(通用版)高考数学选填考点压轴题型33《与导数相关的极值、最值》(含答案详解)

题型33   与导数相关的极值、最值

【方法点拨】

极值问题转化为(二次)方程根的问题,为求某个表达式的范围,其难点在于消元、新元的范围.

【典型题示例】

例1     (2021·江苏天一三检)已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.                     D.

【答案】D

【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数性质可得，由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.

【解析】由题意得，

令，得，

由题意知在上有两个根，，

∴，得．

由根与系数的关系得，由求根公式得，

∵，∴，∵，∴．

则，

令，则．

设，则，

易知在上单调递增，

∴，

∴当时，函数为减函数，

∴，且，

∴，

故选：D.

点评：

1.根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数的取值范围，以及与之间的关系；

2.将题意转化为关于的函数，构造出，利用导数判断单调性.

例2   已知，是函数，的两个极值点，若， 则的取值范围为　        　．

【答案】

【分析】先由题得所以，化简得=，再构造函数，利用导数求函数的值域即得解.

【解析】（）

∵，是函数的两个极值点

∴是两个根，

由韦达定理得，且

故，

所以

令，

则

由，

所以在单调递减，

又当时，， ，

所以函数g(x)的值域为.

即的取值范围为.

点评：解决以极值为背景的范围问题，关键点有二，一是减元，二是构造函数，最终转化为区间上的最值问题.

例3    已知函数(aR)的最小值为2，则实数的值是_________.    

【答案】或

【解析】∵，

        当a≤0时，，∴是(0，)上的减函数，

        ∴函数无最小值，舍去；

        当a＞0时，由得，，

        ∴在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，

        ∴函数的最小值为，

        由，得，

        解得或.

【巩固训练】

1. 设函数有两个极值，实数的取值范围是____________.  

2.若函数在和两处取得极值，且，则实数a的取值范围是       ．

3.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是             ．

4.已知函数（其中a为常数），设函数有两个极值点，若恒成立，求实数的取值范围．

5.已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx(其中a，b为常数且a≠0)在x＝1处取得极值，若f(x)在(0，e]上的最大值为1，则a的值为          ．

6.设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

【答案与提示】

1.【答案】(，0)

【解析】 ∵，

        若函数有两个极值，则，解得，

        故a的取值范围是(，0).

2.【答案】 [，)

【解析】∵函数在和两处取得极值，且

∴方程有两个根和，且

考虑函数和的图象，利用导数，不难得到时，方程 有两个根

进一步的，由

构造函数，可知在区间上减，在区间上增，且

∴，即，解之得

∴，故

综上得：实数a的取值范围是．

3.【答案】

【解析】

不难得出：，，

（下略）.

4.【答案】

【解析】 ，

若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，

易知．则，故，

要使恒成立，只需恒成立．

因为

令，则，

当时，，为减函数，所以．

由题意，要使恒成立，只需满足．

所以实数的取值范围．

5.【答案】a＝或a＝－2

【解析】因为f(x)＝ln x＋ax2＋bx，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋b，

因为函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx在x＝1处取得极值，

所以f′(1)＝1＋2a＋b＝0，b＝－2a－1

f′(x)＝＝(x＞0)，

令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，

因为f(x)在x＝1处取得极值，所以x2＝≠x1＝1.

①当a＜0，即＜0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，

所以f(x)在区间(0，e]上的最大值为f(1)，令f(1)＝1，解得a＝－2.

②当a＞0，即x2＝＞0时，

若＜1，f(x)在，[1，e]上单调递增，在上单调递减，所以最大值可能在x＝或x＝e处取得，而f＝ln＋a2－(2a＋1)·＝ln－－1＜0，

令f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1，解得a＝.

若1＜＜e，f(x)在区间(0,1)，上单调递增，在上单调递减，

所以最大值可能在x＝1或x＝e处取得，

而f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，

令f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1，

解得a＝，与1＜x2＝＜e矛盾．

若x2＝≥e，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以最大值可能在x＝1处取得，而f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，矛盾．

综上所述，a＝或a＝－2.

6.【答案】

【解析】求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，

令，，

在递减，在递增，显然在取得最小值，

作的图象，并作的图象，注意到，，

（原定义域，这里为方便讨论，考虑，

当时，直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大于；

当时在两侧附近同号，不是极值点；

当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合．

故选：．