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辽宁省沈阳市皇姑区2021-2022学年七年级下学期期末教学质量检测数学试卷(word版含答案)
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这是一份辽宁省沈阳市皇姑区2021-2022学年七年级下学期期末教学质量检测数学试卷(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
辽宁省沈阳市皇姑区2021-2022学年七年级下学期期末教学
质量检测数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1．（2分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）新冠病毒给世界各国带来了极大的灾难，中国在抗击新冠病毒疫情中发挥了重要作用．新冠病毒的整体尺寸大约为0.000000052m，用科学记数法表示0.000000052为（ ）
A．52×10﹣9 B．5.2×10﹣8 C．52×10﹣8 D．5.2×10﹣9
3．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
4．（2分）有4张正面分别写有数1、3、4、6的卡片，除正面外完全相同．将卡片的背面朝上并洗匀，从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2分）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）
A．∠1与∠4是同位角 B．∠2与∠3是内错角
C．∠3与∠4是同旁内角 D．∠2与∠4是同旁内角
6．（2分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．140°
7．（2分）三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．（2分）一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm
9．（2分）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
10．（2分）如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝6，OB＝2，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）等腰三角形的一边长是12cm，另一边长是6cm，则它的周长是 cm．
12．（3分）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y＝x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是 ℉．
13．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上，这时测得 的长就等于AB的长．
14．（3分）如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，它们交于点O．若△ABD的面积是6cm2，则△ACF的面积是 cm2．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB、BC于点E、F；再分别以E、F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交AC边于点G．若△ABG的面积是6cm2，则△BCG的面积为 cm2．
16．（3分）若三角形满足一个角α是另一个角β的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中α称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是 度．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）简算：．
18．（8分）计算：（）﹣2+（3.14﹣π）0﹣|﹣2|．
19．（8分）先化简，再求值：[（3x﹣2y）2﹣（x﹣y）（9x+2y）]÷（﹣y），其中x＝1，y＝﹣2．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整．
如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠ABF＝∠1（对顶角相等）
∠BFG＝∠2（ ）
∴∠ABF＝ （等量代换），
∵BE平分∠ABF（已知），
∴∠EBF＝ （ ）．
∵FC平分∠BFG（已知），
∴∠CFB＝ （ ）．
∴∠EBF＝ ，
∴BE∥CF（ ）．
21．（8分）手机微信抢红包有多种玩法，其中一种为“拼手气红包”，用户设定好总金额以及红包个数后，可以随机生成不等金额的红包．现有一用户发了四个“拼手气红包”，随机被甲、乙、丙、丁四人抢到．
（1）以下说法正确是 （直接填空），
A．甲抢到的红包金额一定最多
B．乙抢到的红包金额一定最多
C．丙抢到的红包金额一定最多
D．丁不一定抢到金额最少的红包
（2）若这四个“拼手气红包”金额分别为35元、33元、20元、12元，则甲抢到红包的金额超过30元的概率是多少？
五、（本题10分）
22．（10分）按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整．
如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D．若∠CAD：∠BAD＝4：7，求∠B的度数．
解：设∠CAD＝4x，
∵∠CAD：∠BAD＝4：7（已知），
∴∠BAD＝7x．
∴ ＝∠BAD+∠CAD＝11x．
∵DE是AB的垂直平分线（已知）．
∴DB＝ （ ）．
∴△ABD是等腰三角形．
∴ ＝∠BAD＝7x（ ）．
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°（已知），
∴∠B+∠BAC＝90°（ ），
∴ + ＝90°．
∴x＝ ．
∴∠B＝ ．
六、（本题10分）
23．（10分）一艘货船在甲、乙两港之间承接往返运输任务．某日货船从甲港顺流出发，途经丙港并不做停留，抵达乙港停留一段时间后逆流返航．货船在行驶过程中保持自身船速（即船在静水中的速度）不变，已知水流速度为8千米/时，如图记录了当日这艘货船出发后与乙港的距离y（千米）随时间t（小时）的变化的图象．图象上的点A表示货船当日顺流航行到达丙港．
（1）根据图象回答下列问题：
货船在乙港停留的时间为 小时，货船在静水中的速度为 千米/时；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）货船当日顺流航行至丙港时，船上一救生圈不慎落入水中随水漂流，该货船能否在返航的途中找到救生圈？若能，请求出救生圈在水中漂流的时间；若不能，请说明理由．
七、（本题12分）
24．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，动点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）秒．
（知识储备：一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
（1）当t＝5时，求证：△PAC是直角三角形．
（2）如图②，若另一动点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由点C向点A运动，且与点P同时出发，点Q到达终点A时点P也随之停止运动．当△PAQ是直角三角形时，直接写出t的值．
（3）如图③，若另一动点Q从点C出发，以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，且与点P同时出发．当点P到达终点B时点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．在运动过程中，线段DE的长度是否发生变化？若不变，直接写出DE的长度；若变化，说明如何变化．
八、（本题12分）
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D是直线BC上一点，过点A作∠DAE＝90°（使点D，A，E按顺时针的顺序排列），且AE＝AD，连接CE，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F．
（1）如图，当点D在线段BC上时，求证：CE＝BD．
（2）当点D在直线BC上时，直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系．
辽宁省沈阳市皇姑区2021-2022学年七年级下学期期末教学
质量检测数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1．（2分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（2分）新冠病毒给世界各国带来了极大的灾难，中国在抗击新冠病毒疫情中发挥了重要作用．新冠病毒的整体尺寸大约为0.000000052m，用科学记数法表示0.000000052为（ ）
A．52×10﹣9 B．5.2×10﹣8 C．52×10﹣8 D．5.2×10﹣9
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000052＝5.2×10﹣8．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
【分析】逐项进行判断，得出答案即可．
【解答】解：“买l张彩票就中奖”的可能性很小，但有可能，因此选项A不符合题意；
概率再小，有可能发生，是可能事件，因此选项B不符合题意；
任意一个三角形的内角和都是180°，因此选项C是正确的，
任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，可能是其它情况，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】考查随机事件、不可能事件，必然事件的意义，理解随机事件、必然事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．
4．（2分）有4张正面分别写有数1、3、4、6的卡片，除正面外完全相同．将卡片的背面朝上并洗匀，从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：共有4种情况，且每一种情况出现的可能性是均等的，而奇数的有2种，
所以从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查概率公式，理解概率的定义是正确解答的前提．
5．（2分）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）
A．∠1与∠4是同位角 B．∠2与∠3是内错角
C．∠3与∠4是同旁内角 D．∠2与∠4是同旁内角
【分析】利用同位角、内错角、同旁内角的定义判定即可．
【解答】解：A、∠1与∠4是同位角，故A选项正确；
B、∠2与∠3是内错角，故B选项正确；
C、∠3与∠4是同旁内角，故C选项正确；
D、∠2与∠4不是同旁内角，故D选项错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键熟记同位角、内错角、同旁内角的特征．
6．（2分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．140°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答．
【解答】解：∵DB⊥BC，∠2＝50°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣50°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝40°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
7．（2分）三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
【解答】解：∵三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，
∴此三角形是直角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的高，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
8．（2分）一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm
【分析】根据三角形的三边关系可得第三边的范围，再根据第三边的范围确定答案．
【解答】解：设第三边长为xcm，由三角形的三边关系可得：
5﹣4＜x＜5+4，
即1＜x＜9，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
9．（2分）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN＝BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC＝AC，求出BC的长为多少即可．
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC＝7（cm），
∴AN+NC+BC＝7（cm），
∵AN+NC＝AC，
∴AC+BC＝7（cm），
又∵AC＝4cm，
∴BC＝7﹣4＝3（cm）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
10．（2分）如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝6，OB＝2，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】证明△AOB≌△COD推出OA＝OC＝4，OB＝OD即可解决问题．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOB＝∠COD，
∵∠A＝∠C，CD＝AB，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OA＝OC，OB＝OD＝2，
∵AD＝6，
∴OA＝AD﹣OD＝6﹣2＝4，
∴OC＝OA＝4．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，是中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）等腰三角形的一边长是12cm，另一边长是6cm，则它的周长是 30 cm．
【分析】本题应分为两种情况6cm为底或12cm为底，还要注意是否符合三角形三边关系．
【解答】解：∵等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为12cm，
∴有两种情况：①12cm为底，6cm为腰，而6+6＝12，那么应舍去；
②6cm为底，12cm为腰，那么12+12+6＝30（cm）；
∴该三角形的周长是30cm．
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．
12．（3分）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y＝x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是 77 ℉．
【分析】把x的值代入函数关系式计算求出y值即可．
【解答】解：当x＝25°时，
y＝×25+32
＝77，
故答案为：77．
【点评】本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键．
13．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上，这时测得 DE 的长就等于AB的长．
【分析】由对顶角相等，两个直角相等及BD＝CD，可以判断两个三角形全等；所以AB＝DE．
【解答】解：根据题意可知：
∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，
即
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE．
故答案为：DE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法．
14．（3分）如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，它们交于点O．若△ABD的面积是6cm2，则△ACF的面积是 6 cm2．
【分析】三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得△ABC的面积，再求△ACF的面积即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ADC＝6，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝12，
∵CF是△ABC的中线，
∴＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB、BC于点E、F；再分别以E、F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交AC边于点G．若△ABG的面积是6cm2，则△BCG的面积为 12 cm2．
【分析】利用基本作图得到BG平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点G到BC的距离等于点G到AB的距离，所以S△BGC：S△BGA＝BC：BA，再利用含30度的直角三角形三边的关系得BC＝2BA，所以S△BGC＝2S△BGA．
【解答】解：由作法得BG平分∠ABC，
∴点G到BC的距离等于点G到AB的距离，
∴S△BGC：S△BGA＝BC：BA，
∵∠A＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝30°，
∴BC＝2BA，
∴S△BGC：S△BGA＝2：1，
∴S△BGC＝2S△BGA＝2×6＝12（cm2）．
故答案为：12．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和含30度角的直角三角形三边的关系．
16．（3分）若三角形满足一个角α是另一个角β的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中α称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是 60或90 度．
【分析】根据“智慧三角形”及“智慧角”的意义，列方程求解即可．
【解答】解：在有一个角为60°的三角形中，
①当另两个角分别是100°、20°时，“智慧角”是60°；
②α+β＝120°且α＝3β，
∴α＝90°．，
即“智慧角”是90°．
故答案为：60或90．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和，掌握“三角形的内角和是180°”和“智慧三角形”、“智慧角”是解决本题的关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）简算：．
【分析】根据平方差公式进行简便计算．
【解答】解：．
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
18．（8分）计算：（）﹣2+（3.14﹣π）0﹣|﹣2|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝4+1﹣2
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
19．（8分）先化简，再求值：[（3x﹣2y）2﹣（x﹣y）（9x+2y）]÷（﹣y），其中x＝1，y＝﹣2．
【分析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：[（3x﹣2y）2﹣（x﹣y）（9x+2y）]÷（﹣y）
＝（9x2﹣12xy+4y2﹣9x2﹣2xy+9xy+2y2）÷（﹣y）
＝（﹣5xy+6y2）÷（﹣y）
＝10x﹣12y，
当x＝1，y＝﹣2时，原式＝10×1﹣12×（﹣2）＝34．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整．
如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠ABF＝∠1（对顶角相等）
∠BFG＝∠2（ 对顶角相等 ）
∴∠ABF＝ ∠BFG （等量代换），
∵BE平分∠ABF（已知），
∴∠EBF＝ ∠ABF （ 角平分线的定义 ）．
∵FC平分∠BFG（已知），
∴∠CFB＝ ∠BFG （ 角平分线的定义 ）．
∴∠EBF＝ ∠CFB ，
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据对顶角相等、角平分线定义求出∠EBF＝∠BFC，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠ABF＝∠1（对顶角相等），
∠BFG＝∠2（对顶角相等），
∴∠ABF＝∠BFG（等量代换），
∵BE平分∠ABF（已知），
∴∠EBF＝∠ABF（角平分线的定义），
∵FC平分∠BFG（已知），
∴∠CFB＝∠BFG（角平分线的定义），
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
21．（8分）手机微信抢红包有多种玩法，其中一种为“拼手气红包”，用户设定好总金额以及红包个数后，可以随机生成不等金额的红包．现有一用户发了四个“拼手气红包”，随机被甲、乙、丙、丁四人抢到．
（1）以下说法正确是 D （直接填空），
A．甲抢到的红包金额一定最多
B．乙抢到的红包金额一定最多
C．丙抢到的红包金额一定最多
D．丁不一定抢到金额最少的红包
（2）若这四个“拼手气红包”金额分别为35元、33元、20元、12元，则甲抢到红包的金额超过30元的概率是多少？
【分析】（1）根据随机事件的定义逐项进行判断即可；
（2）一共有4种可能出现的结果，其中红包金额超过30元的有2种，根据概率的定义可求出答案．
【解答】解：（1）A．甲抢到的红包金额不一定最多，因此选项A不符合题意；
B．乙抢到的红包金额不一定最多，因此选项B不符合题意；
C．丙抢到的红包金额不一定最多，因此选项C不符合题意；
D．丁不一定抢到金额最少的红包是正确的，因此选项D符合题意；
故答案为：D；
（2）一共有4种可能出现的结果，其中红包金额超过30元的有2种，
所以甲抢到红包的金额超过30元的概率是＝．
【点评】本题考查概率公式，随机事件、不可能事件、必然事件，理解随机事件、不可能事件、必然事件的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提．
五、（本题10分）
22．（10分）按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整．
如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D．若∠CAD：∠BAD＝4：7，求∠B的度数．
解：设∠CAD＝4x，
∵∠CAD：∠BAD＝4：7（已知），
∴∠BAD＝7x．
∴ ∠BAC ＝∠BAD+∠CAD＝11x．
∵DE是AB的垂直平分线（已知）．
∴DB＝ AD （ 线段垂直平分线的性质 ）．
∴△ABD是等腰三角形．
∴ ∠B ＝∠BAD＝7x（ 等腰三角形的性质 ）．
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°（已知），
∴∠B+∠BAC＝90°（ 直角三角形的性质 ），
∴ ∠BAD + ∠BAC ＝90°．
∴x＝ 5° ．
∴∠B＝ 35° ．
【分析】由∠CAD：∠BAD＝4：7，可设∠CAD＝4x，∠BAD＝7x，继而可得方程4x+7x+7x＝90，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设∠CAD＝4x，
∵∠CAD：∠BAD＝4：7（已知），
∴∠BAD＝7x．
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝11x．
∵DE是AB的垂直平分线（已知）．
∴DB＝AD（线段垂直平分线的性质）．
∴△ABD是等腰三角形．
∴∠B＝∠BAD＝7x（等腰三角形的性质）．
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°（已知），
∴∠B+∠BAC＝90°（直角三角形的性质），
∴∠BAD+∠BAC＝90°．
∴x＝5°．
∴∠B＝35°，
故答案为：∠BAC，AD，线段垂直平分线的性质，∠B，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，∠BAD，∠BAC，5°，35°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
六、（本题10分）
23．（10分）一艘货船在甲、乙两港之间承接往返运输任务．某日货船从甲港顺流出发，途经丙港并不做停留，抵达乙港停留一段时间后逆流返航．货船在行驶过程中保持自身船速（即船在静水中的速度）不变，已知水流速度为8千米/时，如图记录了当日这艘货船出发后与乙港的距离y（千米）随时间t（小时）的变化的图象．图象上的点A表示货船当日顺流航行到达丙港．
（1）根据图象回答下列问题：
货船在乙港停留的时间为 1 小时，货船在静水中的速度为 24 千米/时；
（2）m＝ 8 ，n＝ 10 ；
（3）货船当日顺流航行至丙港时，船上一救生圈不慎落入水中随水漂流，该货船能否在返航的途中找到救生圈？若能，请求出救生圈在水中漂流的时间；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到货船在乙港停留的时间，然后根据顺流3小时航行96千米和水流速度为8千米/小时，即可计算出货船在静水中的速度；
（2）根据（1）值的结果和图象中的数据，可以计算出m、n的值；
（3）先判断，然后根据图象列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
货船在乙港停留的时间为4﹣3＝1（小时），
货船在静水中的速度为：96÷3﹣8＝32﹣8＝24（千米/小时），
故答案为：1，24；
（2）m＝4+64÷（24﹣8）＝8，n＝4+96÷（24﹣8）＝10，
故答案为：8，10；
（3）该货船能在返航的途中找到救生圈，
理由：设货船找到救生圈时，救生圈漂流的时间为a小时，
8a+（24﹣8）×（a﹣4+1）＝64，
解得a＝，
∵4＜＜8，
∴该货船能在返航的途中找到救生圈，救生圈在水中漂流的时间为小时．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
七、（本题12分）
24．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，动点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）秒．
（知识储备：一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
（1）当t＝5时，求证：△PAC是直角三角形．
（2）如图②，若另一动点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由点C向点A运动，且与点P同时出发，点Q到达终点A时点P也随之停止运动．当△PAQ是直角三角形时，直接写出t的值．
（3）如图③，若另一动点Q从点C出发，以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，且与点P同时出发．当点P到达终点B时点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．在运动过程中，线段DE的长度是否发生变化？若不变，直接写出DE的长度；若变化，说明如何变化．
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）分两种情况：①当∠APQ＝90°时，则∠AQP＝30°，由直角三角形的性质得AQ＝2AP，由题意得出方程，解方程即可；
②当∠AQP＝90°时，则∠APQ＝30°，由直角三角形的性质得AP＝2AQ，由题意得出方程，解方程即可；
（3）过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，先证△APE≌△CQF（AAS），得AE＝CF，PE＝QF，再证△PDE≌△QDF（AAS），得DE＝DF＝EF，进而得出答案．
【解答】（1）证明∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝10，
当t＝5时，
PA＝5，
∴PA＝PB，
∴CP⊥AB，
∴△ACP是直角三角形；
（2）解：分两种情况：
①当∠APQ＝90°时，如图2﹣1所示：
则∠AQP＝90°﹣∠A＝30°，
∴AQ＝2AP，
由题意可得：AP＝t，CQ＝2t，则AQ＝10﹣2t，
∴10﹣2t＝2t，
解得：t＝；
②当∠AQP＝90°时，如图2﹣2所示：
则∠APQ＝90°﹣∠A＝30°，
∴AP＝2AQ，
∴t＝2（10﹣2t），
解得：t＝4；
综上，当t为或4时，△PAQ是直角三角形；
（3）解：线段DE的长度不变化，理由如下：
过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，如图3所示：
∵PE⊥AC，QF⊥AC，
∴∠AEP＝∠DEP＝∠CFQ＝90°，
∵∠QCF＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠QCF，
又∵AP＝CQ，
∴△APE≌△CQF（AAS），
∴AE＝CF，PE＝QF，
又∵∠PDE＝∠QDF，
∴△PDE≌△QDF（AAS），
∴DE＝DF＝EF，
∵EF＝CE+CF，AC＝CE+AE，
∴EF＝AC＝10，
∴DE＝EF＝5，
即线段DE的长度不变，为定值5．
【点评】本题是三角形的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、直角三角形的性质以及动点问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
八、（本题12分）
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D是直线BC上一点，过点A作∠DAE＝90°（使点D，A，E按顺时针的顺序排列），且AE＝AD，连接CE，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F．
（1）如图，当点D在线段BC上时，求证：CE＝BD．
（2）当点D在直线BC上时，直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系．
【分析】（1）先证明∠EAC＝∠DAB，得到△EAC≌△DAB，根据全等三角形的性质得到CE＝BD；
（2）分三种情况讨论，由AF⊥CE，∠ECA＝45°，可证得BC＝2CF，进而得到线段BD、CD、EF之间的数量关系．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝90°＝∠CAE，
∴∠DAB＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD；
（2）如图，当点D在BC上时，在CE上截取CH＝CD，连接AH，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠ACE＝45°，
在△ACD和△ACH中，
，
∴△ACD≌△ACH（SAS），
∴AD＝AH，
∴AH＝AE，
∵AF⊥CE，
∴EF＝FH，
∴BD＝CE＝CH+EH＝CD+2EF，
∴BD﹣CD＝2EF；
当点D在点B的下方时，
同理可得：CD﹣BD＝2EF；
当点D在点C上方时，
同理可得BD+CD＝2EF；
综上所述：BD+CD＝2EF或BD﹣CD＝2EF或CD﹣BD＝2EF
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
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质量检测数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1．（2分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）新冠病毒给世界各国带来了极大的灾难，中国在抗击新冠病毒疫情中发挥了重要作用．新冠病毒的整体尺寸大约为0.000000052m，用科学记数法表示0.000000052为（ ）
A．52×10﹣9 B．5.2×10﹣8 C．52×10﹣8 D．5.2×10﹣9
3．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
4．（2分）有4张正面分别写有数1、3、4、6的卡片，除正面外完全相同．将卡片的背面朝上并洗匀，从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2分）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）
A．∠1与∠4是同位角 B．∠2与∠3是内错角
C．∠3与∠4是同旁内角 D．∠2与∠4是同旁内角
6．（2分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．140°
7．（2分）三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．（2分）一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm
9．（2分）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
10．（2分）如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝6，OB＝2，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）等腰三角形的一边长是12cm，另一边长是6cm，则它的周长是 cm．
12．（3分）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y＝x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是 ℉．
13．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上，这时测得 的长就等于AB的长．
14．（3分）如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，它们交于点O．若△ABD的面积是6cm2，则△ACF的面积是 cm2．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB、BC于点E、F；再分别以E、F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交AC边于点G．若△ABG的面积是6cm2，则△BCG的面积为 cm2．
16．（3分）若三角形满足一个角α是另一个角β的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中α称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是 度．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）简算：．
18．（8分）计算：（）﹣2+（3.14﹣π）0﹣|﹣2|．
19．（8分）先化简，再求值：[（3x﹣2y）2﹣（x﹣y）（9x+2y）]÷（﹣y），其中x＝1，y＝﹣2．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整．
如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠ABF＝∠1（对顶角相等）
∠BFG＝∠2（ ）
∴∠ABF＝ （等量代换），
∵BE平分∠ABF（已知），
∴∠EBF＝ （ ）．
∵FC平分∠BFG（已知），
∴∠CFB＝ （ ）．
∴∠EBF＝ ，
∴BE∥CF（ ）．
21．（8分）手机微信抢红包有多种玩法，其中一种为“拼手气红包”，用户设定好总金额以及红包个数后，可以随机生成不等金额的红包．现有一用户发了四个“拼手气红包”，随机被甲、乙、丙、丁四人抢到．
（1）以下说法正确是 （直接填空），
A．甲抢到的红包金额一定最多
B．乙抢到的红包金额一定最多
C．丙抢到的红包金额一定最多
D．丁不一定抢到金额最少的红包
（2）若这四个“拼手气红包”金额分别为35元、33元、20元、12元，则甲抢到红包的金额超过30元的概率是多少？
五、（本题10分）
22．（10分）按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整．
如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D．若∠CAD：∠BAD＝4：7，求∠B的度数．
解：设∠CAD＝4x，
∵∠CAD：∠BAD＝4：7（已知），
∴∠BAD＝7x．
∴ ＝∠BAD+∠CAD＝11x．
∵DE是AB的垂直平分线（已知）．
∴DB＝ （ ）．
∴△ABD是等腰三角形．
∴ ＝∠BAD＝7x（ ）．
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°（已知），
∴∠B+∠BAC＝90°（ ），
∴ + ＝90°．
∴x＝ ．
∴∠B＝ ．
六、（本题10分）
23．（10分）一艘货船在甲、乙两港之间承接往返运输任务．某日货船从甲港顺流出发，途经丙港并不做停留，抵达乙港停留一段时间后逆流返航．货船在行驶过程中保持自身船速（即船在静水中的速度）不变，已知水流速度为8千米/时，如图记录了当日这艘货船出发后与乙港的距离y（千米）随时间t（小时）的变化的图象．图象上的点A表示货船当日顺流航行到达丙港．
（1）根据图象回答下列问题：
货船在乙港停留的时间为 小时，货船在静水中的速度为 千米/时；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）货船当日顺流航行至丙港时，船上一救生圈不慎落入水中随水漂流，该货船能否在返航的途中找到救生圈？若能，请求出救生圈在水中漂流的时间；若不能，请说明理由．
七、（本题12分）
24．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，动点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）秒．
（知识储备：一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
（1）当t＝5时，求证：△PAC是直角三角形．
（2）如图②，若另一动点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由点C向点A运动，且与点P同时出发，点Q到达终点A时点P也随之停止运动．当△PAQ是直角三角形时，直接写出t的值．
（3）如图③，若另一动点Q从点C出发，以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，且与点P同时出发．当点P到达终点B时点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．在运动过程中，线段DE的长度是否发生变化？若不变，直接写出DE的长度；若变化，说明如何变化．
八、（本题12分）
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D是直线BC上一点，过点A作∠DAE＝90°（使点D，A，E按顺时针的顺序排列），且AE＝AD，连接CE，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F．
（1）如图，当点D在线段BC上时，求证：CE＝BD．
（2）当点D在直线BC上时，直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系．
辽宁省沈阳市皇姑区2021-2022学年七年级下学期期末教学
质量检测数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1．（2分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（2分）新冠病毒给世界各国带来了极大的灾难，中国在抗击新冠病毒疫情中发挥了重要作用．新冠病毒的整体尺寸大约为0.000000052m，用科学记数法表示0.000000052为（ ）
A．52×10﹣9 B．5.2×10﹣8 C．52×10﹣8 D．5.2×10﹣9
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000052＝5.2×10﹣8．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
【分析】逐项进行判断，得出答案即可．
【解答】解：“买l张彩票就中奖”的可能性很小，但有可能，因此选项A不符合题意；
概率再小，有可能发生，是可能事件，因此选项B不符合题意；
任意一个三角形的内角和都是180°，因此选项C是正确的，
任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，可能是其它情况，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】考查随机事件、不可能事件，必然事件的意义，理解随机事件、必然事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．
4．（2分）有4张正面分别写有数1、3、4、6的卡片，除正面外完全相同．将卡片的背面朝上并洗匀，从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：共有4种情况，且每一种情况出现的可能性是均等的，而奇数的有2种，
所以从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查概率公式，理解概率的定义是正确解答的前提．
5．（2分）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）
A．∠1与∠4是同位角 B．∠2与∠3是内错角
C．∠3与∠4是同旁内角 D．∠2与∠4是同旁内角
【分析】利用同位角、内错角、同旁内角的定义判定即可．
【解答】解：A、∠1与∠4是同位角，故A选项正确；
B、∠2与∠3是内错角，故B选项正确；
C、∠3与∠4是同旁内角，故C选项正确；
D、∠2与∠4不是同旁内角，故D选项错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键熟记同位角、内错角、同旁内角的特征．
6．（2分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．140°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答．
【解答】解：∵DB⊥BC，∠2＝50°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣50°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝40°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
7．（2分）三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
【解答】解：∵三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，
∴此三角形是直角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的高，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
8．（2分）一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm
【分析】根据三角形的三边关系可得第三边的范围，再根据第三边的范围确定答案．
【解答】解：设第三边长为xcm，由三角形的三边关系可得：
5﹣4＜x＜5+4，
即1＜x＜9，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
9．（2分）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN＝BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC＝AC，求出BC的长为多少即可．
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC＝7（cm），
∴AN+NC+BC＝7（cm），
∵AN+NC＝AC，
∴AC+BC＝7（cm），
又∵AC＝4cm，
∴BC＝7﹣4＝3（cm）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
10．（2分）如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝6，OB＝2，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】证明△AOB≌△COD推出OA＝OC＝4，OB＝OD即可解决问题．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOB＝∠COD，
∵∠A＝∠C，CD＝AB，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OA＝OC，OB＝OD＝2，
∵AD＝6，
∴OA＝AD﹣OD＝6﹣2＝4，
∴OC＝OA＝4．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，是中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）等腰三角形的一边长是12cm，另一边长是6cm，则它的周长是 30 cm．
【分析】本题应分为两种情况6cm为底或12cm为底，还要注意是否符合三角形三边关系．
【解答】解：∵等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为12cm，
∴有两种情况：①12cm为底，6cm为腰，而6+6＝12，那么应舍去；
②6cm为底，12cm为腰，那么12+12+6＝30（cm）；
∴该三角形的周长是30cm．
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．
12．（3分）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y＝x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是 77 ℉．
【分析】把x的值代入函数关系式计算求出y值即可．
【解答】解：当x＝25°时，
y＝×25+32
＝77，
故答案为：77．
【点评】本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键．
13．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上，这时测得 DE 的长就等于AB的长．
【分析】由对顶角相等，两个直角相等及BD＝CD，可以判断两个三角形全等；所以AB＝DE．
【解答】解：根据题意可知：
∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，
即
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE．
故答案为：DE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法．
14．（3分）如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，它们交于点O．若△ABD的面积是6cm2，则△ACF的面积是 6 cm2．
【分析】三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得△ABC的面积，再求△ACF的面积即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ADC＝6，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝12，
∵CF是△ABC的中线，
∴＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB、BC于点E、F；再分别以E、F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交AC边于点G．若△ABG的面积是6cm2，则△BCG的面积为 12 cm2．
【分析】利用基本作图得到BG平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点G到BC的距离等于点G到AB的距离，所以S△BGC：S△BGA＝BC：BA，再利用含30度的直角三角形三边的关系得BC＝2BA，所以S△BGC＝2S△BGA．
【解答】解：由作法得BG平分∠ABC，
∴点G到BC的距离等于点G到AB的距离，
∴S△BGC：S△BGA＝BC：BA，
∵∠A＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝30°，
∴BC＝2BA，
∴S△BGC：S△BGA＝2：1，
∴S△BGC＝2S△BGA＝2×6＝12（cm2）．
故答案为：12．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和含30度角的直角三角形三边的关系．
16．（3分）若三角形满足一个角α是另一个角β的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中α称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是 60或90 度．
【分析】根据“智慧三角形”及“智慧角”的意义，列方程求解即可．
【解答】解：在有一个角为60°的三角形中，
①当另两个角分别是100°、20°时，“智慧角”是60°；
②α+β＝120°且α＝3β，
∴α＝90°．，
即“智慧角”是90°．
故答案为：60或90．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和，掌握“三角形的内角和是180°”和“智慧三角形”、“智慧角”是解决本题的关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）简算：．
【分析】根据平方差公式进行简便计算．
【解答】解：．
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
18．（8分）计算：（）﹣2+（3.14﹣π）0﹣|﹣2|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝4+1﹣2
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
19．（8分）先化简，再求值：[（3x﹣2y）2﹣（x﹣y）（9x+2y）]÷（﹣y），其中x＝1，y＝﹣2．
【分析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：[（3x﹣2y）2﹣（x﹣y）（9x+2y）]÷（﹣y）
＝（9x2﹣12xy+4y2﹣9x2﹣2xy+9xy+2y2）÷（﹣y）
＝（﹣5xy+6y2）÷（﹣y）
＝10x﹣12y，
当x＝1，y＝﹣2时，原式＝10×1﹣12×（﹣2）＝34．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整．
如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠ABF＝∠1（对顶角相等）
∠BFG＝∠2（ 对顶角相等 ）
∴∠ABF＝ ∠BFG （等量代换），
∵BE平分∠ABF（已知），
∴∠EBF＝ ∠ABF （ 角平分线的定义 ）．
∵FC平分∠BFG（已知），
∴∠CFB＝ ∠BFG （ 角平分线的定义 ）．
∴∠EBF＝ ∠CFB ，
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据对顶角相等、角平分线定义求出∠EBF＝∠BFC，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠ABF＝∠1（对顶角相等），
∠BFG＝∠2（对顶角相等），
∴∠ABF＝∠BFG（等量代换），
∵BE平分∠ABF（已知），
∴∠EBF＝∠ABF（角平分线的定义），
∵FC平分∠BFG（已知），
∴∠CFB＝∠BFG（角平分线的定义），
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
21．（8分）手机微信抢红包有多种玩法，其中一种为“拼手气红包”，用户设定好总金额以及红包个数后，可以随机生成不等金额的红包．现有一用户发了四个“拼手气红包”，随机被甲、乙、丙、丁四人抢到．
（1）以下说法正确是 D （直接填空），
A．甲抢到的红包金额一定最多
B．乙抢到的红包金额一定最多
C．丙抢到的红包金额一定最多
D．丁不一定抢到金额最少的红包
（2）若这四个“拼手气红包”金额分别为35元、33元、20元、12元，则甲抢到红包的金额超过30元的概率是多少？
【分析】（1）根据随机事件的定义逐项进行判断即可；
（2）一共有4种可能出现的结果，其中红包金额超过30元的有2种，根据概率的定义可求出答案．
【解答】解：（1）A．甲抢到的红包金额不一定最多，因此选项A不符合题意；
B．乙抢到的红包金额不一定最多，因此选项B不符合题意；
C．丙抢到的红包金额不一定最多，因此选项C不符合题意；
D．丁不一定抢到金额最少的红包是正确的，因此选项D符合题意；
故答案为：D；
（2）一共有4种可能出现的结果，其中红包金额超过30元的有2种，
所以甲抢到红包的金额超过30元的概率是＝．
【点评】本题考查概率公式，随机事件、不可能事件、必然事件，理解随机事件、不可能事件、必然事件的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提．
五、（本题10分）
22．（10分）按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整．
如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D．若∠CAD：∠BAD＝4：7，求∠B的度数．
解：设∠CAD＝4x，
∵∠CAD：∠BAD＝4：7（已知），
∴∠BAD＝7x．
∴ ∠BAC ＝∠BAD+∠CAD＝11x．
∵DE是AB的垂直平分线（已知）．
∴DB＝ AD （ 线段垂直平分线的性质 ）．
∴△ABD是等腰三角形．
∴ ∠B ＝∠BAD＝7x（ 等腰三角形的性质 ）．
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°（已知），
∴∠B+∠BAC＝90°（ 直角三角形的性质 ），
∴ ∠BAD + ∠BAC ＝90°．
∴x＝ 5° ．
∴∠B＝ 35° ．
【分析】由∠CAD：∠BAD＝4：7，可设∠CAD＝4x，∠BAD＝7x，继而可得方程4x+7x+7x＝90，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设∠CAD＝4x，
∵∠CAD：∠BAD＝4：7（已知），
∴∠BAD＝7x．
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝11x．
∵DE是AB的垂直平分线（已知）．
∴DB＝AD（线段垂直平分线的性质）．
∴△ABD是等腰三角形．
∴∠B＝∠BAD＝7x（等腰三角形的性质）．
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°（已知），
∴∠B+∠BAC＝90°（直角三角形的性质），
∴∠BAD+∠BAC＝90°．
∴x＝5°．
∴∠B＝35°，
故答案为：∠BAC，AD，线段垂直平分线的性质，∠B，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，∠BAD，∠BAC，5°，35°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
六、（本题10分）
23．（10分）一艘货船在甲、乙两港之间承接往返运输任务．某日货船从甲港顺流出发，途经丙港并不做停留，抵达乙港停留一段时间后逆流返航．货船在行驶过程中保持自身船速（即船在静水中的速度）不变，已知水流速度为8千米/时，如图记录了当日这艘货船出发后与乙港的距离y（千米）随时间t（小时）的变化的图象．图象上的点A表示货船当日顺流航行到达丙港．
（1）根据图象回答下列问题：
货船在乙港停留的时间为 1 小时，货船在静水中的速度为 24 千米/时；
（2）m＝ 8 ，n＝ 10 ；
（3）货船当日顺流航行至丙港时，船上一救生圈不慎落入水中随水漂流，该货船能否在返航的途中找到救生圈？若能，请求出救生圈在水中漂流的时间；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到货船在乙港停留的时间，然后根据顺流3小时航行96千米和水流速度为8千米/小时，即可计算出货船在静水中的速度；
（2）根据（1）值的结果和图象中的数据，可以计算出m、n的值；
（3）先判断，然后根据图象列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
货船在乙港停留的时间为4﹣3＝1（小时），
货船在静水中的速度为：96÷3﹣8＝32﹣8＝24（千米/小时），
故答案为：1，24；
（2）m＝4+64÷（24﹣8）＝8，n＝4+96÷（24﹣8）＝10，
故答案为：8，10；
（3）该货船能在返航的途中找到救生圈，
理由：设货船找到救生圈时，救生圈漂流的时间为a小时，
8a+（24﹣8）×（a﹣4+1）＝64，
解得a＝，
∵4＜＜8，
∴该货船能在返航的途中找到救生圈，救生圈在水中漂流的时间为小时．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
七、（本题12分）
24．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，动点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）秒．
（知识储备：一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
（1）当t＝5时，求证：△PAC是直角三角形．
（2）如图②，若另一动点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由点C向点A运动，且与点P同时出发，点Q到达终点A时点P也随之停止运动．当△PAQ是直角三角形时，直接写出t的值．
（3）如图③，若另一动点Q从点C出发，以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，且与点P同时出发．当点P到达终点B时点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．在运动过程中，线段DE的长度是否发生变化？若不变，直接写出DE的长度；若变化，说明如何变化．
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）分两种情况：①当∠APQ＝90°时，则∠AQP＝30°，由直角三角形的性质得AQ＝2AP，由题意得出方程，解方程即可；
②当∠AQP＝90°时，则∠APQ＝30°，由直角三角形的性质得AP＝2AQ，由题意得出方程，解方程即可；
（3）过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，先证△APE≌△CQF（AAS），得AE＝CF，PE＝QF，再证△PDE≌△QDF（AAS），得DE＝DF＝EF，进而得出答案．
【解答】（1）证明∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝10，
当t＝5时，
PA＝5，
∴PA＝PB，
∴CP⊥AB，
∴△ACP是直角三角形；
（2）解：分两种情况：
①当∠APQ＝90°时，如图2﹣1所示：
则∠AQP＝90°﹣∠A＝30°，
∴AQ＝2AP，
由题意可得：AP＝t，CQ＝2t，则AQ＝10﹣2t，
∴10﹣2t＝2t，
解得：t＝；
②当∠AQP＝90°时，如图2﹣2所示：
则∠APQ＝90°﹣∠A＝30°，
∴AP＝2AQ，
∴t＝2（10﹣2t），
解得：t＝4；
综上，当t为或4时，△PAQ是直角三角形；
（3）解：线段DE的长度不变化，理由如下：
过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，如图3所示：
∵PE⊥AC，QF⊥AC，
∴∠AEP＝∠DEP＝∠CFQ＝90°，
∵∠QCF＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠QCF，
又∵AP＝CQ，
∴△APE≌△CQF（AAS），
∴AE＝CF，PE＝QF，
又∵∠PDE＝∠QDF，
∴△PDE≌△QDF（AAS），
∴DE＝DF＝EF，
∵EF＝CE+CF，AC＝CE+AE，
∴EF＝AC＝10，
∴DE＝EF＝5，
即线段DE的长度不变，为定值5．
【点评】本题是三角形的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、直角三角形的性质以及动点问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
八、（本题12分）
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D是直线BC上一点，过点A作∠DAE＝90°（使点D，A，E按顺时针的顺序排列），且AE＝AD，连接CE，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F．
（1）如图，当点D在线段BC上时，求证：CE＝BD．
（2）当点D在直线BC上时，直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系．
【分析】（1）先证明∠EAC＝∠DAB，得到△EAC≌△DAB，根据全等三角形的性质得到CE＝BD；
（2）分三种情况讨论，由AF⊥CE，∠ECA＝45°，可证得BC＝2CF，进而得到线段BD、CD、EF之间的数量关系．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝90°＝∠CAE，
∴∠DAB＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD；
（2）如图，当点D在BC上时，在CE上截取CH＝CD，连接AH，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠ACE＝45°，
在△ACD和△ACH中，
，
∴△ACD≌△ACH（SAS），
∴AD＝AH，
∴AH＝AE，
∵AF⊥CE，
∴EF＝FH，
∴BD＝CE＝CH+EH＝CD+2EF，
∴BD﹣CD＝2EF；
当点D在点B的下方时，
同理可得：CD﹣BD＝2EF；
当点D在点C上方时，
同理可得BD+CD＝2EF；
综上所述：BD+CD＝2EF或BD﹣CD＝2EF或CD﹣BD＝2EF
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
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