江西省临川第一中学2022届高三实战演练5月冲刺数学（理）试题

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江西省临川第一中学2022届高三实战演练5月冲刺数学（理）试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知，是z的共轭复数，则（       ）

A． B．

C． D．

2．设集合，则 （       ）

A． B．

C． D．

3．下列函数，既是奇函数，又是其定义域内增函数的是（       ）

A． B．

C． D．

4．在中，“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

5．已知，则下列结论一定不正确的是（       ）

A． B．

C． D．

6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

7．已知数列的通项公式为为数列的前n项和，（       ）

A．1008 B．1009 C．1010 D．1011

8．将各个面涂上红色的正方体锯成64个大小相同的正方体，则这些正方体中至少有两个面涂有红色的概率为（       ）

A． B． C． D．

9．如图所示是一个几何体三视图，则这个几何体外接球的体积为（　　）

A． B． C． D．

10．函数在上没有零点，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

11．关于函数有下列四个结论：

①的值域为；                                

②在上单调递减；

③的图象关于直线于对称；            

④的最小正周期为．

上述结论中，正确命题的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．已知函数，设为实数，且．下列结论正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．的展开式中的系数为__________．

14．已知实数，满足，则的最小值是__________．

15．已知分别是双曲线的左右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为_______．

16．已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．

17．△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)若，求；

(2)当A取得最大值时，求△的周长．

18．有游戏规则如下：每盘游戏都需要抛硬币三次，每次抛硬币要么出现正面，要么出现反面；每盘游戏抛硬币三次后，出现一次正面获得分，出现两次正面获得分，出现三次正面获得分，没有出现正面则扣除分（即获得分）．设每次抛硬币出现正面的概率为，且各次抛硬币出现正面相互独立．

(1)玩一盘游戏，至少出现一次正面的概率是多少?

(2)设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；

(3)许多玩过这款游戏的人都发现，玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析其中的道理．

19．在三棱锥中，平面，点O在棱AB上且是的外心，点G是的内心，．

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的正弦值．

20．已知动圆过定点，且与定直线相切，点C在l上．

（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（2）设过点P且斜率为的直线与曲线M相交于A，B两点．

①问：能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；

②当为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．

21．已知，

(1)求在处的切线方程以及的单调性；

(2)令，若有两个零点分别为且为唯一极值点求证：

22．在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若过原点的直线l被圆C截得的弦长为2，求直线l的倾斜角.

23．已知．

（1）若，解不等式；

（2）若不等式无解，求实数a的取值范围．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果.

【详解】

由已知可得，因此，.

故选：B.

2．B

【解析】

【分析】

根据题意可得，利用集合交集运算，注意集合的理解．

【详解】

，

故选：B．

3．A

【解析】

【分析】

根据解析式分别判断每个选项的奇偶性和单调性即可.

【详解】

对A，令，则定义域为，且，所以为奇函数，因为和都是增函数，所以为增函数，故A正确；

对B，在每个单调区间内单调递增，但不在定义域内递增，故B错误；

对C，在定义域内单调递减，故C错误；

对D，不是奇函数，故D错误.

故选：A.

4．B

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.

【详解】

在中，，则，必有，

而，满足，此时是直角三角形，不是等腰三角形，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

5．C

【解析】

【分析】

根据换底公式可得，对讨论分析处理．

【详解】

∵

若，则，即

∴成立

若，则，即

∴不成立

若，则，由题意可得，则

∴

若，则，由题意可得，则

∴

故选：C．

6．D

【解析】

【分析】

因为，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线，利用点斜式求方程．

【详解】

∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线

的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率

则的欧拉线的方程为，即

故选：D．

7．D

【解析】

【分析】

依题意可得，再利用并项求和法计算可得；

【详解】

解：因为当为奇数时，为偶数时，

所以，

所以，

所以；

故选：D

8．A

【解析】

【分析】

作图，分别计算出两面是红色和三面是红色的正方体的个数，按照古典概型公式计算即可.

【详解】

如图，两面有红色的正方体共有24个，三面是红色的正方体有8个，共32个，

故至少由两面是红色的正方体的概率为： ；

故选：A.

9．D

【解析】

【分析】

由三视图还原出原几何体，确定其结构，找出几何体的外接球的球心，求得半径后可得球体积．

【详解】

由三视图，原几何体是四棱锥，其中底面是边长为4的正方形，侧面与底面垂直，是等腰三角形，底，边上的高是2，取中点，则，因此是等腰直角三角形，，

由此可知正方形对角线的交点是就该几何体外接球的球心，因此球半径为，

球体积为．

故选：D．

10．C

【解析】

【分析】

因为在上没有零点，所以，解出的范围，再结合题意得出或，代入即可求出答案.

【详解】

因为函数，在上没有零点，所以

，所以，

即，

因为，所以，

又因为，所以，所以，

所以，因为，所以或，

当时，；

当时，，

又因为，所以的取值范围是：.

故选：C.

11．C

【解析】

【分析】

利用二倍角的余弦公式将函数解析式化为，令利用二次函数可求出值域，说明①正确；根据复合函数的单调性可知②正确；根据可知③不正确；根据的最小正周期是，可知④正确.

【详解】

，由得，

所以，

对于①：令则，又在上单调递增，所以当时，，当时，，

所以f（x）的值域为[，2]，故①正确；

对于②：当时，，且在上单调递减，又令且单调递增，所以f（x）在[0，]上单调递减，故②正确；

对于③：因为，，而，所以f（x）的图象关于直线x＝对称不成立，故③不正确；

对于④：因为，且的最小正周期是，所以 f（x）的最小正周期为π，故④正确.

故选：C.

12．D

【解析】

【分析】

先根据函数解析式探究性质，作出简图，结合图像特点进行判断.

【详解】

，

因为，均为增函数，所以为增函数，易求值域为；

又，所以是奇函数，图像关于对称.

因为，，不妨设；作出简图如下:

设点，此时直线的方程为，

由图可知，

两式相加可得；

因为

所以，即.

故选：D.

13．

【解析】

【分析】

先求出的展开式的通项公式进而结合多项式的乘法运算即可求出结果.

【详解】

因为的展开式的通项公式为，因此的展开式中的系数，

故答案为：.

14．6

【解析】

【分析】

画出不等式组表示的可行域，由可得，平移直线，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值．

【详解】

画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．

由可得．

平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值．

由题意得A点坐标为，

∴，

即的最小值是6．

故答案为6．

【点睛】

求目标函数的最值时，可将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的纵截距的最值间接求出z的最值．解题时要注意：①当时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；②当时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．

15．

【解析】

【分析】

画出对应的图形，利用数形结合以及角平分线的性质和双曲线的定义分析建立等式关系，进而可以求解；

【详解】

解：如图所示：

由已知可得是的角平分线，且，

所以，故，，

又因为，所以，

又，，所以，

已知，所以，即，

故双曲线的离心率为，

故答案为：．

16．

【解析】

【分析】

先分离参数将问题转化为对于任意恒成立，进而转化为，构造，再作差判定单调性求出数列的最值，进而求出的取值范围.

【详解】

因为，且对于任意恒成立，

所以对于任意恒成立，即，

令，则，

因为，，，

且对于任意恒成立，

所以，即，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理、同角三角函数关系及正弦的二倍角公式即可求解；

（2）利用余弦定理及基本不等式即可求解.

(1)

由正弦定理得 ，即，解得 ，

∵,     ∴，

∴；

(2)

由余弦定理得，

∴，当且仅当时，等号成立，

此时，△的周长为.

18．(1)

(2)分布列见解析

(3)答案见解析

【解析】

【分析】

（1）利用对立事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列；

（3）计算出的值，可得出结论.

(1)

解：每盘游戏都需要抛硬币三次，每次抛硬币出现正面的概率为，且各次抛硬币出现正面相互独立．

所以，玩一盘游戏，至少出现一次正面的概率是.

(2)

解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，

，，

，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

(3)

解：因为，

所以，每盘游戏得分的数学期望是，

故由概率统计的相关知识可知：玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．

19．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题意结合图形可证，，可得平面；（2）利用空间向量，分别求平面与平面的法向量与，结合运算处理．

(1)

延长交于点．

因为点是直角三角形的外心，所以，所以点是的中点．

因为，则为等边三角形，

∵为的内心，所以点是的中心，

所以是的中点，所以．

因为平面，平面，所以．

因为，所以平面，

而平面，所以，平面平面；

(2)

由（1）知，二面角即为二面角，连接．

∵，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系．

因为、、、，

所以，．

设平面与平面的法向量分别为与．

因为，即，取，则，即

因为平面，可知平面的一个法向量为，

所以．

由图形可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为．

则二面角的正弦值为．

20．（1）；（2）①不能，理由见解析；②或．

【解析】

【分析】

（1）可得曲线M是以点P为焦点的抛物线，即可得出方程；

（2）①得出直线方程，与抛物线联立可求得坐标，根据，建立方程求解可判断；

②设，根据边长关系分别讨论各个角为钝角时的范围即可.

【详解】

（1）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，

所以曲线M的方程为．

（2）①由题意得，直线的方程为，

由消y得，解得．

所以A点坐标为，B点坐标为，．

假设存在点，使为正三角形，则，，

即，

由①-②得，解得．

但不符合①，所以由①，②组成的方程组无解．

因此，直线l上不存在点C，使得是正三角形．

②设使成钝角三角形，

由得，

即当点C的坐标为时，A，B，C三点共线，故．

又，

，．

当，即，

即时，为钝角．

当，即，

即时为钝角．

又，即，

即．该不等式无解，所以不可能为钝角．

因此，当为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是或．

【点睛】

关键点睛：解题的关键是利用两边的平方和大于第三边平方建立关系得出钝角.

21．(1)，单调递减区间为，单调递增区间为；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）求出的导数，利用导数的几何意义求切线方程，解不等式求单调区间.

（2）求出函数并求导，由极值点确定a取值，再利用及构造关于t的函数，借助导数推理求解作答.

(1)

函数的定义域为，求导得；，，，

于是得，即，

，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，

所以所求切线方程为：，的单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)

依题意，，，求导得，

当时，，在上单调递增，无极值，不符合题意，

因此，，，当时，，，，

则在上单调递减，上单调递增，是的唯一极值点，并且是极小值点，即，

要使有两个零点，必满足，即，解得，

因，，令，，

由，即，得，有，

要证，只需证，即证：，

即：，又，，只需证：，

令，则，

令，，，函数在上递增，

，，即，在上递增，有，

所以.

【点睛】

思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.

22．（1）；（2）直线l的倾斜角为或．

【解析】

【分析】

（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；

（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．

【详解】

（1）圆的参数方程为为参数），转换为普通方程为：，即，

进一步利用，得到圆的极坐标方程为；

（2）设直线的方程为：或，

由圆的圆心，，又弦长为2，

圆心到的距离，解得，

所以直线的倾斜角为，

当直线经过原点，且斜率不存在时，所截得的弦长也为2，

故直线的倾斜角为．

的倾斜角或．

【点睛】

易错点睛：本题的第2问容易漏掉.解析几何中，涉及直线的方程问题时，要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论.

23．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）用零点分段法去绝对值讨论，分段求解即可.（2）零点分段法去绝对值，根据系数的正负分类讨论，分别求最小值，判断是否大于1，求出参数的范围.

【详解】

解：（1）∵，∴解不等式就是解不等式．

当时，原不等式可化为，∴．

当时，原不等式可化为，∴．

当时，原不等式可化为，∴．

所以，原不等式解集为．

（2），

∴

当时，，∴原不等式无解成立．

当时，，要原不等式无解，∴，，

∴．

当时，，∴原不等式一定有解．

综上，实数a的取值范围是．

【点睛】

思路点睛：解绝对值不等式，常用零点分段法，逐一去绝对值，分段求解，然后求并集.