初中数学华师大版九年级上册第24章 解直角三角形综合与测试练习题

第24章     单元测试

一、选择题(每小题3分，共24分)

1．cos60°的值等于（   ）

A.  B.  C.  D.

2．已知sinA＝，则锐角A的度数是（   ）

A．30°  B．45°  C．60°  D．75°

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

4．在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则cos的值是（   ）

A.  B.  C.  D.

5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（   ）

A．2  B.  C.  D.

第5题图

6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为（   ）

A．26米  B．28米  C．30米  D．46米

第6题图

7．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为（   ）

A．50m  B．51m

C．(50＋1)m  D．101m

第7题图

8．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为（   ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题(每小题3分，共30分)

9．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosA＝.

10．在△ABC中，若cosB＝，tanA＝，且∠A，∠B为锐角，则△ABC是三角形．

11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝.

第11题图

第14题图

12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是．

13．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＋sinB＝，则sinA－sinB＝.

14．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为m.

15．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°，作业时调整成60°(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了m.

第15题图

16．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是m.

第16题图

17．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD＝2：3，那么tan∠EFC值是．

第17题图

18．如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为米(结果保留根号)．

三、解答题(共66分)

19．(8分)计算：

(1)10sin30°－|3tan30°－1|＋sin245°；

(2)－5tan230°＋2.

20．(8分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1.

(1)求BC的长；

(2)求tan∠DAE的值．

21.(6分)如图，在教学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC＝22米，求旗杆CD的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)．

22．(8分)如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°.如果这时气球的高度CD为90米，且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．

23．(8分)已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋＝0.

(1)试判断△ABC的形状；

(2)求(1＋sinA)2－2－(3＋tanC)0的值．

24．(8分)如图①是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图②所示的数学模型．已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝30°，∠CBD＝75°，AB＝60m.

(1)求点B到AC的距离；

(2)求线段CD的长度．

25．(8分)如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1∶，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．

26．(12分)在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图，表盘是△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝120°.在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC于点M，BM的长为(20－20)cm.

(1)求AB的长；

(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2014秒，交点又在什么位置？请说明理由．

参考答案：

1．A　2.A　3.D　4.B　5.D　6.D　7.C

8．D　解析：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E.

∵tanB＝，即＝，

∴设AD＝5x，则AB＝3x.

∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，

∴△CDE∽△BDA，

∴＝＝＝，

∴CE＝x，DE＝x，

∴AE＝x，

∴tan∠CAD＝＝.故选D.

9.　10.直角　11.2　12.　13.±

14．9　15.2(－)　16.135　17.

18．(8－5.5)　解析：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG.

∵i＝＝，AB＝8米，

∴BE＝米，AE＝米．

∵DG＝1.6米，BG＝0.7米，

∴DH＝DG＋GH＝1.6＋＝8(米)，AH＝AE＋EH＝＋0.7＝5.5(米)．

在Rt△CDH中，∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝8(米)，tan30°＝＝，

∴CH＝8(米)．

又∵CH＝CA＋5.5，即8＝CA＋5.5，

∴CA＝(8－5.5)米．

19．解：(1)原式＝10×－＋·＝5－(－1)＋＝6－＋；(4分)

(2)原式＝＋1－5×＋2×＝＋1－＋2－＝.(8分)

20．解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，

∴DC＝AD＝1.(2分)

在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，

∴AB＝＝3，

∴BD＝＝2，

∴BC＝BD＋DC＝2＋1；(5分)

(2)    ∵AE是BC边上的中线，

∴CE＝BC＝＋.

∴DE＝CE－CD＝－，

∴tan∠DAE＝＝－.(8分)

21．解：过B作BE⊥CD交CD于E.(1分)

在Rt△DBE中，BE＝AC＝22米，∠DBE＝32°，

∴DE＝BE·tan32°≈22×0.62＝13.64(米)，(4分)

∴CD＝AB＋DE＝1.5＋13.64＝15.14≈15.1(米)．(6分)

22．解：由已知，得∠ECA＝30°，∠FCB＝60°，CD＝90，EF∥AB，CD⊥AB于点D.

∴∠A＝∠ECA＝30°，∠B＝∠FCB＝60°.(2分)

在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，∴AD＝＝＝90×＝90(米)．(4分)在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，tanB＝，∴DB＝＝＝30.(6分)

∴AB＝AD＋BD＝90＋30＝120(米)．(7分)

答：建筑物A、B间的距离为120米．(8分)

23．解：(1)∵(1－tanA)2＋＝0，

∴tanA＝1，sinB＝，(2分)

∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，

∴△ABC是锐角三角形；(4分)

(3)    ∵∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，

(4)    ∴原式＝－2－1＝.(8分)

24．解：(1)过点B作BE⊥AC于点E，

在Rt△AEB中，AB＝60m，sinA＝，

∴BE＝60×＝30(m)，即B到AC的距离是30m；(4分)

(2)    ∵cosA＝，∴AE＝60×＝30(m)．

在Rt△CEB中，∠ACB＝∠CBD－∠A＝75°－30°＝45°，

∴BE＝CE＝30m，

∴AC＝AE＋CE＝(30＋30)m.(6分)

在Rt△ADC中，sinA＝，则CD＝(30＋30)×＝(15＋15)(m)．(8分)

25．解：过点E作EF⊥BC于点F，EN⊥AB于点N.

∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1∶，

∴设EF＝x米，则FC＝x米，(2分)

∵CE＝20米，∴x2＋(x)2＝400，解得x＝10，则FC＝10米．(4分)

∵BC＝25米，∴BF＝NE＝(25＋10)米，

∴AB＝AN＋BN＝NE＋EF＝10＋25＋10＝(35＋10)(米)．(7分)

答：建筑物AB的高为(35＋10)米．(8分)

26．解：(1)如图，过A作AD⊥BC，垂足为D.

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠ABD＝30°.(2分)

∵∠BAM＝15°，∴∠MAD＝45°.

则设AD＝MD＝xcm，

在△ABD中，tan∠ABD＝＝＝，解得x＝20.即MD＝AD＝20cm，AB＝2AD＝40cm.

答：AB的长为40cm；(5分)

（2）如图，旋转6秒时，设交点为N，

∴∠BAN＝6×15°＝90°，

∴∠DAN＝30°，∴DN＝AD＝cm.

∴BN＝BM＋MD＋DN＝(20－20)＋20＋＝(cm)．(7分)

∴旋转6秒，光线AP与BC边的交点在距点Bcm处．

因＝8(秒)，则AP从AB旋转到AC再返回到AB需2×8＝16(秒)，2014＝125×16＋14，即AP旋转2014秒与旋转14秒时和BC的交点是同一点Q，如图．(9分)易求得CQ＝cm，BC＝40cm.∴BQ＝BC－CQ＝40－＝(cm)．∴光线AP旋转2014秒，与BC的交点Q在距点Bcm处．(12分)