2021-2022学年黑龙江省大庆市让胡路区景园中学八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年黑龙江省大庆市让胡路区景园中学八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列方程中，关于的一元二次方程是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列命题正确的是(    )

A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形

3. 关于的方程有实数根，则满足(    )

A. 且 B. 且 C.  D.

4. 一元二次方程配方后可化为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，已知是正方形对角线上一点，且，则度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，正方形中，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 现有四张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面的图案恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在正方形和直角中，、、三点共线，，，，连接，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 下列命题判断正确的有(    )
    如果线段是线段，，的第四比例项，那么；
    如果点是线段的中点，那么；
    如果点是线段的黄金分割点，且，那么是与的比例中项．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本题共10小题，共30分）

11. 若，则的值等于______．
12. 设、是方程的两个根，则的值为______．
13. 如图，矩形的对角线，相交于点，若，则的度数是______度．
14. 如图，正方形内部有一个等边，则______

15. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
16. 科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时补进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产万个，第三天生产万个．如果前三天生产量的日平均增长率为，则根据题意，可列方程为______．
17. 如图，在正方形网络中，选取一个白色的小正方形并涂黑，使构成的黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是______．

18. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若：：，则当时，四边形的面积是______ ．

19. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则______．
20. 如图所示的的方格纸中，如果想作格点与相似相似比不能为，则点坐标为______．

三、解答题（本题共8小题，共60分）

21. 解下列各方程
    ；
    ；
    ；
    ．
22. 关于的一元二次方程有两个实数根．
    求的取值范围；
    若为正整数，求此方程的根．
23. 如图，在直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
    请画出与关于轴对称的．
    以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在轴的右侧画出．
    在轴上存在点，使得的面积为，请直接写出满足条件的点的坐标．

24. 如图，已知在中，、、分别是、、的中点，连接、、．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，求四边形的周长．

25. 某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立周年书画展评活动，全校征集学生书画作品王老师从全校个班中随机抽取了，，，四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
    
    王老师采取的调查方式是______ 填“普查”或“抽样调查”，王老师所调查的个班共征集到作品______ 件，并补全条形统计图；
    在扇形统计图中，表示班的扇形圆心角的度数为______ ；
    如果全校参展作品中有件获得一等奖，其中有件作品的作者是男生，件作品的作者是女生现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率要求用树状图或列表法写出分析过程
26. 如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少．

27. 某超市销售一种衬衫．平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低元，平均每天可多售出件．
    若每件衬衫降价元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
    在每件盈利不少于元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为元，问每件衬衫应降价多少元？
    该衬衫每天的销售获利能达到元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能．请说明理由．
28. 已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转．
    当三角板旋转到图的位置时、猜想与的数量关系，并加以证明；
    若，点是边的中点，连接，与交于点，当三角板的边与边重合时如图，若，求出和的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、化简得，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误．
故选：．
一元二次方程有四个特点：
只含有一个未知数；
未知数的最高次数是；
是整式方程．
二次项系数不为．
判断一个方程是否是一元二次方程：
首先要看是否是整式方程；
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
这是一个需要识记的内容．
 

2.【答案】 

【解析】解：、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；
B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
故选：．
根据矩形的判定方法判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
分类讨论：当时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当时，根据判别式的意义得到且时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的的范围．
【解答】

解：当时，原方程变形为，解得；
当时，，
解得，
即且时，方程有两个实数根，
所以的取值范围为．
故选C．

4.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是正方形对角线，
，
又，
，
，
故选：．
根据正方形的性质以及等腰三角形的性质即可求出答案．
本题考查正方形的性质，解题的关键是熟练运用正方形的性质，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，
；
故选：．
在直角三角形中，利用勾股定理可直接求出的长；
本题考查了正方形的性质和勾股定理，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：把张卡片分别记为：、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中这两张卡片正面的图案恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的结果有种，
则这两张卡片正面的图案恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的概率为．
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中这两张卡片正面的图案恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是正方形，
，，，
，，
，、、三点共线，
，
，
、、三点共线，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据正方形的性质可得，，，从而可得，，进而可得，，即可证明∽，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可求出，从而求出的长．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出答案即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如果线段是线段，，的第四比例项，那么，是真命题；
如果点是线段的中点，那么，原命题是假命题；
如果点是线段的黄金分割点，且，那么是与的比例中项，是真命题；
故选：．
对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
先把要求的式子变成，再进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，把要求的式子变成是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由一元二次方程根与系数关系可知：，，
则．
故答案为：．
首先利用一元二次方程的根与系数的关系求出和，然后把利用完全平方公式变形即可求解．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质得出，，，求出，推出，根据三角形外角的性质即可求出的度数．
本题考查了矩形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质的应用，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
根据正方形、等边三角形的性质即可解答．
本题考查正方形、等边三角形的性质，解题的关键是掌握正方形的每个内角为，等边三角形每个内角为．
 

15.【答案】 

【解析】解：是关于的一元二次方程，
，
，
有两个相等的实数根，
即，
，
，
故答案为：．
由是关于的一元二次方程，可得，根据有两个相等的实数根，可得，即可得．
本题考查一元二次方程的概念及根的判别式，解题的关键是求出、的值．
 

16.【答案】 

【解析】解：如果前三天生产量的日平均增长率为，则根据题意，可列方程为，
故答案为：．
设前三天生产量的日平均增长率为，利用第三天的产量第一天的产量增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有种情况，
使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是，
故答案为：．
由在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】 

【解析】解：：：，
，
，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
四边形的面积，
故答案为：．
由题意可得出，由相似三角形的性质可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
．
故答案为
利用黄金分割的定义得到，然后计算即可．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
 

20.【答案】或 

【解析】解：根据题意得：，，，
当与对应时，有或者，
或，
在格点上，
不合题意，则，
点坐标为，
同理当与对应时，可求得或者，也是只有后者符合题意，此时点坐标为
点坐标为或．
故答案为：或．
要求与相似，因为相似比不为，由三边对应相等的两三角形全等，知的边不能与的边对应，则与对应或者与对应并且此时或者是斜边，分两种情况分析即可．
此题考查了相似三角形的判定以及直角三角形的性质．注意分类讨论思想的应用．
 

21.【答案】解：，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，；
，
，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，． 

【解析】利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程；
利用因式分解法把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法和公式法解一元二次方程．
 

22.【答案】解：根据题意得且，
解得且；
由可知且，
又为正整数，
，
原方程变形为，解得，． 

【解析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到：且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可；
利用的范围可确定，则原方程化为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是理解方程有两个实数根即．
 

23.【答案】解：如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求．

的面积为，点在轴上，
点的坐标为或． 

【解析】分别作出对称后的对应点，再描点即可．
根据位似变换的概念作出变换后的对应点，再描点即可．
直接利用三角形面积公式可得出答案．
本题考查作图位似变换和轴对称变换，解题的关键是掌握位似变换和轴对称变换的概念和性质，并据此作出变换后的对应点．
 

24.【答案】证明：，，分别是，，的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形；
解：，是的中点，，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
四边形的周长为． 

【解析】根据三角形的中位线的性质得到，，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据直角三角形的性质得到，推出四边形是菱形，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，直角三角形的斜边中线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】抽样调查，；
补全条形统计图如下：

；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为，
所以恰好抽中一男一女的概率． 

【解析】解：王老师采取的调查方式是抽样调查；
王老师所调查的个班共征集到作品有件，
班级的件数有：件，
故答案为：抽样调查，；

在扇形统计图中，表示班的扇形圆心角是：；
故答案为：；
见答案．

根据全面调查与抽样调查的概念得出王老师采取的调查方式是抽样调查；利用班的作品数除以它的占比得到调查的总作品件数，再用总件数减去其他班级的件数，得出班级的件数，然后补全统计图即可；
用乘以班的占比即可得出班圆心角的度数；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

26.【答案】解：设正方形的边长为，
则，
是正方形，
，
∽，
，
即，
解得，
所以，这个正方形零件的边长是． 

【解析】设正方形的边长为，表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出的长度，然后列出比例式是解题的关键．
 

27.【答案】解：件，
元．
答：均每天可售出件衬衫，此时每天销售获利元．
设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又每件盈利不少于元，
．
答：每件衬衫应降价元．
该衬衫每天的销售获利不能达到元，理由如下：
设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
即该衬衫每天的销售获利不能达到元． 

【解析】利用日销售量每件衬衫降低的价格，可求出日销售量，再利用每天销售该种衬衫获得的利润每件盈利日销售量，即可求出每天销售该种衬衫获得的利润；
设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该种衬衫获得的利润每件盈利日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
该衬衫每天的销售获利不能达到元，设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该种衬衫获得的利润每件盈利日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到元．
本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混用运算以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

28.【答案】解：，
理由如下：在正方形和等腰直角三角形中，，，，
，
≌，
；
是的中点，
，
，
∽，
，
在中，，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
． 

【解析】由正方形和等腰直角三角形的性质判断出≌即可；
证∽得，由勾股定理得，据此求得，结合知，再证∽得，据此计算可得．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．