2022年秋季高三数学开学摸底考试卷01 （文科 老高考地区）

绝密★考试结束前

2023届高三秋季开学摸底考试卷（01）

文科数学

(满分150分)

本试卷共22题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．设是虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知命题p：若，则；命题q：，．那么下列命题为真命题的是（       ）

A． B． C． D．

4．已知变量具有相关关系，其散点图如图所示，则它们分别对应的相关系数的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

5．已知三条不同的直线，平面，下列说法正确的有（       ）

A．已知命题p：经过一个平面上一点有且只有一个垂面．则命题p是真命题

B．已知直线则

C．已知命题p：已知，则．则p是真命题

D．已知则

6．已知等差数列，，，…，，，前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则该数列的项数（       ）

A．26 B．30 C．36 D．48

7．已知函数（a，b，）的部分图象如图所示，则（       ）

A．1 B． C． D．2

8．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：、是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分．若双曲线的方程为上，则下列结论不正确的是（       ）

A．射线所在直线的斜率为，则

B．当时，

C．当过点时，光由到再到所经过的路程为

D．若，直线与相切，则

9．数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（     ）

A．数列是常数列

B．若，则是递增数列

C．若，则

D．若，则的最小项的值为

10．函数的部分图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，的延长线交于，，则的离心率（       ）

A． B． C． D．

12．已知函数有两个极值点 ，则下列说法错误的是（　　）

A．

B．曲线 在点 处的切线可能与直线垂直

C．  

D．  

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面向量，，且，实数的值为 _____．

14．已知圆，点P在直线上，若过点P存在直线与圆C交于A、B两点，且满足，则点P横坐标的取值范围是___________．

15．已知，且，则________.

16．椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）．在中，角A，B，C的对边分别为，且

(1)当，求的值

(2)求的最大值.

18．（12分）

如图，四面体中，，E为AC的中点．

(1)证明：平面平面ACD；

(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．

19．（12分）婺源位于江西省东北部，其境内古村落遍布乡野，保存完整，生态优美，物产丰富，拥有着油菜花之乡的美誉，被誉为一颗镶嵌在赣、浙、皖三省交界处的绿色明珠．为了调查某片实验田3月份油菜花的生长高度，研究人员在当地随机抽取了13株油菜花进行高度测量，所得数据如下：，，，，，，，，．并通过绘制及观察散点图，选用两种模型进行拟合：

模型一：，其中令；

模型二：，其中令．

(1)求模型二的回归方程；

(2)试通过计算相关系数的大小，说明对于所给数据，哪一种模型更加合适.

参考数据：，，，．

附：对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关系数．

20．（12分）

已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．

(1)求的方程；

(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

21 （12分）已知函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧，所在圆的圆心分别为，，M是半圆弧上的一个动点．

(1)当时，求点M的极坐标；

(2)以O为坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系．若点N为线段的中点，求点N的轨迹方程．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数，．

(1)若，，求实数的取值范围；

(2)求证：R，．