北师大版九年级上册1 反比例函数教学设计

6.1反比例函数

教学目标

1.从现实情境和学生已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相互关系，加深对函数概念的理解.

2.经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.

3.体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程.培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力.

教学重难点

【教学重点】

理解和领会反比例函数的概念.

【教学难点】

领悟反比例函数的概念.

教学方法

小组合作、探究式

教学过程

（一）创设情境，引入新课

你吃过拉面吗？有人能拉到细如发丝，同时还能做到丝丝分明.实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识.

一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与面条的粗细之间有什么关系呢？

（二）互动探究，学习新课

我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时，（1）你能用含有R的代数式表示I吗？；（2）利用你写出的关系式完成下表：

学生填表完成，提出当R越来越大时，I是怎样变化的？当R越来越小呢？（3）变量I是R的函数吗？为什么？

我们通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果.在电压一定时，当R变大时，电流I变小，灯光就变暗，相反，当R变小时，电流I变大，灯光变亮.

引导学生看课本例子，京沪高速铁路全长约为1318km，列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车行完成全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v (km/h)之间有怎样的关系？变量t是v的函数吗？为什么？

（三）学生分组交流讨论

提示学生：数学来源于生活，请同学在生活中找出类似的例子.分组交流讨论，并完成资料的讨论部分.

我们再看例子：两个变量x和y的乘积等于-6，用函数关系式表示出来是，思考：变量x和y之间的关系是什么？

提出问题：①变量之间的关系具有什么特点？引导学生得出：两个变量的乘积等于非零常数．②如何给反比例函数下定义？

教师总结并和学生一起探索出反比例函数的概念：

一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成：（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.

强调在理解概念时要注意：①常数k≠0；②自变量x不能为零（因为分母为0时，该式没意义）；③当写成时注意x的指数为—1.④由定义不难看出，k可以从两个变量相对应的任意一对对应值的积来求得，只要k确定了，这个函数就确定了.

（四）例题讲解

探究点一：反比例函数的概念

【类型一】辨别反比例函数

在下列函数表达式中，哪些函数表示y是x的反比例函数？

（1）y＝；　（2）y＝；　（3）y＝；

（4）xy＝；　（5）y＝；　（6）y＝－；

（7）y＝2x－1；　（8）y＝（a≠5，a是常数）.

解析：根据反比例函数的概念，必须是形如y＝（k是常数，k≠0）的函数，才是反比例函数.如（2）（3）（6）（8）均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数.但还要注意y＝（k是常数，且k≠0）的一些常见的变化形式，如xy＝k，y＝kx－1等，所以（4）（7）也是反比例函数.在（5）中，y是（x－1）的反比例函数，而不是x的反比例函数.（1）中的y是x的正比例函数.

解：（2）（3）（4）（6）（7）（8）表示y是x的反比例函数.

方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，关键看它能否写成y＝（k是常数，k≠0）或xy＝k（k≠0）或y＝kx－1（k≠0）这样的形式，即两个变量的积是不是一个非零常数.如果两个变量的积是一个不为0的常数，则这两个变量就成反比例关系；否则便不成反比例关系.

【类型二】根据反比例函数的概念求值

若y＝（k2＋k）xk2－2k－1是反比例函数，试求（k－3）2015的值.

解：根据反比例函数的概念，得

所以

即k＝2.

因此（k－3）2015＝（2－3）2015＝－1.

易错提醒：反比例函数表达式的一般形式y＝（k是常数，k≠0）也可以写成y＝kx－1（k≠0），利用反比例函数的定义求字母参数的值时，一定要注意y＝中k≠0这一条件，不能忽略，否则易造成错误.

探究点二：确定反比例函数的表达式

【类型一】用待定系数法求反比例函数的表达式

已知y是x的反比例函数，当x＝－4时，y＝3.

（1）写出y与x之间的函数表达式；

（2）当x＝－2时，求y的值；

（3）当y＝12时，求x的值.

解：（1）设y＝（k≠0），

∵当x＝－4时，y＝3，

∴3＝，解得k＝－12.

因此，y和x之间的函数表达式为y＝－；

（2）把x＝－2代入y＝－，得y＝－＝6；

（3）把y＝12代入y＝－，得12＝－，x＝－1.

方法总结：（1）求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为y＝（k≠0），然后再求出k值；（2）当反比例函数的表达式y＝（k≠0）确定以后，已知x（或y）的值，将其代入表达式中即可求得相应的y（或x）的值.

【类型二】用待定系数法求有反比例关系的函数的表达式

已知y与x－1成反比例，当x＝2时，y＝4.

（1）用含有x的代数式表示y；

（2）当x＝3时，求y的值.

解：（1）设y＝（k≠0），

因为当x＝2时，y＝4，所以4＝，

解得k＝4.

所以y与x的函数表达式是y＝；

（2）当x＝3时，y＝＝2.

易错提醒：题中y与x－1成反比例，而y与x不成反比例，防止出现设y＝（k≠0）的错误.

探究点三：建立反比例函数的模型

已知一个长方体水箱的体积为1000立方厘米，它的长是y厘米（y>25），宽是25厘米，高是x厘米.

（1）写出用高表示长的函数关系式；

（2）写出自变量x的取值范围.

解：（1）根据题意，可得y＝，化简得y＝；

（2）根据题设可知自变量x的取值范围为0＜x＜.

　　方法总结：反比例函数的自变量取值范围是全体非零实数，但在解决实际问题的过程中，自变量的取值范围要根据实际情况来确定.解题过程中应该注意对题意的正确理解.

（五）课堂练习

I、学生完成课本的做一做1-3题：

1、一个矩形的面积为20，相邻的两条边长分别为x cm和ycm,那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？

2、某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？为什么？

3、y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：

（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据表达式完成上表.

教师巡视个别辅导，学生完毕教师给予评估肯定.

II巩固练习：限时完成课本“随堂练习”1-2题.教师并给予指导.

（六）课堂总结（结合板书小结）

今天通过生活中的例子，探索学习了反比例函数的概念，我们要掌握反比例函数是针对两种变化量，并且这两个变化的量可以写成（k为常数，k≠0）同时要注意几点：：①常数k≠0；②自变量x不能为零（因为分母为0时，该式没意义）；③当可写为时注意x的指数为—1.④由定义不难看出，k可以从两个变量相对应的任意一对对应值的积来求得，只要k确定了，这个函数就确定了.

（七）布置作业

（八）板书设计