数学九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系完美版ppt课件

课题名

2.5  一元二次方程的根与系数的关系

教学目标

1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．

2．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．

3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.

4.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养创新意识和创新精神.

教学重点

了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的运用．

教学难点

能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．

教学准备

教师准备：数学课本和课件．

学生准备：复习公式法求解一元二次方程和根的判别式．

教学过程

一、复习

问题1：

1.一元二次方程的一般形式是什么？

2.一元二次方程根的判别式是什么？

3.一元二次方程的求根公式是什么？

通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式.

通过前面的学习我们发现，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式 ，                   不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？

在练习本上解下面的方程。

(1)x2-2x+1=0           

(2)x2-x-1=0          

(3)2x2-3x+1=0

学生回答问题并订正答案。

（1）x1=1，x2=1

（2）x1=，x2=

（3）x1=1，x2=

师：计算上面每个方程的两根之和与两根之积，将下表填写完整。

思考：每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？

你有什么发现？

x2-2x+1=0→a=_____，b=_____，c=_____

x1+x2=2=(      )

x1·x2=1=(      )

看看另外两个方程是否也符合上面的规律？

看看另外两个方程是否也符合上面的规律？

对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？

合作交流：证明上面的这一结论。

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）当b2－4ac≥0时有两个根：

∴x1+x2

∴x1·x2

总结归纳

一元二次方程的根与系数有如下关系：

如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个实数根x1，x2，那么

 x1+x2    ，x1·x2

【温馨提示】能用这个结论的前提为b2－4ac≥0

例题讲解

例1： 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

（1）x2 + 7x + 6 = 0               

 （2）2x2 - 3x - 2 = 0.

（1）解：已知a=1 , b=7 , c=6.

Δ= b2 -4ac=72 -4×1×6=25 > 0.

∴方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是 x1, x2，

那么x1 + x2 = -7 ,  x1 x2 = 6.

（2）解：已知a=2,b=-3,c =-2.

Δ=b2 -4ac=(-3)2 - 4×2×(-2) =25 > 0,

∴方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是 x1, x2,

那么x1 + x2= ,  x1 x2 = -1 .

例2：已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值．

解：设方程的两根为x1和x2，

    ∵x1＋x2＝6，x1＝2，∴x2＝4.　

  又∵x1x2＝＝p2－2p＋5＝2×4＝8，   

∴p2－2p－3＝0，解得 p＝3或p＝－1.　

归纳总结

已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．

也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．

过关练习

关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+ ，x2=1- ，则p=        ，  q=          .

答案-2  -1

已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是        ，

k＝         .

答案  -7

3.方程 x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0 的两个实数根 x1，x2  满足x12＋x22＝4，则k的值为________．

答案 -7

4.（2022呼和浩特中考）已知x1，x2是方程x2-x-2022=0的两个实数根，则代数式x13-2022x1+x22的值是（　　）

A．4045    B．4044     C．2022      D．1

答案A

5.（2022宜宾中考）已知m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，则m2+mn+2m的值为（　　）

A．0    B．-10    C．3      D．10

答案A

5.不解方程，求下列方程的两个根x1，x2的和与积：

（1）x2－2x＝5；　　　　（2）3x2＋2x＝2(x＋1)．

(1)解：原方程变形为

x2－2x－5＝0，

x1＋x2＝2，

x1x2＝－5.

(2)解：原方程变形为

3x2－2＝0，

x1＋x2＝0，

x1x2＝   .

7.（2022随州中考）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若x1x2=5，求k的值．

解：（1）根据题意得Δ=（2k+1）2-4（k2+1）＞0，

解得k＞   ；

（2）根据题意得x1x2=k2+1，

∵x1x2=5，∴k2+1=5，

解得k1=-2，k2=2，

∵k＞ ，

∴k=2．

课堂小结

本节课你学到了什么？

 1．一元二次方程根与系数的关系是什么？

一般的，一元二次方程的根与系数有如下关系：

如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个实数根x1，x2，那么

 x1+x2    ，x1·x2

2．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0 时，才能应用根与系数的关系.

布置作业

教材第51页习题2.8第2、3题.

板书设计

课题：2.5 一元二次方程的根与系数的关系

一、x1+x2   

二、x1·x2

三、已知方程的一根求另一根

教学反思

本节课充分以学生为主体进行教学，采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。让学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。引导学生发现问题，师生共同解决问题。指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类。