2021-2022学年吉林省吉林一中高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年吉林省吉林一中高二（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 计算：(    )

A.  B.  C.  D.

4. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗望岳：“岱宗夫如何？齐鲁青未了造化钟神秀，阴阳割昏晓荡胸生层云，决毗入归鸟会当凌绝顶，一览众山小”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等如图为某工程队将到修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示在同一水平面内，则，间的距离为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则(    )

A.
B. 是函数图象的一条对称轴
C. 时，函数单调递增
D. 的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是

7. 若存在直线与函数，的图像都相切，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 双曲余弦函数是高等数学中重要的函数之一．定义在上的函数的图像关于点对称，且当时，，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列函数中是偶函数，且值域为的有(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则下列结论正确的是(    )

A. 当时，
B. 函数有两个零点
C. 若方程有三个解，则实数的取值范围是
D. ，，

11. 已知函数在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是(    )

A. 在区间上有且仅有个不同的零点
B. 的最小正周期可能是
C. 的取值范围是
D. 在区间上单调递增

12. 已知正数，，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 曲线在处的切线方程为______．
14. 若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．
15. 的内角，，的对边分别为，，若，，，则的面积为          ．
16. 已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    在中，角，，的对边分别为，，，已知，．
    求角的值；
    在，，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．若为边上一点，且，____，求的面积．
18. 本小题分
    已知函数．
    讨论函数的单调性；
    若函数有最大值，且，求实数的取值范围．
19. 本小题分
    某学校为了了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该学校高中生中随机抽选名学生进行调查，调查样本中男生、女生各名，下图是根据样本调查结果绘制的等高堆积条形图．
     

请将上面列联表填写完整；
依据的独立性检验，能否认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联？
现从得分超过分的同学中采用按性别比例分配的分层抽样方法抽取人，再从这人中随机抽选人参加下一轮调查，记为选出参加下一轮调查的女生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
附：参考公式：，其中．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

20. 本小题分
    某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：
    游客投球目标为由近及远设置的，，三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费元．投进桶，奖励游客面值元的景区消费券；投进桶，奖励游客面值元的景区消费券；投进桶，奖励游客面值元的景区消费券；投不进则没有奖励，游客各次投球是否投进相互独立．
    向桶投球次，每次投进的概率为，记投进次的概率为，求的最大值点；
    游客甲投进，，三桶的概率分别为，，，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．
21. 本小题分
    在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
    若，，求的面积；
    若，且的边长均为正整数，求．
22. 本小题分
    已知函数为常数．
    若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
    若存在两个极值点，，，且，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
．
故选：．
根据已知条件，先求出集合，再结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
由可得，
又，
，
，为钝角，
是钝角三角形，
反过来，由是钝角三角形不能得到为钝角，
即可能为钝角，此时不能得到，
故“”是“是钝角三角形”的充分而不必要条件，
故选：．
根据三角形内角和，三角不等式，充分与必要条件的概念即可判断．
本题考查充分与必要条件的概念，三角不等式，属中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故选：．
由，利用两角和的正弦公式展开，再代入所求式子，运算即可．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和的正弦公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，

在中，，，
又，即，解得：，
，，
在中，，
即，间的距离为，
故选：．
连接，在中，利用余弦定理求出的长，用正弦定理求出，进而可得，再在中，利用余弦定理求出即可．
本题考查正弦定理和余弦定理的应用，合理利用图形画出辅助线是解题的关键，考查学生数形结合与逻辑推理的能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，，
因为，
所以函数在时是增函数．
因为，所以函数是奇函数，
所以有，
因为，函数在时是增函数，
所以，
故选：．
结合导数先判断时的单调性，结合奇函数的对称性及单调性即可比较函数值大小．
本题主要考查了利用函数的单调性比较函数值大小，导数的应用是判断单调性的关键，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：函数的图象的一个最低点是，
距离点最近的对称中心为，
，，，
，
，，令，可得，
函数，故A错误，
令，求得，故是的一个对称中心，故B错误，
当时，，函数单调递增，故C正确，
把的图象向右平移个单位后得到的图象，
若是奇函数，则，，
令，可得的最小值是，故D错误，
故选：．
由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由最高点求出的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图像和性质，得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由最高点求出的值，三角函数的图象和性质，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：注意到函数图像下凸，图像上凸，
故“存在直线与函数，的图像都相切”
即在定义域恒成立，
记，在，上单调增，
且在，有唯一零点，即，
且，于是，
所以实数的取值范围为．
故选：．
注意到函数图像下凸，图像上凸，根据题意只要函数图像在函数图像之上即可，所以定义域恒成立即可得解．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，考查了转化思想，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：定义在上的函数的图像关于点对称，
可得的图像关于点对称，
即有，
当时，即，
，即有在递增，
而的图像关于点对称，可得在上递增，
则不等式即，
即，
所以，解得，
故选：．
由图像的平移变换可得的图像关于点对称，即有，结合导数判断在上的单调性，得到在上的单调性，将原不等式转化为，由单调性可得所求解集．
本题考查函数的对称性、单调性和运用，以及不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，其定义域为，
有，是偶函数，
又由，则，则有，故函数的值域为，符合题意，
对于，，其定义域为，，是奇函数，不符合题意，
对于，，其定义域为，有，是偶函数，
，其值域为，不符合题意，
对于，，其定义域为，
，是偶函数，
又由，函数的值域为，符合题意，
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和值域，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数值域的计算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，设，则，所以，
又函数是定义在上的奇函数，所以，则有，故A正确；
对于，当时，，则其导数，
令，解得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
故当时，函数取得极小值，
故当时，单调递增且，故函数在仅有一个零点．
当时，，所以函数在没有零点，
所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，
故函数在上仅有一个零点，又，
故函数在上有个零点，故B错误．
对于，作出函数的大致图象，如图：
若关于的方程有解，由中的单调性可得，实数的取值范围是．
故C正确．
对于，由图可知，对，，
故D错误．
故选：．
根据题意，根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在上的大致图象，从而可逐项判断、、．
本题考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由函数，
令，则，
函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，
由，得，
则，，，，
即，
，故C正确；
对于，，
，
当时，在区间上有且仅有个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故A错误；
对于，周期，由，则，
，
又，所以的最小正周期可能是，故B正确；
对于，，，
又
又，所以在区间上不一定单调递增，故D错误．
故选：．
令，则，由函数在区间，上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，可求出判断，再利用三角函数的性质可依次判断．
本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由于正数，，，满足，设，，
则，，，
对于，，同理，，
，故A正确，
对于，，，，，则，故B正确，
对于，，，故C错误，
对于，，，故D正确．
故选：．
化指数式为对数式，求得，，，再由对数的运算性质逐一核对四个选项得答案．
本题考查指数式与对数式的互化，考查对数的运算性质，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
又，曲线在处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，使关于的不等式成立，
则，即，，
令，，则对勾函数在上单调递增，
所以，
故
故答案为：
根据题意，，使关于的不等式成立，则，即，，再结合对勾函数找到最大值即可求出实数的取值范围．
本题考查不等式恒成立问题，属于中档题，对勾函数是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．
利用余弦定理得到，然后根据面积公式求出结果即可．

【解答】

解：由余弦定理有，
，，，
，
，
．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】解：因为，则，
当时，，
当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递增，
且当时，，，
故的大致图像如图所示：

关于的方程等价于，
即或，
由图可得，方程有且仅有一解，则有两解，
所以，解得，
故答案为：．
首先利用导函数求的单调性，作出函数的大致图像，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．
本题考查了函数与方程的知识，用到了数形结合的思想，排除法的灵活应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：由已知及正弦定理，得，
因为，则，
所以，即，
则，
因为，则，，
所以，得，即．
选条件：
如图，因为，，则为等边三角形，
在中，设，则，
因为，，
由余弦定理得，即，得，
所以，，
可得的面积．
选条件：
如图，因为，，则为等边三角形．
因为，则，所以，
在中，因为，
设，由邮弦定理得，即，解得，则，
所以的面积．
选条件：
如图，因为，，则为等边三角形，从而，
在中，由正弦定理，得，
设，由余弦定理，得，即，解得，
从而，，
所以的面积． 

【解析】由已知及正弦定理，转化得到，借助于诱导公式得到，，即可求出的值；
选条件：在中，设，利用余弦定理得解得，即可求出的面积；
选条件：由题意利用三角形的面积公式求得，在中，设，利用余弦定理解得，即可求出的面积；
选条件：在中，由正弦定理求得，设，由余弦定理解得，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：，，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，易得，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，
故函数的单调递增区间，单调递减区间为，
综上，时，在上单调递增，
当时，函数的单调递增区间，单调递减区间为；
由知，时，在上单调递增，函数没有最大值，
当时，函数的单调递增区间，单调递减区间为，
函数的最大值，
即，
令，，
则在时单调递增且，
所以，
故的取值范围为． 

【解析】先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；
结合中单调性求出函数的最值，然后结合函数性质可求．
本题主要考查了导数与单调性关系关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：根据图可得，女生中得分不超过分的人数，
女生得分超过分的人数，
男生中得分不超过分的人数，男生得分超过分的人数，
则列联表为：

由中的表格，可得
，
所以，依据的独立性检验，认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．
由可得，得分超过分的学生中男生：女生：，
从得分超过分的同学中采用分层抽样的方法抽取人，则男生占人，女生占人，
则取值可能为，，，
则，，，
所以随机变量的分布列为：

所以期望为． 

【解析】根据图可得，分别求得女生得分超过分的人数和男生中得分不超过分的人数，进而得到列联表；
由中的表格，求得的值，结合附表，即可得到结论；
由采用分层抽样的方法抽取人，则男生占人，女生占人，得到取值可能为，，，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解．
本题主要考查概率值的计算，分布列的计算，概率统计的实际应用等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：次向桶投球投进次的概率，
，
令，得，
当时，，
当时，，
在上单调递增，在单调递减，
所以的最大值点；
由得游客甲投进，，三桶的概率分别为，
设投进桶的纯收入为元，，
设投进桶的纯收入为元，，
设投进桶的纯收入为元，，
因为，
所以游客甲选择向桶投球更有利． 

【解析】根据概率公式求得概率，利用导数求得最大值点；
求出游客投进，，三桶纯收入的期望，比较可得．
本题考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为，由正弦定理得，
又，得，
故，
所以，
因为，，所以，于是，故，为直角三角形，
所以的面积；
由，得，由正弦定理，可得；
由余弦定理，得，
，．
若，则，故，
则，，此时，不符合题意．
，由，得，
又，即，则．
，，故当时，有，而，故能构成三角形，故． 

【解析】由已知结合正弦定理及和差角及诱导公式进行化简可求，然后结合三角形面积公式可求；
由已知结合二倍角公式及正弦定理，余弦定理进行化简可求，进而可求．
本题主要考查了正弦定理，诱导公式，和差角公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，
所以，
因为是定义域上单调单调递增函数，
所以在定义域上恒成立，
即在上恒成立，
即，
令，，
则，当且仅当等号成立，
所以实数的取值范围为
由知，，，
因为函数有两个极值点，即方程有两个正根，，
所以，，
不妨设，则在上是减函数，
所以，
所以

，
令，则，
又，
即，解得，
所以，
设，
则，
所以在上单调递增，
因为，，
所以，
即，
所以的取值范围为． 

【解析】求导得，分离参数，再利用基本不等式，即可得出答案．
根据题意可得方程有两个正根，，由韦达定理可得，，不妨设，则，所求关系可以转化为，通过换元，构造函数，求导分析可得的取值范围．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．