2021-2022学年黑龙江省牡丹江市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年黑龙江省牡丹江市八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列命题错误的是(    )

A. 一组邻边相等且对角线相等的平行四边形是正方形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 有一组邻角相等的平行四边形是矩形

4. 学校为了解学生的睡眠情况，随机调查名学生的睡眠时间，数据如下表所示：

则这名学生睡眠时间的众数，中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 已知，化简二次根式的正确结果为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 直线和的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在▱中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一次函数的图象一定经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

9. 如图，正方形的边长为，点，在正方形内部，，，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，延长到点，使，，垂足是，交于点，连接，交于点，连接下列结论：≌；四边形是菱形；；正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11. 在函数中，自变量的取值范围是______．
12. 如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件：______ ，使四边形成为菱形．
13. 一组数据为，，，，，，，唯一众数是，平均数是，则这组数据的中位数是______．
14. 一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是______．
15. 若，满足，则______．
16. 如图，直线：与直线：相交于点，与轴相交于点，若点的横坐标为，则______．

17. 如图，在平面直角坐标系中，点在矩形的边上，将沿翻折，使点落在对角线上．若，，则点坐标为______．

18. 如图，中，，，，为边上一点，，，垂足分别是，，连接，则最小值为______．

19. 如图，，，，都是边长为的等边三角形，点在轴上，点，，，都在直线上，则点的横坐标是______．

20. 菱形的周长为，，以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的长是______．

三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 计算
    ；
    ；
    先化简，再求值：，其中．
22. 如图，在正方形中，，分别是，边上的点，且，，相交于点请判断线段与的关系并说明理由．

23. 某次献爱心活动中，八年级某班全体同学为疫情灾区捐款情况的统计图，如图、图．
    
    求该班学生人数；
    请将图、图补充完整；
    此次爱心捐款活动中该班共捐款多少元？
24. 在中，，，为直线上一点，点在点的右侧，以为边作正方形，连接．
    
    当点在线段上时，如图，求证：；
    当点在的延长线上时，如图；当点在的延长线上时，如图，请分别写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
    在，的条件下，若，，则______．
25. 我市某电器公司准备购进，两种型号的设备，经计算，购进台型设备和台型设备需万元；购进台型设备和台型设备需万元．
    求，两种设备的进价；
    该公司欲购进，两种设备共台，若型设备每台售价万元，型设备每台售价万元，请求出所获利润万元与购买型设备的数量台之间函数关系式不需要写出自变量的取值范围；
    在的条件下，若这批型设备的数量不低于型设备的数量，将中的最大利润全部用来购买甲和乙两种空调赠送给某中学．已知甲种空调元台，乙种空调元台．请直接写出有几种购买空调的方案．
26. 快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，途中慢车因故停留小时，然后以原速继续向甲地行驶，到达甲地后停止行驶；快车到达乙地后，立即按原路原速返回甲地快车掉头的时间忽略不计，快、慢两车距乙地的路程千米与所用时间小时之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
    
    甲、乙两地相距路程是______千米，快车行驶的速度是______千米时，并在图中______内填上正确的数；
    求快车从乙地返回甲地过程中，距乙地的路程与所用时间之间的函数关系式不需要写出自变量的取值范围；
    两车出发后几小时相距千米的路程？请直接写出答案．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
是最简二次根式，故D符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
，故C错误，符合题意；
，故D正确，不符合题意；
故选：．
根据二次根式分运算法则逐项判断即可．
本题按扣除二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：、一组邻边相等且对角线相等的平行四边形是正方形，是真命题，故本选项不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故本选项不符合题意；
C、一组对边平行另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，是假命题，故本选项符合题意；
D、有一组邻角相等的平行四边形是矩形，是真命题，故本选项不符合题意．
故选：．
根据正方形、菱形、平行四边形及矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、菱形、平行四边形及正方形的判定定理，属于基础定理，难度不大．
 

4.【答案】 

【解析】解：这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是小时，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是小时．
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的化简，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．
二次根式有意义，，结合已知条件得，化简即可得出最简形式．
【解答】

解：，
和同号，
中的，
，
，，
，
故选：．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，所以直线一定与轴正半轴相交，
排除和；
对于选项，可知，
，
选项可能成立；
对于选项，可知，
，另一条直线应该是下降的，故不符合题意．
故选：．
对于，，所以直线一定与轴正半轴相交，再根据的符号判断即可．
此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
≌，
的面积等于的面积，
，
的面积是，
，
阴影部分面积是．
故选：．
根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的判定定理得到≌，得到的面积是，于是得到结论．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出的面积是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：一次函数，
当时，，
该函数图象一定过点，
该函数一定经过第二象限，
故选：．
将一次函数的解析式变形，可以写出当时，，从而可以得到该函数图象一定经过的象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是写出该函数图象过的定点．
 

9.【答案】 

【解析】解：延长交于，如图：

，，，
，
是直角三角形，
同理可得，是直角三角形，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
，
，
，
，即是直角三角形，
在和中，
，
≌，
，，
，
同理可得：，
中，，
故选：．
延长交于，，再根据全等三角形的判定得出与全等，得出，由，得出，同理得出，再根据勾股定理得出的长．
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
，
，
．
在和中，
，
≌．
．
在和中，
，
≌，
的结论正确；
由知：≌，
，．
，
，
，，
，
．
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是菱形，
的结论正确；
由知：≌，
．
，
，
的结论正确；
正方形的边长为，
．
，
，
由知：≌，
，
，
，
由知：，
，
，
的结论不正确，
综上，正确的结论为：，
故选：．
利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形的内角和定理和勾股定理等知识对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】且 

【解析】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

12.【答案】 

【解析】解：添加，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形，
故答案为：．
由条件，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形，再加上条件可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定．
此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为众数为，可设，，未知，
平均数，
解得，
将这组数据按从小到大的顺序排列：、、、、、、，
位于最中间的一个数是，所以中位数是，
故答案为：．
因为众数为，表示的个数最多，因为出现的次数为二，所以的个数最少为三个，则可设，，中有两个数值为另一个未知数利用平均数定义求得，从而根据中位数的定义求解．
本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式中一次项系数小于，常数项不小于，进而得到的取值范围．
本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数求出的值，进而求出的值，代入代数式求值即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线：与轴相交于点，
，
解得，
直线：，
直线：与直线：相交于点，点的横坐标为，
，
，
代入得，，
，
故答案为：．
利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标，代入直线：即可求得的值．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
中，
，
，
由折叠的性质得，，
设，则，
，
中，，
即，
解得，
，
故答案为：．
设，则，依据中，，即可得到即，进而得到．
本题考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，如图：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
要使最小，只要最小即可，
当时，最短，
，，，
，
的面积，
，
即，
故答案为：．
先证四边形是矩形，得，要使最小，只要最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出即可．
本题考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：，，，都是边长为的等边三角形，
，
，
把点代入中，得，
直线的解析式为，
，，，
，

的横坐标：，
故答案为：．
根据等边三角形的性质可得出、且直线的解析式为，进而可得出点、、、的坐标，根据坐标的变化即可得出变化规律“”，依此规律即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
 

20.【答案】或 

【解析】解：如图，

四边形是菱形，
，，
，
，
当点在线段的下方时，
是等腰直角三角形，
，
，
当点在的上方时，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
由菱形的性质可得，，可求，分两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式
；
原式
；
原式

．
当时，
原式
． 

【解析】先化为最简二次根式，再合并即可；
先算零指数幂和乘法，把二次根式化为最简，再合并即可；
先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将的值代入即可即可．
本题考查实数运算及分式化简求值，解题的关键是掌握实数相关运算的法则和分式的基本性质．
 

22.【答案】解：与的关系为：，，理由：
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，．
，
，
，
，
与的关系为：，． 

【解析】利用正方形的性质和全等三角形的判定定理得到≌，利用全等三角形的性质定理和直角三角形的性质以及垂直的定义即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：该班学生人数为人；
捐款元的人数为：人，
捐款元的人数所占百分比为，
补全图形如图所示：

元，
答：该班共捐款元． 

【解析】由捐款元的人数除以占的百分比，即可确定出该班的总人数；
求出捐款元的人数，补全条形统计图即可，再求出捐款元人数所占百分比即可补全图形；
单价乘以人数，再求和即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．
 

24.【答案】或 

【解析】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
；
解：当点在的延长线上时，，
同可证≌，
，
；
当点在的延长线上时，同可得≌，
，
；
解：如图，过点作于点，

，，
，
，
，
≌，
；

如图，过点作于点，

同理可得，
，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
证明≌，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，则可得出结论；
同由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出结论；
分两种情况，过点作于点，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形和等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解： 设每台型设备进价为万元，每台型设备进价为万元，
根据题意，得，
解得，
每台型设备进价为万元，每台型设备进价为万元；

根据题意得；

根据题意得，
，
，，
随的增大而减小．
当时，有最大值，的最大值为万元，
设购买甲种空调台，乙种空调台，则，
，均为正整数，
，，．
共有三种方案． 

【解析】设型设备的进价为万元，型设备的进价为万元，根据“购进台设备和台设备需用万元，购进台设备和台设备需用万元”列方程组解答即可；
根据所获利润型设备出售所获利润型设备出售所获利润，列出函数解析式并化简即可；
先根据型设备的数量不低于型设备的数量，求得的取值范围，再根据一次函数的性质，求得最大利润，最后根据空调的价格判断购买空调的方案数量．
此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
 

26.【答案】     

【解析】解：图象是快、慢两车距乙地的路程千米与所用时间小时之间的函数图象，
表示快车在甲地没出发前距离乙地千米，也就是甲、乙两地相距路程是千米；
快车到达乙地后，立即按原路原速返回甲地，一共用了小时，
快车行驶的速度是千米时，
点、的横坐标相同，即是快车到达乙地时间：小时或小时，然后慢车又因故停留小时，
点的横坐标是；
故答案为：；；；
就是求线段的解析式，因为，，
所以设，
由题意，得，
解得，
；
两次第二次相遇时距离乙地千米，此时快车行驶时间是小时，途中慢车因故停留小时，
慢车速度是：千米时，甲乙第一次相遇时间：小时，
第一次相遇前：小时，
第一次相遇后，甲未到地：小时，
甲到达地后，未相遇：小时，
第二次相遇后，当甲停止行驶是第小时，此时乙所在的位置距离为：，
，所以此情况不存在．
故两车出发后小时或小时或小时．
根据点、、坐标，即可解答；
设出一次函数解析式，用待定系数法即可解答；
先计算出慢车速度和第一次相遇时间，再根据路程、速度、时间之间关系式和题意、图象列式计算即可求解．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和一次函数的性质解答．