江西省临川第一中学2022届高三实战演练5月冲刺数学（文）试题-

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江西省临川第一中学2022届高三实战演练5月冲刺数学（文）试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知，是z的共轭复数，则（       ）

A． B．

C． D．

2．设集合，则 （       ）

A． B．

C． D．

3．下列函数，既是奇函数，又是其定义域内增函数的是（       ）

A． B．

C． D．

4．在中，“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

5．点到双曲线的一条渐近线的距离为（       ）.

A． B． C． D．

6．（       ）

A． B． C． D．

7．已知，则下列结论一定不正确的是（       ）

A． B．

C． D．

8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

9．已知数列的通项公式为为数列的前n项和，（       ）

A．1008 B．1009 C．1010 D．1011

10．将各个面涂上红色的正方体锯成64个大小相同的正方体，则这些正方体中至少有两个面涂有红色的概率为（       ）

A． B． C． D．

11．如图所示是一个几何体三视图，则这个几何体外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

12．函数在上没有零点，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．已知向量方向相同，那么实数m的值为___________.

14．已知实数x，y满足不等式，则的最大值为___________.

15．设椭圆的左右焦点分别为，直线交椭圆于A，B两点，若的最大周长为8，则椭圆C的离心率为___________.

16．已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．

17．△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)若，求；

(2)当A取得最大值时，求△的周长．

18．在三棱锥中，平面，，，点在棱上且是的外心，点是的内心，.

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

19．某玩具加工厂2021年1月至5月的玩具销售量x与利润y的统计数据如下表：

(1)从这5个月的利润中任选2个，分别记为m，n，求事件“m，n至少有一个小于30”的概率；

(2)已知销售量x与利润y近似满足线性关系，请根据表中前4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程；若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的.请用表格中第5个月的数据检验由回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想.

附：.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上点在点正上方，且满足.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)点是椭圆的上顶点，点、在椭圆上，若直线、的斜率分别为、，满足，求面积的最大值.

21．函数的图像与直线相切.

(1)求实数a的值；

(2)当时，，求实数m的取值范围.

22．在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若过原点的直线l被圆C截得的弦长为2，求直线l的倾斜角.

23．已知．

（1）若，解不等式；

（2）若不等式无解，求实数a的取值范围．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果.

【详解】

由已知可得，因此，.

故选：B.

2．B

【解析】

【分析】

根据题意可得，利用集合交集运算，注意集合的理解．

【详解】

，

故选：B．

3．A

【解析】

【分析】

根据解析式分别判断每个选项的奇偶性和单调性即可.

【详解】

对A，令，则定义域为，且，所以为奇函数，因为和都是增函数，所以为增函数，故A正确；

对B，在每个单调区间内单调递增，但不在定义域内递增，故B错误；

对C，在定义域内单调递减，故C错误；

对D，不是奇函数，故D错误.

故选：A.

4．B

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.

【详解】

在中，，则，必有，

而，满足，此时是直角三角形，不是等腰三角形，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

5．A

【解析】

【分析】

根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】

双曲线的渐近线方程为：，因为点在横轴上，

所以不妨设其中一条渐近线的方程为，

因此点到双曲线的一条渐近线的距离为：

，

故选：A

6．C

【解析】

【分析】

利用诱导公式及两角差的正切公式计算可得；

【详解】

解：

故选：C

7．C

【解析】

【分析】

根据换底公式可得，对讨论分析处理．

【详解】

∵

若，则，即

∴成立

若，则，即

∴不成立

若，则，由题意可得，则

∴

若，则，由题意可得，则

∴

故选：C．

8．D

【解析】

【分析】

因为，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线，利用点斜式求方程．

【详解】

∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线

的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率

则的欧拉线的方程为，即

故选：D．

9．D

【解析】

【分析】

依题意可得，再利用并项求和法计算可得；

【详解】

解：因为当为奇数时，为偶数时，

所以，

所以，

所以；

故选：D

10．A

【解析】

【分析】

作图，分别计算出两面是红色和三面是红色的正方体的个数，按照古典概型公式计算即可.

【详解】

如图，两面有红色的正方体共有24个，三面是红色的正方体有8个，共32个，

故至少由两面是红色的正方体的概率为： ；

故选：A.

11．C

【解析】

【分析】

先求出根据三视图还原后的几何体为四棱锥P-ABCD,找到外接球的球心和半径，即可求出外接球的表面积.

【详解】

根据三视图还原后的几何体为四棱锥P-ABCD,如图所示：

侧面PAB⊥底面ABCD.底面ABCD是正方形,其对角线.所以.

取AB的中点E,则OE⊥AB,所以OE⊥侧面PAB.

由题意AB=4 ,所以PE=2,所以,

则点O为其外接球的球心,半径.

所以这个几何体外接球的表面积为.

故选：C

12．C

【解析】

【分析】

因为在上没有零点，所以，解出的范围，再结合题意得出或，代入即可求出答案.

【详解】

因为函数，在上没有零点，所以

，所以，

即，

因为，所以，

又因为，所以，所以，

所以，因为，所以或，

当时，；

当时，，

又因为，所以的取值范围是：.

故选：C.

13．##1.5

【解析】

【分析】

利用共线向量的坐标表示求解并验证作答.

【详解】

由向量共线得：，即，解得或，

当时，，与方向相反，不符合题意，

当时，，与方向相同，符合题意，

所以实数m的值为.

故答案为：

14．

【解析】

【分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用直线截距的几何意义进行求解即可．

【详解】

解：由线性约束条件，可得可行域如下所示：

由，解得，即，

由，即，平移直线，由图可知当直线过点时，

直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，即；

故答案为：

15．

【解析】

【分析】

利用椭圆的定义求出的周长的最大值，结合已知求解，进一步求得，则椭圆离心率可求．

【详解】

解：的周长等于

，

，当且仅当、、三点共线时等号成立，

，

即的周长的最大值为，得．

由椭圆方程可得，，则．

椭圆的离心率．

故答案为：．

16．

【解析】

【分析】

先分离参数将问题转化为对于任意恒成立，进而转化为，构造，再作差判定单调性求出数列的最值，进而求出的取值范围.

【详解】

因为，且对于任意恒成立，

所以对于任意恒成立，即，

令，则，

因为，，，

且对于任意恒成立，

所以，即，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理、同角三角函数关系及正弦的二倍角公式即可求解；

（2）利用余弦定理及基本不等式即可求解.

(1)

由正弦定理得 ，即，解得 ，

∵,     ∴，

∴；

(2)

由余弦定理得，

∴，当且仅当时，等号成立，

此时，△的周长为.

18．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）延长交于点，由已知有是正三角形，且是的中心，可知，根据线面垂直的性质、面面垂直的判定即可证平面平面；

（2）应用等体积法：(法一)，求、、即可知，再由线面垂直有，即可求，即可知 ，进而求 ；(法二) ，求、、即知，再由线面垂直有，即可求，即可知 ，进而求 ；

【详解】

（1）延长交于点，又是直角三角形的外心，

∴，即是的中点，，

∴是正三角形，又是的中心，

∴是的中点，即.

∵平面，平面，

∴.

∵，

∴平面，且平面，

∴平面平面.

（2）法一：连接，，即求点到平面的距离.

∵，

∴，又平面，即，

∴.

在等边中，，有.

∴在中，，，，有.

由（1）知：平面，由平面，知.

在中，，，有.

∴，

∴综上有：.

法二：连接，，由知：，

∵平面，则，

∴.

在等边中，，有.（亦可使用正弦定理）

在中，，，，有.

由（1）知平面，且平面，则.

在中，，，有.

所以，得.

【点睛】

关键点点睛：

（1）根据三角形内外心的性质可知，结合线面垂直的性质、面面垂直的判定即可证面面垂直；

（2）应用等体积法，将点面距转化为求几何体的高即可.

19．(1)；

(2)是理想的.

【解析】

【分析】

（1）由题意，根据古典概型求出概率即可；

（2）根据所给数据求线性回归方程，利用回归方程，代入，计算估计值，检验即可得出结论.

(1)

这5个月的利润中有3个月的利润不小于30万元，有2个月的利润小于30万元，从这5个月的利润中任选2个，共有10种选法，两个都小于30的有3种，

记“，至少有一个小于30”为事件A，所以所求概率；

(2)

由题表中前4个月的数据可得，，，，

所以，，

所以所求的线性回归方程为；

由题意，得当时，，，所以利用（2）中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是理想的.

20．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用勾股定理可求得，利用椭圆的定义可求得的值，进一步可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）分析可知直线的斜率存在，设、，设直线，其中，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由结合韦达定理可求得，再利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得面积的最大值.

(1)

解：由已知，且，由勾股定理可得，

由椭圆的定义可得，则，，

因此，椭圆的标准方程为.

(2)

解：设、，

若直线轴，则，此时，不合乎题意，

所以，直线的斜率存在，设直线，其中，

联立方程组得，

，得，

由韦达定理可得，，

，

由题意知，由，，

代入化简得，，

故直线过定点，由，解得，

，

，

令，则，

当且仅当时，即当时等号成立，所以面积的最大值为.

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

21．(1)1；

(2).

【解析】

【分析】

（1）根据导数的几何意义进行求解即可；

（2）根据导数的性质，结合余弦函数的单调性分类讨论进行求解即可.

(1)

，设切点为，

所以有，因为是切线，

所以有，

设，显然当时，单调递增，所以有，

当时，，所以无实数根，

因此当时，方程有唯一实数根，即，

于是有，因此有；

(2)

令，则在恒成立

.

若，即时，当时，由得，所以在单调递增，又，所以在恒成立；当时，所以.所以在恒成立.

若即时，，则存在，使得在单调递减，则当时，矛盾，舍

综上所述，的取值范围时.

【点睛】

关键点睛：构造函数利用导数的性质是解题的关键.

22．（1）；（2）直线l的倾斜角为或．

【解析】

【分析】

（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；

（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．

【详解】

（1）圆的参数方程为为参数），转换为普通方程为：，即，

进一步利用，得到圆的极坐标方程为；

（2）设直线的方程为：或，

由圆的圆心，，又弦长为2，

圆心到的距离，解得，

所以直线的倾斜角为，

当直线经过原点，且斜率不存在时，所截得的弦长也为2，

故直线的倾斜角为．

的倾斜角或．

【点睛】

易错点睛：本题的第2问容易漏掉.解析几何中，涉及直线的方程问题时，要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论.

23．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）用零点分段法去绝对值讨论，分段求解即可.（2）零点分段法去绝对值，根据系数的正负分类讨论，分别求最小值，判断是否大于1，求出参数的范围.

【详解】

解：（1）∵，∴解不等式就是解不等式．

当时，原不等式可化为，∴．

当时，原不等式可化为，∴．

当时，原不等式可化为，∴．

所以，原不等式解集为．

（2），

∴

当时，，∴原不等式无解成立．

当时，，要原不等式无解，∴，，

∴．

当时，，∴原不等式一定有解．

综上，实数a的取值范围是．

【点睛】

思路点睛：解绝对值不等式，常用零点分段法，逐一去绝对值，分段求解，然后求并集.