四川省广安市邻水县2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)

这是一份四川省广安市邻水县2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践应用题，推理论证题，拓展探索题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省广安市邻水县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上）
1．（3分）使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x≠2 C．x≥2 D．x＜2
2．（3分）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）一个直角三角形的两条边的长分别为8，10，则第三条边的长为（　　）
A．6 B．12 C． D．6或
4．（3分）菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（3分）某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为95分、92分、80分．若依次按照40%，25%，35%的百分比确定成绩，则该选手的最终成绩是（　　）
A．88分 B．89分 C．90分 D．91分
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）在△ABC中，BC2﹣AC2＝AB2．若∠B＝25°，则∠C＝（　　）
A．20° B．35° C．65° D．75°
8．（3分）下列关于一次函数y＝﹣x+1的说法中，错误的是（　　）
A．其图象经过第一、二、四象限
B．其图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）
C．当x＞0时，y＜1
D．y随x的增大而减小
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，BF∥AC，CF∥BD．若四边形BECF的面积为2，则矩形ABCD的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．16
10．（3分）清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法错误的是（　　）

A．爸爸的爬山速度为3km/后
B．1.5小时的时候爸爸与小明的距离为0.5km
C．山脚到山顶的总路程为6km
D．小明最后一段速度为3km/h
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将最简答案填写在答题卡相应位置）
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）疫情期间居家学习，双胞胎姐妹小兰和小丽积极进行体育锻炼，增强体质．她们进行1分钟跳绳比赛，每人5次跳绳成绩的平均数都是105个，方差分别是s小兰2＝1.6，s小丽2＝2.2，则这5次跳绳成绩更稳定的是 　 　．（填“小兰”或“小丽”）
13．（3分）将直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，平移后所得直线的解析式为 　 　．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，∠D+∠B＝220°，AE平分∠DAB交CD于点E，则∠DEA的度数为 　 　．

15．（3分）如图所示，一棵9m高的树被风刮断了，树顶落在离树根6m处，则折断处的高度AB为 　 　．

16．（3分）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　．

三、解答题（本大题共4小题。第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）如图，已知AD是Rt△ABC的斜边BC上的中线，分别过点A，B作BC，AD的平行线，两直线交于点E．求证：四边形ADBE是菱形．

19．（6分）如图，4×4方格纸上每个小正方形的边长都为1．
（1）在方格纸上画一个面积为8的正方形（四个顶点都在格点上）；
（2）用圆规在数轴上找出表示的点（保留作图痕迹）．

20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1：y1＝kx+b与直线l2：y2＝2x相交于点B（m，4）．
（1）求直线l1的函数解析式；
（2）利用函数图象直接写出当y2≤y1时，x的取值范围为 　 　．

四、实践应用题（本大题共4小题。第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．（6分）某中学在校园一角开辟了一块四边形的试验田，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到试验田实际操练．如图，四边形ABCD是规划好的试验田，经过测量得知：∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m．求试验田ABCD的面积．

22．（8分）在解决问题“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2．
∴a2﹣2a＝1．
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
若a＝，求2a2﹣12a+1的值．
23．（8分）在学校举办的“读书月”活动中，八年级（3）班的小红调查了班级里所有同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）这次调查获取的样本数据的众数为 　 　元，中位数为 　 　元；
（2）计算这次调查获取的样本数据的平均数；
（3）若该校八年级共有学生200人，根据调查数据，估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了多少元？

24．（8分）为了更好地运用信息技术辅助教学，某校计划购买A，B两种型号的笔记本电脑共11台．已知A型笔记本电脑每台4500元，B型笔记本电脑每台5500元．设购买A型笔记本电脑x台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若购买B型笔记本电脑的数量大于A型笔记本电脑的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，在▱ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA＝∠ACD，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：四边形ACBE是矩形；
（2）连接OD，若AB＝4，∠ACD＝60°，求OD的长．

六、拓展探索题（10分）
26．（10分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长；
（3）如图2，在AB上取一点H，且BH＝CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．


2021-2022学年四川省广安市邻水县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上）
1．（3分）使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x≠2 C．x≥2 D．x＜2
【分析】根据二次根式的性质和，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：4﹣2x≥0，
解得：x≤2．
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．（3分）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式判断即可．
【解答】解：A选项，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B选项，2与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
C选项，2与是同类二次根式，故该选项符合题意；
D选项，2与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
3．（3分）一个直角三角形的两条边的长分别为8，10，则第三条边的长为（　　）
A．6 B．12 C． D．6或
【分析】分长为10的边是直角边和斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：当长为10的边是直角边时，由勾股定理得：第三边长＝＝2，
当长为10的边是斜边时，由勾股定理得：第三边长＝＝6，
综上所述，第三条边的长为6或2，
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
4．（3分）菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝8，AC⊥BD，则∠AOB＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵菱形ABCD的周长为32，
∴AB＝8，
∵E为AB边中点，
∴OE＝AB＝4．
故选：A．

【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，解答本题的关键掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．
5．（3分）某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为95分、92分、80分．若依次按照40%，25%，35%的百分比确定成绩，则该选手的最终成绩是（　　）
A．88分 B．89分 C．90分 D．91分
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
95×40%+92×25%+80×35%＝89（分），
故选：B．
【点评】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的定义及计算方法．
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的运算法则，逐项判断．
【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意；
3﹣＝2，，故B错误，不符合题意；
×＝＝3，故C正确，符合题意；
÷＝，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
7．（3分）在△ABC中，BC2﹣AC2＝AB2．若∠B＝25°，则∠C＝（　　）
A．20° B．35° C．65° D．75°
【分析】先根据勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，从而可得∠A＝90°，然后再利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【解答】解：∵BC2﹣AC2＝AB2，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠A＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．（3分）下列关于一次函数y＝﹣x+1的说法中，错误的是（　　）
A．其图象经过第一、二、四象限
B．其图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）
C．当x＞0时，y＜1
D．y随x的增大而减小
【分析】根据函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
【解答】解：A．∵k＝﹣1＜0，b＝1＞0，
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过第一、二、四象限，
∴选项A正确，不符合题意；
B．当y＝0时，求得x＝1，
∴一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴的交点坐标是（1，0），
∴选项B错误，符合题意．
C．当x＝0时，y＝1，
∴当x＞0时，y＜1，
∴选项C正确，不符合题意；
D．∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，BF∥AC，CF∥BD．若四边形BECF的面积为2，则矩形ABCD的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．16
【分析】根据平行四边形的判定得出四边形BECF是平行四边形，进而利用平行四边形的性质和矩形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BE＝ED，∠BCD＝90°，
∴S矩形ABCD＝4S△BEC，
∵BF∥AC，CF∥BD，
∴四边形BECF是平行四边形，
∴S▱BECF＝2S△BEC，
∵四边形BECF面积为2，
∴矩形ABCD的面积＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
10．（3分）清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法错误的是（　　）

A．爸爸的爬山速度为3km/后
B．1.5小时的时候爸爸与小明的距离为0.5km
C．山脚到山顶的总路程为6km
D．小明最后一段速度为3km/h
【分析】由图象可直接判断A正确；小明累了之后减速继续爬山，此时速度是2km/h，可得1.5小时的时候，小明爬山的路程4km，爸爸爬山的路程为4.5km，可判断B正确；爸爸用2个小时爬上了山顶，可判断C正确；小明最后一段速度为（6﹣4）÷（2﹣1.5）＝（km/h），可判断D错误；即可得到答案．
【解答】解：A、由图象可知，爸爸的爬山速度为3km/h，故A正确，不符合题意；
B、小明累了之后减速继续爬山，此时速度是（3﹣2）÷（1﹣0.5）＝2km/h，
∴1.5小时的时候，小明爬山的路程为：2+2×（1.5﹣0.5）＝4（km），
1.5小时的时候，爸爸爬山的路程为：3×1.5＝4.5（km），
∴1.5小时的时候，爸爸与小明的距离是4.5﹣4＝0.5（km），故B正确，不符合题意；
C、爸爸的爬山速度为3km/h，爸爸用2个小时爬上了山顶，
∴山脚到山顶的总路程为6km，故C正确，不符合题意；
D、小明最后一段速度为（6﹣4）÷（2﹣1.5）＝（km/h），故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确识图．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将最简答案填写在答题卡相应位置）
11．（3分）计算：＝　　．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：＝|﹣|＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．
12．（3分）疫情期间居家学习，双胞胎姐妹小兰和小丽积极进行体育锻炼，增强体质．她们进行1分钟跳绳比赛，每人5次跳绳成绩的平均数都是105个，方差分别是s小兰2＝1.6，s小丽2＝2.2，则这5次跳绳成绩更稳定的是 　小兰　．（填“小兰”或“小丽”）
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵s小兰2＝1.6，s小丽2＝2.2，
∴s小兰2＜s小丽2，
∴这5次跳绳成绩更稳定的是小兰，
故答案为：小兰．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13．（3分）将直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，平移后所得直线的解析式为 　y＝2x+3　．
【分析】直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，所得直线解析式是：y＝2x﹣1+4，即y＝2x+3，
故答案为：y＝2x+3．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，∠D+∠B＝220°，AE平分∠DAB交CD于点E，则∠DEA的度数为 　35°　．

【分析】根据平行四边形的对角相等知：∠D＝∠B＝100°，然后由平行线的性质和角平分线的性质解答．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠D+∠B＝220°，
∴∠D＝∠B＝110°．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3．
又∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠3．
∴∠1＝∠2＝＝35°．
故答案为：35°．

【点评】本题考查平行四边形的性质．平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
15．（3分）如图所示，一棵9m高的树被风刮断了，树顶落在离树根6m处，则折断处的高度AB为 　2.5米　．

【分析】根据勾股定理即可求得树折断之前的高度．
【解答】解：如图：∵BC＝6米，AC+AB＝9米，∠B＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
设AB＝x米，则AC＝（9﹣x）米，
即x2+62＝（9﹣x）2，
解得：x＝2.5，
∴AB＝2.5米，
∴折断处的高度AB为2.5米．
故答案为：2.5米．

【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用．
16．（3分）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　　．

【分析】方法1、延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．
方法2、先造成△AHP≌△EGP，进而求出DH，DG，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：方法1、延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH＝OA＝（3﹣1）＝1．
∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，
同理△PHE中，HE＝PH＝1．
∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．
∴在Rt△PHG中，PG＝＝＝．
故答案是：．

方法2、如图1，

延长DA，GP相交于H，
∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，
∴EG∥BC∥AD，
∴∠H＝∠PGE，∠HAP＝∠GEP，
∵点P是AE的中点，
∴AP＝EP，
∴△AHP≌△EGP，
∴AH＝EG＝1，PG＝PH＝HG，
∴DH＝AD+AH＝4，DG＝CD﹣CG＝2，
根据勾股定理得，HG＝＝2，
∴PG＝，
故答案为．

【点评】本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
三、解答题（本大题共4小题。第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：．
【分析】先算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
【解答】解：
＝2﹣+3﹣2
＝2﹣2+3﹣2
＝3﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（6分）如图，已知AD是Rt△ABC的斜边BC上的中线，分别过点A，B作BC，AD的平行线，两直线交于点E．求证：四边形ADBE是菱形．

【分析】先证四边形ADBE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得AD＝BC＝BD，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵AD∥BE，AE∥BD，
∴四边形ADBE是平行四边形．
∵AD是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴AD＝BC＝BD，
∴平行四边形ADBE是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
19．（6分）如图，4×4方格纸上每个小正方形的边长都为1．
（1）在方格纸上画一个面积为8的正方形（四个顶点都在格点上）；
（2）用圆规在数轴上找出表示的点（保留作图痕迹）．

【分析】（1）根据勾股定理、正方形的面积公式作图；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）如图所示，正方形ABCD的边长为：＝2，
∴正方形ABCD的面积为：（2）2＝8，
则正方形ABCD即为所求；
（2）图中得E是表示的点．

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1：y1＝kx+b与直线l2：y2＝2x相交于点B（m，4）．
（1）求直线l1的函数解析式；
（2）利用函数图象直接写出当y2≤y1时，x的取值范围为 　x≤2　．

【分析】（1）将B（m，4）代入y＝2x可得m＝2，B（2，4），再用待定系数法即可得直线l1的表达式为y1＝x+3；
（2）根据图形即可求得．
【解答】解：（1）将B（m，4）代入y2＝2x得：4＝2m，
解得m＝2，
∴B（2，4），
设直线l1的表达式为y1＝kx+b，将（﹣6，0）、（2，4）代入得：，
解得．
∴直线l1的表达式为y1＝x+3；
（2）观察图象，当x≤2时，y2≤y1，
∴若y2≤y1，x的取值范围为x≤2．
故答案为：x≤2．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
四、实践应用题（本大题共4小题。第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．（6分）某中学在校园一角开辟了一块四边形的试验田，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到试验田实际操练．如图，四边形ABCD是规划好的试验田，经过测量得知：∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m．求试验田ABCD的面积．

【分析】连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【解答】解：连接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，
又∵AC＞0，
∴AC＝5，
又∵BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，
又∵AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝30﹣6＝24m2．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
22．（8分）在解决问题“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2．
∴a2﹣2a＝1．
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
若a＝，求2a2﹣12a+1的值．
【分析】先利用分母有理化化简a，再利用完全平方公式求出a2﹣6a的值，最后整体代入．
【解答】解：∵a＝
＝
＝
＝3+．
∴．
∴（a﹣3）2＝7．
即a2﹣6a+9＝7．
∴a2﹣6a＝﹣2．
∴2a2﹣12a＝﹣4．
∴2a2﹣12a+1
＝﹣4+1
＝﹣3．
即2a2﹣12a+1的值为﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的化简，理解题例并应用题例是解决本题的关键．
23．（8分）在学校举办的“读书月”活动中，八年级（3）班的小红调查了班级里所有同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）这次调查获取的样本数据的众数为 　30　元，中位数为 　40　元；
（2）计算这次调查获取的样本数据的平均数；
（3）若该校八年级共有学生200人，根据调查数据，估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了多少元？

【分析】（1）众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断；
（2）根据题意由平均数公式列出算式，求出即可；
（3）利用200乘该校八年级学生本学期购买课外书的平均数48元的即可求解．
【解答】解：（1）众数是：30元，中位数是：（30+50）÷2＝40（元）．
故答案为：30，40；
（2）平均数为：×（6×20+14×30+10×50+6×80+4×100）＝48（元）．
故这次调查获取的样本数据的平均数为48元；
（3）200×48＝9600（元）．
故该校八年级学生本学期购买课外书共花费了9600元．
【点评】此题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24．（8分）为了更好地运用信息技术辅助教学，某校计划购买A，B两种型号的笔记本电脑共11台．已知A型笔记本电脑每台4500元，B型笔记本电脑每台5500元．设购买A型笔记本电脑x台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若购买B型笔记本电脑的数量大于A型笔记本电脑的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

【分析】（1）根据题意，可以写出y关于x的函数表达式；
（2）根据购买B型电脑的数量大于A型电脑的数量，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）由题意，得：y＝4500x+5500（11﹣x）＝﹣1000x+60500，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣1000x+60500；
（2）由题意，得：x＜11﹣x，
解得x＜5.5，
由y＝﹣1000x+60500，
∵﹣1000＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x＜5.5且x为整数，
∴当x＝5时，y有最小值，y最小＝﹣1000×5+60500＝55500，
此时11﹣x＝11﹣5＝6（台），
答：购买A型电脑5台，B型电脑6台，费用最省，所需费用为55500元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，在▱ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA＝∠ACD，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：四边形ACBE是矩形；
（2）连接OD，若AB＝4，∠ACD＝60°，求OD的长．

【分析】（1）根据有一个角的直角的平行四边形是矩形可得结论；
（2）先证明△AOC是等边三角形，可得∠OAC＝60°，再证明∠EAO＝30°，由含30°角的性质可得OF，AF的长，最后由勾股定理可计算OD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AC⊥AD，
∴∠EAC＝∠DAC＝90°，
∵∠ECA＝∠ACD，
∴∠AEC＝∠ADC，
∴CE＝CD，
∴AE＝AD＝BC，
∵AE∥BC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠EAC＝90°，
∴四边形ACBE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于F，

由（1）知：四边形ACBE是矩形，
∴对角线AB和CE相等且互相平分，AO＝AB＝2，
∴OA＝OC，
∵∠ACD＝∠ACO＝60°，
∴△AOC是等边三边形，
∴∠OAC＝60°，
∵∠EAC＝90°，
∴∠FAO＝90°﹣60°＝30°，
Rt△AFO中，OF＝AO＝1，AF＝，
Rt△AEB中，AE＝＝2，
∴DF＝AF+AD＝+2＝3，
∴OD＝＝＝2．
【点评】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
六、拓展探索题（10分）
26．（10分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长；
（3）如图2，在AB上取一点H，且BH＝CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；
（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD＝BF＝；然后由CF＝BF﹣BC＝即可求得；
（3）分三种情况分别讨论即可求得．
【解答】（1）证明：如图1，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）证明：如图1，
∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBC＝∠DBC＝22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC＝∠FDC＝22.5°（全等三角形的对应角相等）；
∴∠BGD＝90°（三角形内角和定理），
∴∠BGF＝90°；
在△DBG和△FBG中，
，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD＝BF，DG＝FG（全等三角形的对应边相等），
∵BD＝＝，
∴BF＝，
∴CF＝BF﹣BC＝﹣1；
（3）解：如图2，∵CF＝﹣1，BH＝CF
∴BH＝﹣1，
①当BH＝BP时，则BP＝﹣1，
∵∠PBC＝45°，
设P（x，x），
∴2x2＝（﹣1）2，
解得x＝1﹣或﹣1+，
∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；
②当BH＝HP时，则HP＝PB＝﹣1，
∵∠ABD＝45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（﹣1，﹣1）；
③当PH＝PB时，∵∠ABD＝45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（，），
综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）或（﹣1，﹣1）或（，）．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．