(通用版)高考数学选填考点压轴题型40《圆的“双切线”问题》(含答案详解)

题型40   圆的“双切线”问题

【方法点拨】

1.涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，根据对称性,常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”(切点、圆心、圆外点为顶点)，向点与圆心的距离问题转化.

2.圆上存在一点、圆心与圆外一点（或圆上存在两点与圆外一点）的张角有最大值，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.

【典型题示例】

例1    （2020·新课标Ⅰ·理科·11）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】D

【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．

【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．

依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，

当直线时，，，此时最小．

∴即，由解得，．

所以以为直径的圆的方程为，即，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

例2    在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:y=kx+6上存在点P，过点P作圆O: x2+ y2=4的切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1 x2+ y1y2=－2，则实数k的取值范围为          .

【答案】(－∞，－]∪[，＋∞)

【分析】由x1 x2+ y1y2=－2的结构联想“数量积”的定义，“算两次”得∠ACB=1200，双切线问题利用对称性，转化为特征直角△PAC，易得∠APC=300，PC=4，故当直线l:y=kx+6上的点P 只需满足PC=4即满足题意.而点C与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C到直线的距离不大于4.

【解析】由x1 x2+ y1y2=－2得：

，则，

在△PAC，∠APC=300，PC=4，

当直线l上的点 P满足PC=4即满足题意.

又因为点C与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C到直线的距离不大于4.

由点到直线的距离公式得：，解之得

所以k的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞).

例3   过点作圆: 的切线,切点分别为,则 的最小值为__________.

【答案】

【分析】为了求出的最小值，需建立目标函数，这里选择使用数量积的定义作为突破口，选择线段长为“元”.

设∠APC=，则，，

故

又点在直线，故即

所以

故 的最小值为.

点评：（1）求最值问题要牢固树立建立目标函数的意识；

（2）涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”，向点与圆心的距离问题转化.

例4    已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1(a为实数)．若圆O与圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30，则a的取值范围为        ．

【答案】[－，0]

【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将Q固定不动，则点P在圆O运动时，当PQ为圆O的切线时，∠OQP最大，故满足题意，需∠OQP≥30，再将角的范围转化为O、Q间的距离问题，即需OQ≤2.再固定P不动，易得只需OM≤3即可，利用两点间距离公式(a＋3)2＋(2a)2≤9，解得－ ≤a≤ 0.

点评：圆上存在一点（或两点）与圆外一点的张角问题，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.

例5   平面直角坐标系xOy中，点P在x轴上，从点P向圆C1：x2＋(y－3)2＝5引切线，切线长为d1，从点P向圆C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝7引切线，切线长为d2，则d1＋d2的最小值为_____．

【答案】5

【分析】求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题.

【解析】设点P(x，0)，则

d1＝，d2＝，d1＋d2＝＋，

几何意义：点P(x，0)到点M(0，2)，N(5，－3)的距离和．

当M，P，N三点共线时，d1＋d2有最小值5，此时P(2，0).

【巩固训练】

1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围是________．

2.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A横坐标的取值范围是__________．

3.已知椭圆C1：（a＞b＞0）与圆C2：，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是_______

4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O: x2+ y2= r2 (r＞0) 与圆C: (x－6)2+ (y－8)2=4，过圆O上任意一点P作圆C的切线，切点分别为A，B，，则实数r的取值范围为          .

5.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，若对于直线 上的任意一点P，在圆C上总存在Q使∠PQC＝，则实数m的取值范围为       ．

6.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：x＋ay－3＝0(a>0)，过直线l上一点P作圆O的两条切线，切点分别为M，N.若·＝，则正实数a的取值范围是________．

7. 过直线l：y＝x－2上任意一点P作圆C：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线最短时，△PAB的面积为________．

8. 已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点．且满足AP⊥BP，那么点P的纵坐标的取值范围是________．

【答案与提示】

1.【答案】 [,2)

【提示】直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化.

2．【答案】[1，5]

【提示】∠BAC最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.

3.【答案】

【分析】如图，设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.

【解析】

如图，设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，

可知，

又因为在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，

所以，即得，所以，

所以椭圆C1的离心率，

又，所以.

4.【答案】

5.【答案】

6.【答案】[，+∞]

【解析】如下图，设∠MPO＝α，由切线的性质知∠NPO＝α，PM＝PN，

则·＝||·||·cos 2α＝||2(1－2sin 2α)＝，

即(PO2－1)＝，解得PO＝，故点P的轨迹为x2＋y2＝3.

因为点P在直线l：x＋ay－3＝0(a>0)上，

所以直线l与圆x2＋y2＝3有交点，即圆心到直线l的距离为d＝≤，解得a≥.

7.【答案】

8.【答案】[2,6]