Ceq \\al(r,6)26－r(－1)rx6－eq \f(3,2)r, 令6－eq \f(3,2)r＝3，解得：r＝2．所以x3的系数为Ceq \\al(2,6)26－2(－1)2＝240．
名师点拨
求二项展开式中的特定项或其系数，一般是化为通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r，代回通项公式即可．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2018·浙江，14)二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)＋\f(1,2x)))8的展开式的常数项是__7__．
(2)(角度2)(2021·福州模拟)设n为正整数，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x3)))n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( B )
A．－112B．112
C．－60D．60
(3)(角度1)(2020·全国)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( C )
A．5B．10
C．15D．20
[解析] (1)Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)(eq \r(3,x))8－r· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)))r＝eq \f(1,2r)Ceq \\al(r,8)xeq \f(8－4r,3)，由8－4r＝0得r＝2，故常数项为T3＝eq \f(1,22)Ceq \\al(2,8)＝7．
(2)依题意得，n＝8，所以展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)x8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x3)))r＝Ceq \\al(r,8)x8－4r(－2)r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为 T3＝Ceq \\al(2,8)(－2)2＝112．
(3)(x＋y)5的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)x5－ryr，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(1,5)＝15，故选C．
考点二 二项式系数的性质与各项系数的和——师生共研
例3 (1)(2020·河北衡水中学模拟)已知二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)＋\f(1,x)))n的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于( A )
A．240B．120
C．48D．36
(2)(2021·河北邯郸模拟)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x))))n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为( C )
A．15B．45
C．135D．405
(3)(2021·辽宁省朝阳市质量检测)设(1＋x2)(2－x)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a0＋a2＋a4＋a6＝__8__．
[解析] (1)∵二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)＋\f(1,x)))n的展开式中，
二项式系数之和等于2n＝64，则n＝6，
故展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)·26－r·x eq \s\up5(\f(6－3r,2)) ，
令eq \f(6－3r,2)＝0，求得r＝2，∴常数项为Ceq \\al(2,6)·24＝240．故选A．
(2)由题意eq \f(4n,2n)＝64，n＝6，Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)x6－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(x))))r＝3rCeq \\al(r,6)x6－ eq \s\up4(\f(3r,2)) ，令6－eq \f(3r,2)＝3，r＝2,32Ceq \\al(2,6)＝135，选C．
(3)由题意，令x＝2得
a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，
令x＝0得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝16，
两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝16，
所以a0＋a2＋a4＋a6＝8．故答案为8．
[引申]在本例(3)中，(1)a0＝__2__；
(2)a1＋a3＋a5＝__－8__；
(3)(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝__0__；
(4)a2＝__5__．
[解析] 记f(x)＝(1＋x2)(2－x)4，
则(1)a0＝f(1)＝2．
(2)a1＋a3＋a5＝eq \f(f2－f0,2)＝eq \f(0－16,2)＝－8；
(3)(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝f(2)·f(0)＝0；
(4)令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴a2为(t2＋2t＋2)(1－t)4展开式中t2项的系数，又(1－t)4的通项为Ceq \\al(r,4)(－t)r，
∴a2＝Ceq \\al(0,4)＋2×(－1)Ceq \\al(1,4)＋2Ceq \\al(2,4)＝5．
名师点拨
赋值法的应用
(1)形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b、c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2)．
*又f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋nanxn－1，
所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f′(1)．
〔变式训练2〕
(1)(多选题)(2021·湖北龙泉中学、荆州中学、宜昌一中联考)若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，则( ACD )
A．a0＝1
B．a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝eq \f(32 021＋1,2)
C．a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝eq \f(32 021－1,2)
D．eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a2 021,22 021)＝－1
(2)(2020·湖南娄底期末)已知(x3＋eq \f(a,x))n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为( C )
A．20B．30
C．40D．50
[解析] (1)令x＝0得a0＝1，∴A正确；令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝－1，令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－eq \f(32 021＋1,2)，∴B不正确；又a0＋a2＋…＋a2 020＝eq \f(32 021－1,2)，∴C正确；令x＝eq \f(1,2)得a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 021,22 021)＝0，∴eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 021,22 021)＝－a0＝－1．
∴D正确，故选ACD．
(2)因为(x3＋eq \f(a,x))n的展开式中各项的二项式系数之和为32，则2n＝32，解得n＝5，所以二项式为(x3＋eq \f(a,x))5．因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(a,x)))5展开式各项系数和为243，令x＝1，代入可得(1＋a)5＝243＝35，解得a＝2，所以二项式展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(x3)5－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)))r＝2r·Ceq \\al(r,5)x15－4r，所以当展开式为x7时，即x15－4r＝x7，解得r＝2，则展开式的系数为22·Ceq \\al(2,5)＝4×10＝40．故选C．
考点三 二项式定理的应用——多维探究
例4 角度1 整除问题
(1)设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( D )
A．0B．1
C．11D．12
(2)(2021·安徽省安庆一中模拟)9Ceq \\al(1,10)＋92Ceq \\al(2,10)＋…＋910Ceq \\al(10,10)除以11所得的余数为( A )
A．0B．1
C．2D．－1
角度2 近似计算
(3)1.028的近似值是__1.172__．(精确到小数点后三位)
[解析] (1)由于51＝52－1，(52－1)2 012＝Ceq \\al(0,2 012)522 012－Ceq \\al(1,2 012)522 011＋…－Ceq \\al(2 011,2 012)521＋1，
又由于13整除52，所以只需13整除1＋a,0≤a＜13，a∈Z，所以a＝12，故选D．
(2)90Ceq \\al(0,10)＋9Ceq \\al(1,10)＋92Ceq \\al(2,10)＋…＋910Ceq \\al(10,10)－1＝(1＋9)10－1＝1010－1＝(11－1)10－1＝1110－Ceq \\al(1,10)·119＋Ceq \\al(2,10)·118－…－Ceq \\al(9,10)·11＋1－1＝1110－Ceq \\al(1,10)·119＋Ceq \\al(2,10)·118－…－Ceq \\al(9,10)·11，显然所得余数为0，故选A．
(3)1.028＝(1＋0.02)8≈Ceq \\al(0,8)＋Ceq \\al(1,8)·0.02＋Ceq \\al(2,8)·0.022＋Ceq \\al(3,8)·0.023≈1.172．
[引申]若将本例(2)中“11”改为“8”，则余数为__7__．
[解析] 由题意原式＝1010－1＝(8＋2)10－1＝810＋Ceq \\al(1,10)89·2＋…＋Ceq \\al(9,10)8·29＋210－1＝(810＋Ceq \\al(1,10)89·2＋…＋Ceq \\al(9,10)8·29＋8·27－8)＋7．∴余数为7．
名师点拨
1．整除问题的解题思路
利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．
2．求近似值的基本方法
利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx．
〔变式训练3〕
(1)(2021·江西联考)1－90Ceq \\al(1,10)＋902Ceq \\al(2,10)－903Ceq \\al(3,10)＋…＋9010Ceq \\al(10,10)除以88的余数是( C )
A．－1B．－87
C．1D．87
(2)0.9986的近似值为__0.989__．(精确到0.001)
[解析] (1)1－90Ceq \\al(1,10)＋902Ceq \\al(2,10)－903Ceq \\al(3,10)＋…＋9010Ceq \\al(10,10)＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝Ceq \\al(0,10)8810＋Ceq \\al(1,10)889＋…＋Ceq \\al(9,10)88＋Ceq \\al(10,10)＝88k＋1(k为正整数)，所以可知余数为1．
(2)0.9986＝(1－0.002)6＝1－Ceq \\al(1,6)0.002＋Ceq \\al(2,6)0.0022－Ceq \\al(3,6)0.0023＋Ceq \\al(4,6)0.0024－Ceq \\al(5,6)0.0025＋Ceq \\al(6,6)0.0026≈1－Ceq \\al(1,6)0.002＋Ceq \\al(2,6)0.0022＝0.988 6≈0.989．
名师讲坛·素养提升

一、二项展开式中系数最大项的问题
例5 已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2\r(x))))n的展开式中前三项的系数成等差数列．
①求n的值；
②求展开式中系数最大的项．
[解析] ①由题设，得Ceq \\al(0,n)＋eq \f(1,4)×Ceq \\al(2,n)＝2×eq \f(1,2)×Ceq \\al(1,n)，
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍去)．
②设第r＋1项的系数最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2r)C\\al(r,8)≥\f(1,2r＋1)C\\al(r＋1,8)，,\f(1,2r)C\\al(r,8)≥\f(1,2r－1)C\\al(r－1,8).))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,8－r)≥\f(1,2r＋1)，,\f(1,2r)≥\f(1,9－r).))解得r＝2或r＝3．
所以系数最大的项为T3＝7x5，T4＝7xeq \f(7,2)．
名师点拨
求展开式中系数最大的项
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ak≥Ak－1,Ak≥Ak＋1))从而解出k来，即得．
〔变式训练4〕
(2020·山东省德州市高三上期末)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x2＋\f(1,x)))6的展开式中，常数项为__60__；系数最大的项是__240x6__．
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x2＋\f(1,x)))6的展开式的通项为
Ceq \\al(k,6)·(2x2)6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))k＝Ceq \\al(k,6)·26－k·x12－3k，
令12－3k＝0，得k＝4，所以，展开式中的常数项为Ceq \\al(4,6)·22＝60；
令ak＝Ceq \\al(k,6)·26－k(k∈N，k≤6)，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1,an≥an＋1))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C\\al(n,6)·26－n≥C\\al(n－1,6)·27－n,C\\al(n,6)·26－n≥C\\al(n＋1,6)·25－n))，
解得eq \f(4,3)≤n≤eq \f(7,3)，∵n∈N，∴n＝2，因此，展开式中系数最大的项为Ceq \\al(2,6)·24·x6＝240x6．
二、一项或三项展开式问题
例6 (1)(2021·河南实验中学期中)若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a0＝( D )
A．－32B．－2
C．1D．32
(2)(2021·安徽合肥质检)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－4＋\f(4,x)))5的展开式中，x2的系数为__－960__．
[解析] (1)x5＝[2＋(x－2)]5＝a0＋a1(x－2)＋…＋a5(x－2)5．
Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)25－r(x－2)4，
∴a0＝T1＝25＝32．故选D．
(2)解法一：(化为二项展开式问题)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－4＋\f(4,x)))5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,\r(x))))10，
Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)(eq \r(x))10－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,\r(x))))r＝(－2)rCeq \\al(r,10)x5－r，
令5－r＝2，r＝3，所求系数为(－2)3Ceq \\al(3,10)＝－960．
解法二：(利用多项式乘法对括号中选取情况讨论)
①5个括号中的2个选x,3个选(－4)，这样得到的x2的系数为Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(3,3)(－4)3＝－640；
②5个括号中3个选x,1个选eq \f(4,x)，1个选－4，这样得到的x2的系数为Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)×4×(－4)＝－320；
∴所求系数为－640－320＝－960．
名师点拨
对一项或三项的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．
注：本题也可如下变形化为二项式求解：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－4＋\f(4,x)))5＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))－4))5．
〔变式训练5〕
(2021·广东汕头模拟)在(x2－x－2)5的展开式中，x3的系数为( C )
A．－40B．160
C．120D．200
[解析] ∵(x2－x－2)5＝(x＋1)5(x－2)5，
∴x3的系数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(5,5)(－2)5＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(4,5)(－2)4＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(3,5)(－2)3＋Ceq \\al(5,5)Ceq \\al(2,5)(－2)2＝120．
另解：(利用多项式乘法)
Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(1,5)(－1)×(－2)3＋Ceq \\al(3,5)(－1)3·(－2)2＝120，故选C．