2021-2022届广东省乐昌市第一中学高二下数学学科性测试（高考后保温卷）

这是一份2021-2022届广东省乐昌市第一中学高二下数学学科性测试（高考后保温卷），共28页。试卷主要包含了10，050，841等内容，欢迎下载使用。

2021-2022届广东省乐昌市第一中学高二下（高考后保温卷）
数学学科性测试 6.10
对应高考卷：新高考全国Ⅰ卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则 （　　）
A． B． C． D．
2． 为实数 为实数，则 =（　　）
A． B． C．1 D．
3．在平行四边形ABCD中，E，F分别满足 ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
4．在 中， ， ，若使该三角形绕直线 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（　　）
A． B． C． D．
5．在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数 的图像相邻的两个对称中心之间的距离为 ，若将函数 的图像向左平移 后得到偶函数 的图像，则函数 的一个单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
7．定义在R上的函数满足：成立，且在[-1,0]上单调递增，设，则a、b、c的大小关系是 （　　）
A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
8．已知函数 ，若关于 的不等式 （其中 ）解集中恰有两个整数，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知 ， 是两个不重合的平面， ， 是两条不重合的直线（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 与 所成的角和 与 所成的角相等
D．若 ， ， ，则
10．已知，函数，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线 的左、右两个焦点分别为 ，直线 与C交于 两点， 轴，垂足为E，直线 与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（　　）
A．四边形 为平行四边形 B．
C．直线 的斜率为 D．
12．已知函数 则下列说法正确的是（　　）
A．函数 为周期函数．
B．函数 为偶函数．
C．当 时，函数有且仅有2个零点．
D．若点 是函数 图象上一点，则 的最小值与 无关．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（x2+1）（ ）5的展开式的常数项为　 　．
14．圆 上总存在两点到坐标原点的距离为1，则实数a的取值范围是　 　.
15．曲线 ： 与曲线 ： 存在公切线，则a的取值范围是　 　.
16．在平面上给定相异两点A，B，点P满足，则当且时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为　 　.
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17．已知a1，a2，…，an是由m（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{bn}满足bn=n+1﹣ak（k=1，2，…，n）．
（1）当n=3时，写出数列{an}和{bn}，使得a2=3b2；
（2）证明：当n为正偶数时，不存在满足ak=bk（k=1，2，…，n）的数列{an}；
（3）若c1，c2，…，cn是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出ck（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c1+2c2+…+ncn．
（参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1））
18．在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）点 满足 ，且线段 ，求 的最大值.
19．已知在直三棱柱 中， ， ，点 、 分别为 中点.三棱柱外一点 满足 平面 ， .

（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
20．由中央电视台综合频道 和唯众传媒联合制作的 开讲啦 是中国首档青年电视公开课，每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A、B两个地区的100名观众，得到如表的 列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是B地区当中“非常满意”的观众的概率为 ．
　
非常满意
满意
合计
A
30
15
　
B
　
　
　
合计
　
　
　
附：参考公式： ．
（1）完成上述表格并根据表格判断是否有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；
（2）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为X，求X的分布列和期望．








21．已知椭圆标准方程为 ，椭圆的左、右焦分别为 、 ， 为椭圆上的点，且 .过点 且斜率为 的直线 与椭圆交于 、 两点.
（1）求椭圆方程；
（2）若 在以 为直径的圆 上，求直线 的方程和圆 的方程.
22．已知函数 ， .
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 在 上单调递增，求a的取值范围.

教师讲解部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ,
因此， .
故答案为：B.
【分析】求出集合 、 ，利用交集的定义可求得集合 .
对应真题：若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2． 为实数 为实数，则 =（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】 由题意 为实数，
则 ，所以 ，
故答案为：D.
【分析】结合复数的四则运算，化简，用待定系数法，即可得出答案。
对应真题：若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．在平行四边形ABCD中，E，F分别满足 ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：因为在平行四边形ABCD中，E，F分别满足 ， ，

所以 ， ， ．
设 ，则 ，
计算得： ， ．
所以 ，
故答案为：A
【分析】利用向量的加、减运算法则以及线性运算性质整理点到x和y的值，由此即可得出答案。
对应真题：在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
4．在 中， ， ，若使该三角形绕直线 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图所示，

△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分.
由于 ， ， ，
则 ， ，
结合三棱锥的体积公式可得：
以ACD为轴截面的圆锥的体积： ，
以ABD为轴截面的小圆锥的体积： ，
则所形成的几何体的体积是 .
故答案为：A.
【分析】根据题意知大圆锥的体积减去小圆锥的体积（利用圆锥体积公式）即可得出答案。
对应真题：南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A． B． C． D．
5．在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，P到三个顶点距离小于1的区域有三部分，且，故面积为

三角形面积等于6，则P到三个顶点距离都大于1的概率为.
故答案为：B.
【分析】 画图分析，先得到P到三个顶点距离小于1的区域，再计算其面积和，再由几何概型的概率公式可得P到三个顶点距离都大于1的概率.
对应真题：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的图像相邻的两个对称中心之间的距离为 ，若将函数 的图像向左平移 后得到偶函数 的图像，则函数 的一个单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0， ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ，
则：T＝π，
所以：ω＝2
将函数f（x）的图象向左平移 后，
得到g（x）＝sin（2x θ）是偶函数，
故： （k∈Z），
解得： （k∈Z），
由于： ，
所以：当k＝0时 ．
则 ，
令： （k∈Z），
解得： （k∈Z），
当k＝0时，单调递减区间为：[ ]，
由于[ ]⊂[ ]，
故答案为：B．
【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换得出函数 的解析式，即可得出函数 的一个单调递减区间 .
对应真题：记函数的最小正周期为T．若，且的图像关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
7．定义在R上的函数满足：成立，且在[-1,0]上单调递增，设，则a、b、c的大小关系是 （　　）
A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
【答案】D
【解析】因为函数满足：，所以该函数是偶函数，且为对称轴，又因为偶函数图象关于轴对称，所以该函数还是以为周期的周期函数，因为上单调递增，所以在上也单调递增，而，所以.选D
【点评】函数的性质是高考考查的重点内容，一般奇偶性、周期性、对称性、单调性等性质综合起来考查，所以要加以重视，各个性质要灵活应用.
对应真题：设，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若关于 的不等式 （其中 ）解集中恰有两个整数，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增且 ， ， 作出图像如图所示，

令 ， ，
要使 恰有两个整数解，
则 ，解得 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而结合函数的单调性，从而利用已知条件画出函数f(x)的图像，令 ， ，要使 恰有两个整数解，进而求出实数a的取值范围。
对应真题：已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知 ， 是两个不重合的平面， ， 是两条不重合的直线（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 与 所成的角和 与 所成的角相等
D．若 ， ， ，则
【答案】A,B,C
【解析】A.因为 ，所以m垂直平面 内任意一条直线，又 ，所以 ，故正确；
B.因为 ，所以两平面无公共点，又 ，所以m与 无公共点，所以 ，故正确；
C.因为 ，所以 与 所成的角和m与 所成的角相等，因为 ，所以 与 所成的角和n与 所成的角相等，故正确；
D. 因为 ， ， ，所以 相交 或 ，故错误.
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、线面角的求解方法和面面垂直的判定定理，从而找出正确的选项。
对应真题：已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
10．已知，函数，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【解析】时，，在上递增，，，
所以时，恒成立．因此AC错，BD正确．
故答案为：BD．
【分析】由导函数，确定函数在的单调性，再结合最大值，最小值即可判断。
对应真题：已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
11．已知双曲线 的左、右两个焦点分别为 ，直线 与C交于 两点， 轴，垂足为E，直线 与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（　　）
A．四边形 为平行四边形 B．
C．直线 的斜率为 D．
【答案】A,C
【解析】双曲线 关于原点对称，又直线 过原点，所以 关于原点对称，
由 得四边形 为平行四边形，A符合题意；
当 ， 点趋近于右顶点，此时 趋近于平角，因此不可能有 ，B不符合题意．
设 ，则 ，由 轴知 ， ，
而 ，C符合题意；
中， ，因此 ，D不符合题意；

故答案为：AC．
【分析】 画出图形，利用对称性判断四边形的形状，判断A；利用椭圆的形状，判断角的大小判断B；求出直线的斜率判断C；通过直线与椭圆联立．利用向量的数量积为0，推出直线垂直，判断D；
对应真题：已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
12．已知函数 则下列说法正确的是（　　）
A．函数 为周期函数．
B．函数 为偶函数．
C．当 时，函数有且仅有2个零点．
D．若点 是函数 图象上一点，则 的最小值与 无关．
【答案】B,D
【解析】由 得 ，
此时函数 的图象为焦点在x轴对称轴为坐标轴的椭圆的上半部分，
，
由 知，
此时函数的图象为三角函数 在 的部分，
可知函数 不是周期函数，A不符合题意；
，因为 ，所以 ，
所以函数 为偶函数，B符合题意；
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
因为 ，所以当 ，可得 ，
所以函数至少有 2 个零点，C不符合题意；
由 得 ，
此时函数 的图象为焦点在x轴，对称轴为坐标轴的椭圆的上半部分，
椭圆的右焦点为 ，由椭圆性质知 到焦点的距离最小时即为
右顶点 ，此时最小值为 ，所以 的最小值为 ，
当 时， 的点到 的距离的平方大于 ，
则 的最小值与 无关，D符合题意.
故答案为：BD.

【分析】由的性质和图像可判断A选项的正误；利用奇偶性定义可判断B选项的正误；令 解得x可判断C选项的正误；由函数的图像和性质可判断D选项的正误。
对应真题：已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（x2+1）（ ）5的展开式的常数项为　 　．
【答案】-11
【解析】解：由于（x2+1）（ ）5=（x2+1）（ ﹣ + ﹣ + ﹣1），
故展开式的常数项为﹣10﹣1=﹣11，
故答案为：﹣11．
【分析】把（ ）5按照二项式定理展开，可得（x2+1）（ ）5的展开式的常数项．
14．圆 上总存在两点到坐标原点的距离为1，则实数a的取值范围是　 　.
【答案】
【解析】因为圆（x-a）2+（y-a）2=8和圆x2+y2=1相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，可知结论为
【分析】根据两圆相交，得到两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，即可求出实数a的取值范围.
15．曲线 ： 与曲线 ： 存在公切线，则a的取值范围是　 　.
【答案】
【解析】设公切线在 上的切点为 ，在 上的切点为
函数 ， 的导数分别为 ，
则公切线的斜率为 ，整理得
由 可知，
令 ，则
；
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减
；当 时， ，即

故答案为
【分析】设公切线在 上的切点为 ，在 上的切点为 ，利用导数的几何意义得出 ，整理得到 ，构造函数 ，利用导数得出其值域，即可得出a的取值范围.
16．在平面上给定相异两点A，B，点P满足，则当且时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为　 　.
【答案】1
【解析】解：由题意，设，，
因为即
两边平方整理得：所以圆心为，半径
因为的面积的最大值为3，所以，解得：
因为椭圆的离心率
即，所以
由得：
所以面积的最小值为：
故答案为：1.

【分析】由已知条件结合两点间的距离公式即可得出a的取值，然后由椭圆的简单性质计算出c的取值，结合椭圆里a、b、c的关系，计算出b的取值，由此即可得出三角形面积的最小值。
对应真题：
13．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
14．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
15．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17．已知a1，a2，…，an是由m（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{bn}满足bn=n+1﹣ak（k=1，2，…，n）．
（1）当n=3时，写出数列{an}和{bn}，使得a2=3b2；
（2）证明：当n为正偶数时，不存在满足ak=bk（k=1，2，…，n）的数列{an}；
（3）若c1，c2，…，cn是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出ck（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c1+2c2+…+ncn．
（参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1））
【答案】解：（1）当n=3时，数列{an}为：1，2，3； 1，3，2； 2，1，3； 2，3，1； 3，1，2； 3，2，1．
当{an}为：1，2，3时，此时对应的{bn}为：3，2，1，不满足题意；依次可得满足题意的数列{an}和{bn}分别为：
{an}：1，3，2，{bn}：3，1，2；或{an}：2，3，1，{bn}：2，1，3．
（2）证明：若ak=bk（k=1，2，…，n），则有ak=n+1﹣ak（k=1，2，…，n），
于是，当n为正偶数时，n+1为大于1的正奇数，故不为正整数，
∵a1，a2，…，an是均为正整数，
∴不存在满足ak=bk（k=1，2，…，n）的数列{an}；
（3）解：由题意可得，ck=n﹣（k﹣1）=（n+1）﹣k，
∴Sn=c1+2c2+…+ncn=[（n+1）﹣1]+2[（n+1）﹣2]+…+n[（n+1）﹣n]
=（1+2+…+n）（n+1）﹣（12+22+…+n2）
==．
【解析】（1）取n=3，可得数列{an}，结合bk=n+1﹣ak求得数列{bn}，验证a2=3b2得答案；
（2）若ak=bk，则有ak=n+1﹣ak（k=1，2，…，n），得到，由n为正偶数，得n+1为大于1的正奇数，故不为正整数，结合a1，a2，…，an是均为正整数，说明不存在满足ak=bk（k=1，2，…，n）的数列{an}；
（3）由题意可得，ck=n﹣（k﹣1）=（n+1）﹣k，然后利用数列的分组求和得答案．
18．在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）点 满足 ，且线段 ，求 的最大值.
【答案】解：（Ⅰ）∵ ，由正弦定理得 ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
（Ⅱ）在 中由余弦定理知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最大值为6．
【解析】（Ⅰ）首先利用正弦定理将已知等式中的角化为边，由此得到 间的关系，然后由余弦定理求得 ，从而求角 的大小；（Ⅱ）首先利用余弦定理得到 间的关系，然后利用基本不等式即可求得最大值．
19．已知在直三棱柱 中， ， ，点 、 分别为 中点.三棱柱外一点 满足 平面 ， .

（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明：取 的中点为Q，连接 易证 三点共线
分别为 的中点 又 平面 ， 平面 ，
， 平面 ， 平面 面 面 ，
又 平面 平面
（2）解：取BC，AC的中点分别为F，H， 又三角形 为等腰直角三角形， 所以 两两垂直，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，

则 ， ， ， ，
从而 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
得 ，取 ，则 ，
因而 .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
得 ，取 ，则 ，因而 ，
从而 .
易知二面角 为钝二面角，因而二面角 的余弦值为 .
【解析】（1）取 的中点为Q，连接 证得 得证 平面 ；（2）证 两两垂直，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角 的余弦值.
20．由中央电视台综合频道 和唯众传媒联合制作的 开讲啦 是中国首档青年电视公开课，每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A、B两个地区的100名观众，得到如表的 列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是B地区当中“非常满意”的观众的概率为 ．
　
非常满意
满意
合计
A
30
15
　
B
　
　
　
合计
　
　
　
附：参考公式： ．
（1）完成上述表格并根据表格判断是否有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；
（2）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为X，求X的分布列和期望．








【答案】（1）解：完成 列联表如下：
　
非常满意
满意
合计
A
30
15
45
B
35
20
55
合计
65
35
100
则 ，
没有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．
（2）解：从 地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为 ，
随机抽取 人， 的可能取值为 ， ， ， .
，
，
，
，
的分布列为：
X
0
1
2
3
P




．
【解析】（1）完成 列联表，求出 ，从而没有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．（2）从 地区随机抽取 人，抽到的观众“非常满意”的概率为 ，随机抽取 人， 的可能取值为 ， ， ， ，由此能求出 的分布列和 .
21．已知椭圆标准方程为 ，椭圆的左、右焦分别为 、 ， 为椭圆上的点，且 .过点 且斜率为 的直线 与椭圆交于 、 两点.
（1）求椭圆方程；
（2）若 在以 为直径的圆 上，求直线 的方程和圆 的方程.
【答案】（1）解：由已知得 ， ，
∴ ， ，
所以椭圆标准方程为
（2）解：由已知，直线 过点 且斜率为 ，
所以可设直线 方程为 ，设 、 ，
联立方程组 ，
， ，
因为以 为直径的圆 恰好经过点 ，
∴ ，∴ ，
所以 ，
化简得 ，
，
化简得 ，
解得 或 （舍去），
直线 的方程是 .
此时， ， .
.
∴圆 的方程是
【解析】（1）利用椭圆的左、右焦点坐标，从而求出c的值，再利用椭圆的定义，从而求出a的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2) 由已知，直线 过点 且斜率为 ， 所以利用点斜式设出直线的方程，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程，从而结合韦达定理， 因为以 为直径的圆 恰好经过点 ， 再结合圆的直径所对的圆周角为直角， ∴ ， 再利用两向量垂直数量积为0 ，从而结合数量积的坐标运算，从而求出k的值，进而求出直线的方程，从而求出此时对应的点M的坐标，进而求出圆的圆心坐标，再利用两点距离公式求出圆的半径，进而求出圆的标准方程。
22．已知函数 ， .
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 在 上单调递增，求a的取值范围.
【答案】（1）解： 的定义域为 ， ，
当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上递减；
当 时，令 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上递减，在 上递增
（2）解：
在 恒成立，
所以 ，即
令 ，则有 ，
令 ，则有 在 上恒成立.
故 在 上为减函数，
所以 在 上为减函数，
则 ，故 .
另解令 ，则至少有 .
当 时，则有 ，
令 ，开口向上，对称轴 ，
故 在 上为增函数，
所以 在 上为增函数，
则 ，故
【解析】（1）求 ， ，对参数a分类讨论，求出 的解的区间，即可得出结论；（2）根据条件即求 在 恒成立a的取值范围，求出 ，即 ，分离参数 ，在 恒成立，构造函数 ，只需 ，通过二次求导判断 的正负，进而判断 的单调性，求出 ；或 ，则至少有 ， ，然后求 ，求出单调区间，进而求出 ，解不等式 ，即可得出结论.
对应真题：
17．
记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
18．
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；
（2）求的最小值．
19．
如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
20．
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附：，

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
21．
已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；
（2）若，求的面积．
22．
已知函数和有相同的最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．