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广东省湛江市初级实验中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)
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这是一份广东省湛江市初级实验中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省湛江初级实验中学八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．﹣ B． C． D．
2．（3分）下列线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，6 D．1，1，
3．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当x≤0时，y的取值范围是（ ）
A．y≥0 B．y≤0 C．﹣2≤y＜0 D．y≥﹣2
4．（3分）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（3分）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
7．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
9．（3分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．36
10．（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：
报名项目个数
0
1
2
3
人数
5
14
a
b
其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ）
A．中位数，众数 B．平均数，方差
C．平均数，众数 D．众数，方差
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（4分）如图，长方体的长、宽、高分别为8、4、5，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为 ．
13．（4分）已知P1（﹣3，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，则y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
14．（4分）菱形的两条对角线长分别为12cm、16cm，则这个菱形的面积为 cm2．
15．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D的位置如图所示，当k＞0且b＜0时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数y＝kx+b图象上的点为 ．
16．（4分）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为 ．
17．（4分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的面积为10，且边AB在x轴上．如果将直线y＝﹣x沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么图2中a的值是 ，b的值是 ．
三、解答题（本题共18分，每小题6分）
18．（6分）计算：．
19．（6分）阅读并解答问题
明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：
原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索有几？
译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代5尺为1步）
建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），已知OC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，BE⊥OC于点E，OA＝OB，求秋千绳索（OA或OB）的长度．
请解答下列问题：
（1）直接写出四边形ECDB是哪种特殊的四边形；
（2）求OA的长．
20．（6分）下面是小明设计的“在一个矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求作：正方形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
四边形ABEF就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB，
∴ ＝ ．
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（ ）（填推理的依据）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（ ）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（ ）（填推理的依据）
四、解答题（本题共24分，每小题8分）
21．（8分）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，+1与﹣1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，＝＝＝＝．
（1）请你写出3+的有理化因式： ；
（2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）；
（3）已知a＝，b＝，求的值．
22．（8分）北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台．求：
（1）若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台？
（2）若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元？
23．（8分）某中学为了解学生参加户外活动的情况，随机调在了该校部分学生每周参加户外活动的时间，并用得到的数据绘制了如下统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共 人，并补全条形统计图；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数众数和中位数；
（3）若该校共有1500名学生，估计该校参加户外活动时间超过3h的学生人数．
五、解答题（本题共20分，每小题10分）
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由；
（3）在运动过程中，四边形BEDF能否为正方形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
25．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l1：y＝x+1与y轴交于点C，设直线l与直线l1的交点为E
（1）如图1，若点E的横坐标为2，求点A的坐标；
（2）在（1）的前提下，D（a，0）为x轴上的一点，过点D作x轴的垂线，分别交直线l与直线l1于点M、N，若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求a的值；
（3）如图2，设直线l与直线l2：y＝﹣x﹣3的交点为F，问是否存在点B，使BE＝BF，若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由．
2021-2022学年广东省湛江初级实验中学八年级（下）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分析即可．
【解答】解：A、﹣符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
B、是三次根式，故本选项不符合题意；
C、当x＜0，则它无意义，故本选项不符合题意；
D、由于﹣3＜0，则它无意义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解被开方数是非负数
2．（3分）下列线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，6 D．1，1，
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵12+22＝5，22＝4，
∴12+22≠22，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵32+22＝13，42＝16，
∴32+22≠42，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵32+42＝25，62＝36，
∴32+42≠62，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵12+12＝2，（）2＝2，
∴12+12＝（）2，
∴能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当x≤0时，y的取值范围是（ ）
A．y≥0 B．y≤0 C．﹣2≤y＜0 D．y≥﹣2
【分析】由图象可知，此函数图象与y轴交点为（0，﹣2），且函数图象y随x的增大而减小，即可得到当x≤0时，y≥﹣2．
【解答】解：由图象可知，当x＝0时，y＝﹣2，函数图象y随x的增大而减小，
∴当x≤0时，y≥﹣2；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质；能够熟练掌握一次函数的图象及性质，由图象准确获取信息是解题的关键．
4．（3分）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长．
【解答】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．
5．（3分）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．
【解答】解：A、＝＝7，正确；
B、＝＝2，正确；
C、+＝3+5＝8，正确；
D、，故错误．
故选：D．
【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】由平行四边形的性质得出∠C＝∠A＝70°，由直角三角形的性质可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝70°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了是平行四边形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．
7．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对角线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．
【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；
故选：A．
【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直，四条边都相等．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】先运用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CD的长．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，
则由勾股定理知：AB＝＝＝，
又∵D为AB的中点，
∴CD＝AB＝．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，比较简单．
9．（3分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．36
【分析】图1和图2中的点对应：点A对点O，点B对点M，点D对点N，根据点P运动的路程为x，线段AP的长为y，依次解出AB＝x＝6，即点M的横坐标，AD＝AP＝y＝8，即点N的纵坐标，解出BE＝2，▱ABCD的面积＝AD×BE，可得结论．
【解答】解：在图1中，作BE⊥AD，垂足为E，
在图2中，取M（6，6），N（12，8），
当点P从点A到点B时，对应图2中OM线段，得AB＝x＝6，
当点P从B到D时，对应图2中曲线MN从点M到点N，得AB+BD＝x＝12，解得BD＝6，
当点P到点D时，对应图2中到达点N，得AD＝AP＝y＝8，
在△ABD中，AB＝BD＝6，AD＝8，BE⊥AD，
解得AE＝4，
在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝4，
BE2+AE2＝AB2，
解得BE＝2，
∴▱ABCD的面积＝AD×BE＝8×2＝16，
故选：B．
【点评】本题考查动点的移动距离与函数图象的关系，难点在于确定关键点对应关系：点A对点O，点B对点M，点D对点N，关键是当点P到点D时，图2的N点的纵坐标表示的意义：AD＝AP＝y（点N的纵坐标）．
10．（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：
报名项目个数
0
1
2
3
人数
5
14
a
b
其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ）
A．中位数，众数 B．平均数，方差
C．平均数，众数 D．众数，方差
【分析】平均数的求解是先求和再除以个数，方差由平均数得来，中位数由数据排序得到，众数则反映原数据中最多的数值．
【解答】解：∵共有30名学生报名这3个项目，
把这些数从小到大排列，中位数是第15、16个数的平均数，
则不报的和报1个的就有19人了，
所以中位数不会发生改变，
因为报2个项目和3个项目的一共有11人，
而报1个项目的就有14人，
所以众数也不会发生改变．
故选：A．
【点评】本题考查平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的概念及运算是解题的关键．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 x≥8 ．
【分析】直接利用二次根式的定义得出答案．
【解答】解：要使二次根式有意义，
则x﹣8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
12．（4分）如图，长方体的长、宽、高分别为8、4、5，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为 ．
【分析】做此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内两点之间线段最短，根据勾股定理即可计算．
【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是12和5，
则所走的最短线段是＝13；
第二种情况：把我们看到的右面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是13和4，
所以走的最短线段是＝；
第三种情况：把我们所看到的上面和后面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是9和8，
所以走的最短线段是＝；
三种情况比较而言，第三种情况最短．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两点之间线段最短，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
13．（4分）已知P1（﹣3，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，则y1 ＜ y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】先根据一次函数y＝2x+1中k＝2判断出函数的增减性，再根据﹣3＜2进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中k＝2＞0，
∴此函数是增函数，
∵﹣3＜2，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
14．（4分）菱形的两条对角线长分别为12cm、16cm，则这个菱形的面积为 96 cm2．
【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，计算即可．
【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC＝16cm，BD＝12cm，
根据菱形的面积等于对角线积的一半，
S菱形ABCD＝AC•BD＝96cm2．
故答案为96．
【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的四条边都相等．解题的关键注意菱形面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半．
15．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D的位置如图所示，当k＞0且b＜0时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数y＝kx+b图象上的点为 D ．
【分析】根据一次函数性质解答即可．
【解答】解：∵k＞0且b＜0，
∴图象过一、三、四象限，
∵D点在第二象限，
故答案为：D．
【点评】本题考查了图象上的点的坐标特征，掌握图象过哪些象限是解题的关键．
16．（4分）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为 4 ．
【分析】由正方形的面积公式可得AD2＝10，在Rt△ADH中，由勾股定理可求DH＝1，即可求解．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为10，
∴AD2＝10，
∴DH＝＝＝1，
∵△AHD≌△DGC，
∴AH＝DG＝3，
∴HG＝DG﹣DH＝2，
∴正方形EFGH的面积＝HG2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出DH的长是解题的关键．
17．（4分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的面积为10，且边AB在x轴上．如果将直线y＝﹣x沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么图2中a的值是 7 ，b的值是 2 ．
【分析】找出图1与图2中的对应点：图1中点A对应图2中的点A'，得出OA＝m＝2，图1中点E对应图2中的点E'，得出OE＝m＝5，DE＝n＝b，则AE＝3，图1中点F对应图2中的点F'，得出OF＝m＝10，图1中点B对应图2中的点B'，由OB＝m＝a．a＝OB＝OF﹣BF解得a值；在Rt△DGE可解得b＝DE＝2．
【解答】解：在图1中，过点D，BC作直线与已知直线y＝﹣x平行，交x轴于点E，F，
在图2中，取A'（2，0），E'（5，b），B'（a，b），F'（10，0），
图1中点A对应图2中的点A'，得出OA＝m＝2，
图1中点E对应图2中的点E'，得出OE＝m＝5，DE＝n＝b，则AE＝3，
图1中点F对应图2中的点F'，得出OF＝m＝10，
图1中点B对应图2中的点B'，得出OB＝m＝a，
∵a＝OB＝OF﹣BF，BF＝AE＝3，OF＝10
∴a＝7，
∵▱ABCD的面积为10，AB＝OB﹣OA＝7﹣2＝5，
∴DG＝2，
在Rt△DGE中，∠DEG＝45°，
∴DE＝2，
故答案是：7，2．
【点评】本题考查动直线在几何图形和函数图象上的运用；重点是观察动直线y＝﹣x经过点A、D、B、C（或A、E、B、F）时，在图2中所对应的点A'、E'、B'、F'，难点是确定a，b对应的线段，a＝OB＝OF﹣BF，DE＝n＝b．
三、解答题（本题共18分，每小题6分）
18．（6分）计算：．
【分析】直接化简二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝2×2+3﹣4
＝4+3﹣4
＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
19．（6分）阅读并解答问题
明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：
原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索有几？
译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代5尺为1步）
建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），已知OC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，BE⊥OC于点E，OA＝OB，求秋千绳索（OA或OB）的长度．
请解答下列问题：
（1）直接写出四边形ECDB是哪种特殊的四边形；
（2）求OA的长．
【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得结论；
（2）设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
【解答】解：（1）四边形ECDB是矩形，理由是：
∵OC⊥CD，BD⊥CD，BE⊥OC，
∴∠ECD＝∠CDB＝∠BEC＝90°，
∴四边形ECDB是矩形；
（2）设OA的长为x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4尺
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
由勾股定理得：102+（x﹣5+1）2＝x2，
解得：x＝14.5．
答：秋千绳索（OA或OB）的长度为14.5尺．
【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
20．（6分）下面是小明设计的“在一个矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求作：正方形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
四边形ABEF就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB，
∴ AF ＝ BE ．
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ）（填推理的依据）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（ 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（ 邻边相等的矩形是正方形 ）（填推理的依据）
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）首先证明ABEF是平行四边形，再证明是矩形，再证明是正方形即可．
【解答】（1）解：如图，四边形ABEF即为所求．
（2）证明：∵AF＝AB，BE＝AB，
∴AF＝BE，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（邻边相等的矩形是正方形）
故答案为：AF，BE，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等知识，解题的关键是正确作出点E，点F，属于中考常考题型．
四、解答题（本题共24分，每小题8分）
21．（8分）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，+1与﹣1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，＝＝＝＝．
（1）请你写出3+的有理化因式： 3﹣ ；
（2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）；
（3）已知a＝，b＝，求的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据＝，将a+b，ab的值代入即可求解．
【解答】解：（1）∵（3+）（3+）＝9﹣11＝﹣2，
∴3﹣是3+的有理化因式，
故答案为：3﹣；
（2）
＝
＝
＝1+；
（3）∵a＝＝﹣﹣2，b＝＝2﹣，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣1，
∴
＝
＝
＝
＝4．
【点评】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
22．（8分）北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台．求：
（1）若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台？
（2）若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元？
【分析】（1）设出未知数，分别表示出北京、上海运往汉口、重庆的计算机台数，列出方程即可解决问题；
（2）结合（1），求出总运费y关于x的函数关系式，列出不等式即可解决问题；
（3）根据一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设上海运往汉口x台，则：
北京运往汉口6﹣x（台），北京运往重庆4+x（台），上海运往重庆4﹣x（台），
由题意得：300x+500（4﹣x）+400（6﹣x）+800（4+x）＝8400，
解得：x＝4（台）．
（2）设上海运往汉口x台，
由（1）知：总费用y＝300x+500（4﹣x）+400（6﹣x）+800（4+x）
＝200x+7600；
∵y≤8200，即200x+7600≤8200，
∴x≤3，而x≥0，
∴x＝0或1或2或3，
即共有4种调运方案．
（3）∵y＝200x+7600，k＝200＞0，
∴y随x的增大而增大，
故当x＝0时y取最小值，
此时y＝7600．
【点评】该命题主要考查了一次函数在解决现实生活中调运问题方面的应用问题；解题的关键是准确把握题意，找准命题中隐含的数量关系，列出函数或方程来分析、判断或解答．
23．（8分）某中学为了解学生参加户外活动的情况，随机调在了该校部分学生每周参加户外活动的时间，并用得到的数据绘制了如下统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共 50 人，并补全条形统计图；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数众数和中位数；
（3）若该校共有1500名学生，估计该校参加户外活动时间超过3h的学生人数．
【分析】（1）根据参加户外活动2小时的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数；用总人数乘32%即可得出外活动时间为3小时的学生人数，再补全条形统计图即可；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出平均数，写出相应的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校户外活动时间超过3小时的学生人数．
【解答】解：（1）本次接受调查的学生人数为：4÷8%＝50（人），
50×32%＝16（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）平均数是：＝3.96（小时），
众数是3小时，中位数是4小时，
即本次调查获取的样本数据的平均数是3.96小时、众数是3小时、中位数是4小时；
（3）1500×＝900（人），
即估计该校户外活动时间超过3小时的学生有900人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
五、解答题（本题共20分，每小题10分）
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由；
（3）在运动过程中，四边形BEDF能否为正方形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由已知条件可得Rt△CDF中∠C＝30°，即可知DF＝CD＝AE＝2t；
（2）由（1）知DF∥AE且DF＝AE，即四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD＝AE，可得关于t的方程，求解即可知；
（3）四边形BEDF不为正方形，若该四边形是正方形即∠EDF＝90°，即DE∥AB，此时AD＝2AE＝4t，根据AD+CD＝AC求得t的值，继而可得DF≠BF，可得答案．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝30°．
又∵在Rt△CDF中，∠C＝30°，CD＝4t
∴DF＝CD＝2t，
∴DF＝AE；
（2）∵DF∥AB，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t＝2t，解得：t＝10，
即当t＝10时，四边形AEFD是菱形；
（3）四边形BEDF不能为正方形，理由如下：
当∠EDF＝90°时，DE∥BC．
∴∠ADE＝∠C＝30°
∴AD＝2AE
∵CD＝4t，
∴DF＝2t＝AE，
∴AD＝4t，
∴4t+4t＝60，
∴t＝时，∠EDF＝90°
但BF≠DF，
∴四边形BEDF不可能为正方形．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定是解题的关键．
25．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l1：y＝x+1与y轴交于点C，设直线l与直线l1的交点为E
（1）如图1，若点E的横坐标为2，求点A的坐标；
（2）在（1）的前提下，D（a，0）为x轴上的一点，过点D作x轴的垂线，分别交直线l与直线l1于点M、N，若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求a的值；
（3）如图2，设直线l与直线l2：y＝﹣x﹣3的交点为F，问是否存在点B，使BE＝BF，若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点E的横坐标结合一次函数图象上点的坐标特征即可找出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出直线l的解析式，令y＝0求出x的值，即可得出点A的坐标；
（2）根据点D的横坐标为a利用一次函数图象上点的坐标特征即可找出点M、N的坐标，从而得出线段MN的长度，分别令直线l、l1的解析式中x＝0求出点B、C的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）假设存在，联立直线l、l1的解析式成方程组，解方程组求出点E的坐标，联立直线l、l2的解析式成方程组，解方程组求出点F的坐标，结合BE＝BF即可得出关于b的一元一次方程，解方程求出b值，此题得解．
【解答】解：（1）∵点E在直线l1上，且点E的横坐标为2，
∴点E的坐标为（2，2），
∵点E在直线l上，
∴2＝﹣×2+b，解得：b＝3，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，有﹣x+3＝0，
解得：x＝6，
∴点A的坐标为（6，0）．
（2）依照题意画出图形，如图3所示．
当x＝a时，yM＝3﹣a，yN＝1+a，
∴MN＝|1+a﹣（3﹣a）|＝|a﹣2|．
当x＝0时，yB＝3，yC＝1，
∴BC＝3﹣1＝2．
∵BC∥MN，
∴当MN＝BC＝2时，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
此时|a﹣2|＝2，
解得：a＝4或a＝0（舍去）．
∴当以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，a的值为4．
（3）假设存在．
联立直线l、l1的解析式成方程组，
解得：，
∴点E的坐标为（b﹣1，）；
联立直线l、l2的解析式成方程组，
解得：，
∴点F的坐标为（18+6b，﹣9﹣2b）．
∵BE＝BF，且E、F均在直线l上，
∴b﹣1＝﹣18﹣6b，解得：b＝﹣，
此时直线l的解析式为y＝﹣x﹣．
故存在点B，使BE＝BF，此时直线l的解析式为y＝﹣x﹣．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
2021-2022学年广东省湛江初级实验中学八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．﹣ B． C． D．
2．（3分）下列线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，6 D．1，1，
3．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当x≤0时，y的取值范围是（ ）
A．y≥0 B．y≤0 C．﹣2≤y＜0 D．y≥﹣2
4．（3分）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（3分）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
7．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
9．（3分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．36
10．（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：
报名项目个数
0
1
2
3
人数
5
14
a
b
其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ）
A．中位数，众数 B．平均数，方差
C．平均数，众数 D．众数，方差
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（4分）如图，长方体的长、宽、高分别为8、4、5，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为 ．
13．（4分）已知P1（﹣3，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，则y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
14．（4分）菱形的两条对角线长分别为12cm、16cm，则这个菱形的面积为 cm2．
15．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D的位置如图所示，当k＞0且b＜0时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数y＝kx+b图象上的点为 ．
16．（4分）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为 ．
17．（4分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的面积为10，且边AB在x轴上．如果将直线y＝﹣x沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么图2中a的值是 ，b的值是 ．
三、解答题（本题共18分，每小题6分）
18．（6分）计算：．
19．（6分）阅读并解答问题
明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：
原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索有几？
译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代5尺为1步）
建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），已知OC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，BE⊥OC于点E，OA＝OB，求秋千绳索（OA或OB）的长度．
请解答下列问题：
（1）直接写出四边形ECDB是哪种特殊的四边形；
（2）求OA的长．
20．（6分）下面是小明设计的“在一个矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求作：正方形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
四边形ABEF就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB，
∴ ＝ ．
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（ ）（填推理的依据）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（ ）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（ ）（填推理的依据）
四、解答题（本题共24分，每小题8分）
21．（8分）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，+1与﹣1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，＝＝＝＝．
（1）请你写出3+的有理化因式： ；
（2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）；
（3）已知a＝，b＝，求的值．
22．（8分）北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台．求：
（1）若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台？
（2）若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元？
23．（8分）某中学为了解学生参加户外活动的情况，随机调在了该校部分学生每周参加户外活动的时间，并用得到的数据绘制了如下统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共 人，并补全条形统计图；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数众数和中位数；
（3）若该校共有1500名学生，估计该校参加户外活动时间超过3h的学生人数．
五、解答题（本题共20分，每小题10分）
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由；
（3）在运动过程中，四边形BEDF能否为正方形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
25．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l1：y＝x+1与y轴交于点C，设直线l与直线l1的交点为E
（1）如图1，若点E的横坐标为2，求点A的坐标；
（2）在（1）的前提下，D（a，0）为x轴上的一点，过点D作x轴的垂线，分别交直线l与直线l1于点M、N，若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求a的值；
（3）如图2，设直线l与直线l2：y＝﹣x﹣3的交点为F，问是否存在点B，使BE＝BF，若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由．
2021-2022学年广东省湛江初级实验中学八年级（下）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分析即可．
【解答】解：A、﹣符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
B、是三次根式，故本选项不符合题意；
C、当x＜0，则它无意义，故本选项不符合题意；
D、由于﹣3＜0，则它无意义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解被开方数是非负数
2．（3分）下列线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，6 D．1，1，
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵12+22＝5，22＝4，
∴12+22≠22，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵32+22＝13，42＝16，
∴32+22≠42，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵32+42＝25，62＝36，
∴32+42≠62，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵12+12＝2，（）2＝2，
∴12+12＝（）2，
∴能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当x≤0时，y的取值范围是（ ）
A．y≥0 B．y≤0 C．﹣2≤y＜0 D．y≥﹣2
【分析】由图象可知，此函数图象与y轴交点为（0，﹣2），且函数图象y随x的增大而减小，即可得到当x≤0时，y≥﹣2．
【解答】解：由图象可知，当x＝0时，y＝﹣2，函数图象y随x的增大而减小，
∴当x≤0时，y≥﹣2；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质；能够熟练掌握一次函数的图象及性质，由图象准确获取信息是解题的关键．
4．（3分）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长．
【解答】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．
5．（3分）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．
【解答】解：A、＝＝7，正确；
B、＝＝2，正确；
C、+＝3+5＝8，正确；
D、，故错误．
故选：D．
【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】由平行四边形的性质得出∠C＝∠A＝70°，由直角三角形的性质可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝70°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了是平行四边形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．
7．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对角线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．
【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；
故选：A．
【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直，四条边都相等．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】先运用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CD的长．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，
则由勾股定理知：AB＝＝＝，
又∵D为AB的中点，
∴CD＝AB＝．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，比较简单．
9．（3分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．36
【分析】图1和图2中的点对应：点A对点O，点B对点M，点D对点N，根据点P运动的路程为x，线段AP的长为y，依次解出AB＝x＝6，即点M的横坐标，AD＝AP＝y＝8，即点N的纵坐标，解出BE＝2，▱ABCD的面积＝AD×BE，可得结论．
【解答】解：在图1中，作BE⊥AD，垂足为E，
在图2中，取M（6，6），N（12，8），
当点P从点A到点B时，对应图2中OM线段，得AB＝x＝6，
当点P从B到D时，对应图2中曲线MN从点M到点N，得AB+BD＝x＝12，解得BD＝6，
当点P到点D时，对应图2中到达点N，得AD＝AP＝y＝8，
在△ABD中，AB＝BD＝6，AD＝8，BE⊥AD，
解得AE＝4，
在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝4，
BE2+AE2＝AB2，
解得BE＝2，
∴▱ABCD的面积＝AD×BE＝8×2＝16，
故选：B．
【点评】本题考查动点的移动距离与函数图象的关系，难点在于确定关键点对应关系：点A对点O，点B对点M，点D对点N，关键是当点P到点D时，图2的N点的纵坐标表示的意义：AD＝AP＝y（点N的纵坐标）．
10．（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：
报名项目个数
0
1
2
3
人数
5
14
a
b
其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ）
A．中位数，众数 B．平均数，方差
C．平均数，众数 D．众数，方差
【分析】平均数的求解是先求和再除以个数，方差由平均数得来，中位数由数据排序得到，众数则反映原数据中最多的数值．
【解答】解：∵共有30名学生报名这3个项目，
把这些数从小到大排列，中位数是第15、16个数的平均数，
则不报的和报1个的就有19人了，
所以中位数不会发生改变，
因为报2个项目和3个项目的一共有11人，
而报1个项目的就有14人，
所以众数也不会发生改变．
故选：A．
【点评】本题考查平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的概念及运算是解题的关键．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 x≥8 ．
【分析】直接利用二次根式的定义得出答案．
【解答】解：要使二次根式有意义，
则x﹣8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
12．（4分）如图，长方体的长、宽、高分别为8、4、5，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为 ．
【分析】做此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内两点之间线段最短，根据勾股定理即可计算．
【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是12和5，
则所走的最短线段是＝13；
第二种情况：把我们看到的右面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是13和4，
所以走的最短线段是＝；
第三种情况：把我们所看到的上面和后面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是9和8，
所以走的最短线段是＝；
三种情况比较而言，第三种情况最短．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两点之间线段最短，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
13．（4分）已知P1（﹣3，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，则y1 ＜ y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】先根据一次函数y＝2x+1中k＝2判断出函数的增减性，再根据﹣3＜2进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中k＝2＞0，
∴此函数是增函数，
∵﹣3＜2，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
14．（4分）菱形的两条对角线长分别为12cm、16cm，则这个菱形的面积为 96 cm2．
【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，计算即可．
【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC＝16cm，BD＝12cm，
根据菱形的面积等于对角线积的一半，
S菱形ABCD＝AC•BD＝96cm2．
故答案为96．
【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的四条边都相等．解题的关键注意菱形面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半．
15．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D的位置如图所示，当k＞0且b＜0时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数y＝kx+b图象上的点为 D ．
【分析】根据一次函数性质解答即可．
【解答】解：∵k＞0且b＜0，
∴图象过一、三、四象限，
∵D点在第二象限，
故答案为：D．
【点评】本题考查了图象上的点的坐标特征，掌握图象过哪些象限是解题的关键．
16．（4分）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为 4 ．
【分析】由正方形的面积公式可得AD2＝10，在Rt△ADH中，由勾股定理可求DH＝1，即可求解．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为10，
∴AD2＝10，
∴DH＝＝＝1，
∵△AHD≌△DGC，
∴AH＝DG＝3，
∴HG＝DG﹣DH＝2，
∴正方形EFGH的面积＝HG2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出DH的长是解题的关键．
17．（4分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的面积为10，且边AB在x轴上．如果将直线y＝﹣x沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么图2中a的值是 7 ，b的值是 2 ．
【分析】找出图1与图2中的对应点：图1中点A对应图2中的点A'，得出OA＝m＝2，图1中点E对应图2中的点E'，得出OE＝m＝5，DE＝n＝b，则AE＝3，图1中点F对应图2中的点F'，得出OF＝m＝10，图1中点B对应图2中的点B'，由OB＝m＝a．a＝OB＝OF﹣BF解得a值；在Rt△DGE可解得b＝DE＝2．
【解答】解：在图1中，过点D，BC作直线与已知直线y＝﹣x平行，交x轴于点E，F，
在图2中，取A'（2，0），E'（5，b），B'（a，b），F'（10，0），
图1中点A对应图2中的点A'，得出OA＝m＝2，
图1中点E对应图2中的点E'，得出OE＝m＝5，DE＝n＝b，则AE＝3，
图1中点F对应图2中的点F'，得出OF＝m＝10，
图1中点B对应图2中的点B'，得出OB＝m＝a，
∵a＝OB＝OF﹣BF，BF＝AE＝3，OF＝10
∴a＝7，
∵▱ABCD的面积为10，AB＝OB﹣OA＝7﹣2＝5，
∴DG＝2，
在Rt△DGE中，∠DEG＝45°，
∴DE＝2，
故答案是：7，2．
【点评】本题考查动直线在几何图形和函数图象上的运用；重点是观察动直线y＝﹣x经过点A、D、B、C（或A、E、B、F）时，在图2中所对应的点A'、E'、B'、F'，难点是确定a，b对应的线段，a＝OB＝OF﹣BF，DE＝n＝b．
三、解答题（本题共18分，每小题6分）
18．（6分）计算：．
【分析】直接化简二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝2×2+3﹣4
＝4+3﹣4
＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
19．（6分）阅读并解答问题
明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：
原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索有几？
译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代5尺为1步）
建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），已知OC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，BE⊥OC于点E，OA＝OB，求秋千绳索（OA或OB）的长度．
请解答下列问题：
（1）直接写出四边形ECDB是哪种特殊的四边形；
（2）求OA的长．
【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得结论；
（2）设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
【解答】解：（1）四边形ECDB是矩形，理由是：
∵OC⊥CD，BD⊥CD，BE⊥OC，
∴∠ECD＝∠CDB＝∠BEC＝90°，
∴四边形ECDB是矩形；
（2）设OA的长为x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4尺
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
由勾股定理得：102+（x﹣5+1）2＝x2，
解得：x＝14.5．
答：秋千绳索（OA或OB）的长度为14.5尺．
【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
20．（6分）下面是小明设计的“在一个矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求作：正方形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
四边形ABEF就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB，
∴ AF ＝ BE ．
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ）（填推理的依据）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（ 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（ 邻边相等的矩形是正方形 ）（填推理的依据）
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）首先证明ABEF是平行四边形，再证明是矩形，再证明是正方形即可．
【解答】（1）解：如图，四边形ABEF即为所求．
（2）证明：∵AF＝AB，BE＝AB，
∴AF＝BE，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（邻边相等的矩形是正方形）
故答案为：AF，BE，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等知识，解题的关键是正确作出点E，点F，属于中考常考题型．
四、解答题（本题共24分，每小题8分）
21．（8分）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，+1与﹣1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，＝＝＝＝．
（1）请你写出3+的有理化因式： 3﹣ ；
（2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）；
（3）已知a＝，b＝，求的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据＝，将a+b，ab的值代入即可求解．
【解答】解：（1）∵（3+）（3+）＝9﹣11＝﹣2，
∴3﹣是3+的有理化因式，
故答案为：3﹣；
（2）
＝
＝
＝1+；
（3）∵a＝＝﹣﹣2，b＝＝2﹣，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣1，
∴
＝
＝
＝
＝4．
【点评】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
22．（8分）北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台．求：
（1）若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台？
（2）若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元？
【分析】（1）设出未知数，分别表示出北京、上海运往汉口、重庆的计算机台数，列出方程即可解决问题；
（2）结合（1），求出总运费y关于x的函数关系式，列出不等式即可解决问题；
（3）根据一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设上海运往汉口x台，则：
北京运往汉口6﹣x（台），北京运往重庆4+x（台），上海运往重庆4﹣x（台），
由题意得：300x+500（4﹣x）+400（6﹣x）+800（4+x）＝8400，
解得：x＝4（台）．
（2）设上海运往汉口x台，
由（1）知：总费用y＝300x+500（4﹣x）+400（6﹣x）+800（4+x）
＝200x+7600；
∵y≤8200，即200x+7600≤8200，
∴x≤3，而x≥0，
∴x＝0或1或2或3，
即共有4种调运方案．
（3）∵y＝200x+7600，k＝200＞0，
∴y随x的增大而增大，
故当x＝0时y取最小值，
此时y＝7600．
【点评】该命题主要考查了一次函数在解决现实生活中调运问题方面的应用问题；解题的关键是准确把握题意，找准命题中隐含的数量关系，列出函数或方程来分析、判断或解答．
23．（8分）某中学为了解学生参加户外活动的情况，随机调在了该校部分学生每周参加户外活动的时间，并用得到的数据绘制了如下统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共 50 人，并补全条形统计图；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数众数和中位数；
（3）若该校共有1500名学生，估计该校参加户外活动时间超过3h的学生人数．
【分析】（1）根据参加户外活动2小时的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数；用总人数乘32%即可得出外活动时间为3小时的学生人数，再补全条形统计图即可；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出平均数，写出相应的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校户外活动时间超过3小时的学生人数．
【解答】解：（1）本次接受调查的学生人数为：4÷8%＝50（人），
50×32%＝16（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）平均数是：＝3.96（小时），
众数是3小时，中位数是4小时，
即本次调查获取的样本数据的平均数是3.96小时、众数是3小时、中位数是4小时；
（3）1500×＝900（人），
即估计该校户外活动时间超过3小时的学生有900人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
五、解答题（本题共20分，每小题10分）
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由；
（3）在运动过程中，四边形BEDF能否为正方形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由已知条件可得Rt△CDF中∠C＝30°，即可知DF＝CD＝AE＝2t；
（2）由（1）知DF∥AE且DF＝AE，即四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD＝AE，可得关于t的方程，求解即可知；
（3）四边形BEDF不为正方形，若该四边形是正方形即∠EDF＝90°，即DE∥AB，此时AD＝2AE＝4t，根据AD+CD＝AC求得t的值，继而可得DF≠BF，可得答案．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝30°．
又∵在Rt△CDF中，∠C＝30°，CD＝4t
∴DF＝CD＝2t，
∴DF＝AE；
（2）∵DF∥AB，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t＝2t，解得：t＝10，
即当t＝10时，四边形AEFD是菱形；
（3）四边形BEDF不能为正方形，理由如下：
当∠EDF＝90°时，DE∥BC．
∴∠ADE＝∠C＝30°
∴AD＝2AE
∵CD＝4t，
∴DF＝2t＝AE，
∴AD＝4t，
∴4t+4t＝60，
∴t＝时，∠EDF＝90°
但BF≠DF，
∴四边形BEDF不可能为正方形．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定是解题的关键．
25．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l1：y＝x+1与y轴交于点C，设直线l与直线l1的交点为E
（1）如图1，若点E的横坐标为2，求点A的坐标；
（2）在（1）的前提下，D（a，0）为x轴上的一点，过点D作x轴的垂线，分别交直线l与直线l1于点M、N，若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求a的值；
（3）如图2，设直线l与直线l2：y＝﹣x﹣3的交点为F，问是否存在点B，使BE＝BF，若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点E的横坐标结合一次函数图象上点的坐标特征即可找出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出直线l的解析式，令y＝0求出x的值，即可得出点A的坐标；
（2）根据点D的横坐标为a利用一次函数图象上点的坐标特征即可找出点M、N的坐标，从而得出线段MN的长度，分别令直线l、l1的解析式中x＝0求出点B、C的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）假设存在，联立直线l、l1的解析式成方程组，解方程组求出点E的坐标，联立直线l、l2的解析式成方程组，解方程组求出点F的坐标，结合BE＝BF即可得出关于b的一元一次方程，解方程求出b值，此题得解．
【解答】解：（1）∵点E在直线l1上，且点E的横坐标为2，
∴点E的坐标为（2，2），
∵点E在直线l上，
∴2＝﹣×2+b，解得：b＝3，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，有﹣x+3＝0，
解得：x＝6，
∴点A的坐标为（6，0）．
（2）依照题意画出图形，如图3所示．
当x＝a时，yM＝3﹣a，yN＝1+a，
∴MN＝|1+a﹣（3﹣a）|＝|a﹣2|．
当x＝0时，yB＝3，yC＝1，
∴BC＝3﹣1＝2．
∵BC∥MN，
∴当MN＝BC＝2时，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
此时|a﹣2|＝2，
解得：a＝4或a＝0（舍去）．
∴当以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，a的值为4．
（3）假设存在．
联立直线l、l1的解析式成方程组，
解得：，
∴点E的坐标为（b﹣1，）；
联立直线l、l2的解析式成方程组，
解得：，
∴点F的坐标为（18+6b，﹣9﹣2b）．
∵BE＝BF，且E、F均在直线l上，
∴b﹣1＝﹣18﹣6b，解得：b＝﹣，
此时直线l的解析式为y＝﹣x﹣．
故存在点B，使BE＝BF，此时直线l的解析式为y＝﹣x﹣．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
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