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    2021年江苏省高三年级百校大联考-数学(word版含解析) 试卷

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    2021年江苏省高三年级百校大联考-数学(word版含解析)

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    这是一份2021年江苏省高三年级百校大联考-数学(word版含解析),共21页。试卷主要包含了38寸B,【答案】B,【答案】A,【答案】BD等内容,欢迎下载使用。
     2021年江苏省高三年级百校大联考 已知集合,则A.  B.  C.  D. 若复数R为纯虚数,则z的共轭复数是A.  B.  C. i D. 2i设函数A.  B. 2 C. 4 D. 8《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升,其外形由圆柱和长方体组合而成.已知某组合体由圆柱和长方体组成,如图所示,圆柱的底面直径为1寸,长方体的长、宽、高分别为寸,3寸,1寸,该组合体的体积约为立方寸,若,则圆柱的母线长约为A.  B.  C.  D. 已知函数,现有如下四个命题:甲:该函数的最大值为乙:该函数图象可以由的图象平移得到;丙:该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为丁:该函数图象的一个对称中心为如果只有一个假命题,那么该命题是A.  B.  C.  D. ”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
    C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件已知双曲线C的左、右焦点分别是为,过的直线与C交于AB两点.若,则C的离心率为A. 2 B. 3 C. 4 D. 5已知角与角的顶点均与原点O重合,始边均与x轴的非负半轴重合,它们的终边关于y轴对称.若,则A.  B.  C.  D. 已知,且,则A.  B.  C.  D. 已知两点,曲线C上存在点P满足,则曲线C的方程可以是A.  B.  C.  D. 分别为数列的前n项和.已知,则A. 是等比数列 B. 是递增数列
    C.  D. 如图,在矩形ABCD中,,将沿直线AC翻折,形成三棱锥下列说法正确的是A. 在翻折过程中,三棱锥外接球的体积为定值
    B. 在翻折过程中,存在某个位置,使得
    C. 当平面平面ABC时,
    D. 当平面平面ABC时,三棱锥的体积为已知向量满足,则__________.写出一个能说明“若函数的导函数是周期函数,则也是周期函数”为假命题的函数:__________.已知AB是过抛物线焦点F 的弦,P为该抛物线准线上的动点,则的最小值为__________.函数的最小值为__________;若存在,使得,则a的取值范围为__________.已知数列满足N,且的等比中项.的值;求数列的前n项和






     在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.中,角ABC所对的边分别为abc,且__________.求角C的大小;,求的面积.






     一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂,且只受重力的影响,这个链子形成的曲线形状被称为悬链线.选择适当的坐标系后,悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数,其解析式可以为,其中ab是常数.时,判断的奇偶性;a时,若的最小值为,求的最小值.






     如图,三棱柱的底面ABC为正三角形,DAB的中点,,平面底面证明:平面平面求二面角的余弦值.






     在平面直角坐标系xOy中,已知点,动点满足直线AEBE的斜率之积为,记E的轨迹为曲线C的方程,并说明C是什么曲线;过点的直线lCPQ两点,过点P作直线的垂线,垂足为G,过点O,垂足为证明:存在定点N,使得为定值.






     已知函数R.讨论的单调性;若关于x的不等式上恒成立,求a的取值范围.







    答案和解析 1.【答案】B
     【解析】【分析】本题考查交集的求法,一元二次不等式的解法,属于基础题.
    先求出集合A,再利用交集定义能求出【解答】解:集合 
     故答案选:  2.【答案】A
     【解析】【分析】本题主要考查了纯虚数、共轭复数的概念,属于基础题.
    先利用纯虚数的定义求出m的值,求出复数z,再利用共轭复数概念即可求解.【解答】解:复数为纯虚数,



    复数z的共轭复数为
    故答案选:  3.【答案】C
     【解析】【分析】本题考查了分段函数求值,属于基础题.
    根据题意可得,代入即可求得结果.【解答】解:因为
    所以
    故答案选:  4.【答案】C
     【解析】【分析】本题主要考查圆柱的体积,考查简单组合体及其结构特征,属于中档题.
    由题意得求出长方体的体积和圆柱的体积,设圆柱的母线长为l,则由圆柱的底面半径为寸,通过体积公式,即可求出【解答】解:由题意得,长方体的体积为立方寸
    故圆柱的体积为立方寸
    设圆柱的母线长为l,则由圆柱的底面半径为寸,得,计算得
    故答案选:  5.【答案】B
     【解析】【分析】本题主要考查的是图像与性质以及命题真假的判断,属于基础题.
    分别将甲、乙、丙、丁一一判断即可.【解答】解:由命题甲知
    根据命题乙,由,可知
    由命题丙知,则,那么命题乙和命题丙矛盾.
    若假命题是乙,则,由命题丁知,,符合题意;
    若假命题是丙,则,由命题丁知,,不满足条件
    故假命题是乙.
    故答案选:  6.【答案】B
     【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,涉及三角函数的性质,以及利用导数判断函数的单调性,考查了逻辑推理能力与运算能力,属于基础题.
    时,设函数,对函数求导,结合函数的单调性,求出对应的取值范围,可判断必要性是否成立;举出特例判断充分性是否成立.【解答】解:当时,设函数

    上单调递增,所以

    成立,满足必要性;
    时,不一定成立,
    ,但,不满足充分性,
    故“”是“”的必要不充分条件.
    故答案选:  7.【答案】A
     【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质,考查余弦定理,考查数形结合的解题思想方法,考查计算能力,是中档题.
    由题意知过的直线与C的右支交于AB两点,可设,则,由双曲线的定义及余弦定理,求出ac,即可求出双曲线的离心率.【解答】解:由题意得:过的直线与C的右支交于AB两点,
    可设,则
    由双曲线的定义得
    所以
    中,由余弦定理得
    中,由余弦定理得,解得,所以
    所以C的离心率为
    故答案选:  8.【答案】A
     【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义,同角三角函数之间的关系,两角和与差的余弦公式,属于基础题.
    由题意得的关系,利用条件求出的值,再利用两角差的余弦公式,化简所求即可求解.【解答】解:因为,则
    关于y轴对称,

    所以
    同理,

    故答案选:  9.【答案】BD
     【解析】【分析】本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用,属于基础题.
    利用题目条件,对照选项逐个判断即可.【解答】对于选项A,由题意,易知,取,可知不成立,故A错误;
    对于选项B,由题意,易知,从而
    B正确;
    对于选项C,取,可知不成立,故C错误;
    对于选项D,由于xy 异号,从而均小于0

    当且仅当时取等号,而由于,从而等号取不到,即,故D正确.
    故答案选:  10.【答案】BC
     【解析】【分析】本题主要考查两条直线的位置关系,考查直线与圆的位置关系,考查直线与双曲线的位置关系,考查直线与抛物线的位置关系,考查中点坐标,考查直线垂直的判定,属于中档题.
    利用直线与圆锥曲线的位置关系,联立直线与曲线的方程,根据解的情况逐一判断即可.【解答】解:由,得知点PAB的垂直平分线l上,
    因为线段AB的中点坐标为,且AB与直线l垂直,且过AB中点,
    所以l的方程为,所以l平行,可知两直线无交点,故A不正确;
    联立方程组,消y,可得,可知两直线有交点,故B正确;
    将直线l的方程代入双曲线,得,所以l与双曲线相交,故C正确;
    联立方程组将直线l的方程代入,得,方程无实数解,故D不正确.
    故答案选:  11.【答案】ACD
     【解析】【分析】本题主要考查的是等比数列的判定和性质以及错位相减法的应用,属于中档题.
    利用为等比数列,判定A正确;0比较,得出数列单调性判断B错误.根据,进一步判定D正确.【解答】解:因为,所以当时,
    ,即
    ,所以,即
    所以是首项为1,公比为的等比数列,所以,故A正确;
    因为
    所以是递减数列,故B错误;
    因为,所以,故C正确;
    ①,②,
    -②得
    所以
    所以,所以,故D正确.
    故答案选:  12.【答案】ACD
     【解析】【分析】本题主要考查了简单多面体及其结构特征,线面垂直的判定,棱柱,棱锥,棱台的侧面积,表面积和体积,球的表面积和体积的应用,属于较难题.
    利用三棱锥的侧面的特征和侧棱的长度,可判断外接球球心的位置,可判断出A选项;利用反证法,假设,通过线面垂直的判定和性质可得到,得到,与条件矛盾,可判断出B选项;根据条件分别过DAC的垂线DE,过BAC的垂线BF,再结合条件分别在几个直角三角形依次求出DEAEBFEFBE,最后在直角三角形BED中,求出BD的长度,即可判断C选项;利用条件结合面面垂直的性质,可得到平面DBC,即AB为三棱锥在平面DBC上的高,在直角三角形ABD中可求出BD的长度,结合条件中的,可得到,故可求得三棱锥的体积为,即可判断D选项.【解答】解:设OAC的中点,则
    所以三棱锥外接球的半径为,所以三棱锥外接球的体积为定值,故A正确;
    若在翻折过程中,存在某个位置,使得,又,则平面ABD
    所以,从而斜边CD的长大于直角边BC,这与矛盾,故B错误;
    当平面平面ABC时,过DAC的垂线DE,垂足为E
    平面ABC
    在平面ABC上,过BAC的垂线BF,垂足为F
    平面DAC

    在直角三角形BED中,,故C正确;
    当平面平面ABC时,平面平面
    平面ABC
    所以平面DBC,计算得
    因为,所以
    所以
    所以三棱锥的体积为,故D正确.
    故答案选:  13.【答案】5
     【解析】【分析】本题考查向量的模,向量数量积的运算,属于基础题.根据向量的数量积的性质求解即可.【解答】解:因为所以
    故答案为:  14.【答案】
     【解析】【分析】本题考查函数求导以及周期性,属于基础题.
    按题目要求举出反例即可.【解答】解:,则是周期函数,而不是周期函数.
    符合题意.  15.【答案】0
     【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系和圆锥曲线中的最值问题,属于中档题.
    根据条件,直线AB的方程可设为,与抛物线联立,设,得出,由韦达定理和向量的数量积可得的最小值.【解答】解:因为抛物线的焦点为
    所以直线AB的方程可设为
    代入抛物线方程得


    因为P为该抛物线准线上的动点,可设


    所以



    的最小值为  16.【答案】2
     【解析】【分析】本题考查利用导数求函数最值,考查不等式的恒成立问题,关键是利用导数判断函数的单调性,进而将问题转化为求函数的最值问题.
    因为为偶函数,所以的最小值就是上的最小值,由单调性求得最小值即可;
    可知,代入等价于,即,利用导数判断单调性,再对a的取值进行讨论,得出结论.【解答】解:因为为偶函数,所以的最小值就是上的最小值,

    ,则
    所以上单调递增,所以
    所以上单调递增,
    所以的最小值为
    等价于



    时,

    ,则
    注意到 ,所以
    所以上单调递增,
    所以,所以上单调递增,
    ,不合题意.
    时,设
    所以上单调递增,所以
    所以存在,使得,当时,
    所以上单调递减,于是有
    即存在,使得

    综上所述,a的取值范围为  17.【答案】解:,可得
    所以
    因为的等比中项,所以
    ,则
    ,所以

    n为偶数时,

    n为奇数时,

    综上所述,
     【解析】本题考查了等比中项,等差数列的前n项和,以及并项法求数列前n项和,属于中档题.
    成等比数列,求得
    得到,对n进行奇数,偶数分类讨论,利用并项法即可得到结果.
     18.【答案】解:选择条件①
    及正弦定理,可得

    由余弦定理,得
    因为,所以
    选择条件②
    及正弦定理,可得


    中,
    所以

    因为,所以
    因为,所以
    选择条件③
    及正弦定理,可得
    因为,所以
    中,,可得

    因为,所以,则,故
    由正弦定理,得
    所以
    所以的面积
     【解析】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和与差的三角函数公式,三角形面积公式的应用,属于中档题.
    根据已知及正弦定理,余弦定理,两角和与差的三角函数公式的计算,求出角C的大小;
    根据已知及正弦定理,三角形面积公式的计算,求出的面积.
     19.【答案】解:时,函数的定义域为
    因为对任意的,都有,且
    所以为偶函数.
    因为当a时,的最小值为,且
    所以
    当且仅当时,即时,等号成立
    ,所以,所以
    所以
    所以



    当且仅当,即时,等号成立,
    所以的最小值为
     【解析】本题主要考查函数奇偶性和最值的应用,结合指数幂的运算以及基本不等式是解决本题的关键,属于中档题.
    利用函数奇偶性定义求解即可;
    利用函数的最值,结合基本不等式进行求解即可.
     20.【答案】证明:因为三棱柱的底面ABC为正三角形,DAB的中点,所以
    又在三棱柱中,
    所以
    因为,且CD都属于平面
    所以平面
    因为平面,所以平面平面
    解:因为平面底面ABC,平面底面
    所以底面
    故以D为坐标原点,DBDC所在直线分别为xyz轴,建立如图所示的空间直角坐标系

    ,则

    设平面的法向量为
    平面的法向量为
    ,得
    ,得
    所以
    由图知二面角是钝二面角,
    所以二面角的余弦值为
     【解析】本题主要考查的是面面垂直的判定以及二面角的求解,属于中档题.
    利用线面垂直得到面面垂直;
    建立空间坐标系,利用法向量,求解二面角即可.
     21.【答案】解:由题得
    化简得
    所以C是中心在原点,焦点在x轴上,不含左、右顶点的椭圆.
    证明:由知直线lx轴不重合,可设
    联立


    所以
    因为
    所以直线QG的斜率为
    所以直线QG的方程为,所以直线QG过定点
    因为,所以为直角三角形,
    OH的中点,则,即为定值.
    综上,存在定点,使得为定值.
     【解析】本题主要考查直线的斜率,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查一元二次方程根与系数的关系,考查圆锥曲线中的轨迹方程,属于中档题.
    分别求由直线AEBE的的斜率,根据直线AEBE的斜率之积为,化简即可求曲曲线C的方程,注意直线 AEBE斜率的条件;
    知直线lx轴不重合,可设,联立,设,则,求出m
    ,求出直线QG的斜率及直线方程,求出直线QG过定点H,由,则为直角三角形,取OH的中点N,即可求出为定值.
     22.【答案】解:
    ①若,则,所以上单调递减;
    ②若,令,得
    时,时,
    上单调递增,在上单调递减.
    不等式等价于上恒成立,


    对于二次函数
    所以其必有两个零点,
    又两零点之积为,所以两个零点一正一负,
    设其中一个零点,则,即
    时,时,
    此时上单调递增,在上单调递减,
    ,即
    设函数

    时,时,
    所以上单调递减,在上单调递增.

    所以
    上单调递增,得
    a的取值范围为
     【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,二次函数的零点与一元二次方程的关系,不等式的恒成立问题的应用.
    根据已知及利用导数研究函数的单调性的计算,分两种情况讨论的单调性;
    根据已知及利用导数研究函数的单调性,二次函数的零点与一元二次方程的关系,不等式的恒成立问题的计算,构造函数,结合导函数,求出a的取值范围.
     

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