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    (通用版)高考数学选填考点压轴题型26《有关三角形中的范围问题》(含答案详解)
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    (通用版)高考数学选填考点压轴题型26《有关三角形中的范围问题》(含答案详解)

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    这是一份(通用版)高考数学选填考点压轴题型26《有关三角形中的范围问题》(含答案详解),共8页。

    题型26   有关三角形中的范围问题

    【方法点拨】

    1.正弦平方差公式sin2sin2sin( sin(

    2.化边、化角、作高三个方向如何选择是难点,但一般来说,涉及两内角正切间的等量关系时作高更简单些.

     

    【典型题示例】

    1   在锐角中,,则的取值范围为______________.

    【答案】

    【解析】,利用正弦定理可得:

    由正弦平方差公式得

    易知,故

    为锐角三角形,,即

    ,令,则

    由对勾函数性质知,上单调递增,

    .

    2   的内角满足,则的最小值是           

    【答案】

    【分析】将已知和所求都化边,然后使用基本不等式即可.所求的最值可想到余弦定理用边进行表示,,考虑角化边得到:,进而消去计算表达式的最值即可.(公众号:钻研数学)

    【解析】 ∵sin Asin B2sin C.

    由正弦定理可得ab2c,即c

    cos C

    当且仅当3a22b2时等号成立.

    ∴cos C的最小值为.

    3  在锐角三角形 ABC 中,已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C,则的最小值为    

    【答案】

    【解析一】(作高线,化斜为直,角化边)由正弦定理,得:

    如图,作BD⊥ACD,设ADxCDyBDh

    因为,所以,,化简,得:

    ,解得:x3y

    .

    【解析二】(边化角)

    由正弦定理,得:,即

    由余弦定理得:,即

    由正弦定理,得:,即,化简得

    主元,化简.

    4  中,角所对的边分别为,若,则的面积的最大值为             

    【答案】

    【解析一】(余弦定理+二次函数)

    看到式子的结构特征,联想余弦定理得:

    所以

    时,的面积的最大值为

    【解析二】(三角形中线长定理+基本不等式)

    BC边上的中线为AM,则

       

    代人得:,即

    根据基本不等式得:

    又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高

    所以

    所以,当且仅当中线等于高,即中线垂直于底边时,等号成立,此时的面积的最大值为

    【解法三】(隐圆)

    AB的中点为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.

    ABC(xy),则由a2b22c28,得2y22y22c28,即x2y24c2,所以点C在以原点(0,0)为圆心,为半径的圆上,所以S.


    【巩固训练】

    1. (多选题)在中,角的对边分别为,若,则角可为(   

    A B C D

    2.ABCcosB的最小值是       .

    3. 已知中, ,则的最大值是  (    )

    A       B      C       D

    4.的内角满足,则角的最大值是      .

    5.已知在锐角三角形ABC中,角ABC所对的边分别为abc,若,则的取值范围是(  

    A.  B.  C.    D.

    6.在锐角中,角的对边分别是,当则变化时,存在最大值,则正数的取值范围为______________.

    A.                                     B.               

     C.                                  D.

    7. 中,设角的对边分别是成等差数列,则的最小值为________


    【答案与提示】

    1. 【答案】BC

    【解析】,利用正弦定理可得:

    由正弦平方差公式得

    易知,故

    ,即

       ,故选:BC.

    2.【答案】

    【提示】已知可化为

    ,弦化切得

    .

    3. 【答案】A

    【提示】化边、化角、作高三个方向均可解决.

    4.【答案】

    【解析】由可得:

    递减,

    5. 【答案】C

    【解析】由得:,即

    ,所以

    为锐角三角形,,即

    6. 【答案】A

    【解析】由得:

    根据正弦定理得:,即

    为锐角三角形,,即

    欲使存在最大值,必有

    ,故,即.

    7.【答案】

    【解析】由题得

    所以,所以

    因为

    所以 故答案为:

     

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