湖南省永州市2022中考数学试卷解析版

湖南省永州市2022中考数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.）

1．如图，数轴上点对应的实数是（　　）.

A．-2 B．-1 C．1 D．2

【答案】A

【知识点】实数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：∵点E表示的数在-3和-1之间，
∴点E对应的实数不可能为-1，1，2，故C，B，D不符合题意；
∴点E表示的数是-2，故A符合题意；
故答案为：A.
【分析】观察点E在数轴上的位置可知点E表示的数在-3和-1之间，观察各选项，可得答案.

2．下列多边形具有稳定性的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【知识点】三角形的稳定性

【解析】【解答】解：∵三角形具有稳定性，故A，B，C不符合题意；
∴D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用三角形具有稳定性，可得到具有稳定性的图形的选项.

3．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【答案】A

【知识点】中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：图①是中心对称图形；图②是中心对称图形，图③是中心对称图形，图④不是中心对称图形，
∴是中心对称图形的有①②③.

故答案为：A.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，观察图形，可得到是中心对称图形的选项.

4．水州市大力发展“绿色养殖”，单生猪养殖2021年共出栏7791000头，同比增长29.33%，成为湖南省生猪产业发展高地和标杆、将数7791000用科学记数法表示为（　　）.

A． B． C． D．

【答案】C

【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：7791000=7.791×106.
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.

5．下列各式正确的是（　　）.

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】算术平方根；0指数幂的运算性质；有理数的减法；合并同类项法则及应用

【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、20=1，故B不符合题意；
C、3a-2a=a，故C不符合题意；
D、2-（-2）=2+2=4，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用正数的算术平方根只有一个，可对A作出判断；利用任何不等于0的数的0次幂为1，可对B作出判断；合并同类项是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对C作出判断；利用减去一个数等于加上这个数的相反数，可对D作出判断.

6．下列因式分解正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法

【解析】【解答】解：A、ax+ay=a（x+y），故A不符合题意；
B、3a+3b=3（a+b），故B符合题意；
C、a2+4a+4=（a+2）2，故C不符合题意；
D、a2+b不能分解因式，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用提公因式法，就是各项中都有的因式，就是公因式，可对A，B，D作出判断；利用完全平方公式，可对C作出判断.

7．我市江华县有“神州摇都”的美涨，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小.如图为类似“长鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是（　　）.

A． B． C． D．

【答案】B

【知识点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小，如图为类似“长鼓”的几何体，
∴它的俯视图是圆.

故答案为：B.
【分析】俯视图就是从几何体的上面往下看，所看到的平面图形，利用已知条件，观察几何体，可得答案.

8．李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为（　　）.

A． B． C． D．

【答案】C

【知识点】简单事件概率的计算

【解析】【解答】解：∵在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座随机安排，
∴第一场一共有3种情况，“心理”专题讲座被安排在第一场的只有1种情况，
∴P（“心理”专题讲座被安排在第一场）=.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知一共有3种结果数，但心理”专题讲座被安排在第一场的只有1种情况，利用概率公式可求出结果.

9．如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　）.

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵∠C=60°，∠ABC=90°，点D为AC的中点，
∴BD=AD=CD
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=CD=2.
故答案为：C.
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得BD=AD=CD，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△BCD是等边三角形，利用等边三角形的性质，可求出BC的长.

10．学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动、师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校、设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（　　）.

A． B．

C． D．

【答案】A

【知识点】用图象表示变量间的关系

【解析】【解答】解：∵师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，
∴当0≤x≤30时，y随x的增大而增大；
∵用1小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动
∴当30＜x≤90时，y是一个定值；
∵之后队伍按原路匀速步行45分钟返校，
当90＜x≤135时，y随x的增大而减小；
∴能大致反映y与x关系的是A，
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件：师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，可知y随x的增大而增大；用1小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动，此时y是一个定值；之后队伍按原路匀速步行45分钟返校，可知y随x的增大而减小；据此可得答案.

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.）

11．若单项式的与是同类项，则m=　     　.

【答案】6

【知识点】同类项

【解析】【解答】解：∵ 单项式的与是同类项
∴m=6.

故答案为：6.
【分析】利用同类项中相同字母的指数相等，可求出m的值.

12．请写出一个比大且比10小的无理数：　                 　.

【答案】（答案不唯一）

【知识点】实数大小的比较；估算无理数的大小

【解析】【解答】解：∵
∴ 比大且比10小的无理数可以是.

故答案为：.
【分析】利用估算无理数的大小，可知，由此可写出一个比大且比10小的无理数.

13．“闪电足球队”参加市中小学生足球比赛，在五场小组赛中，该足球队的进球数分别为：2，0，1，2，3，则此组数据的众数是　     　.

【答案】2

【知识点】众数

【解析】【解答】解：数据2，0，1，2，3中2出现了2次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数为2.

故答案为：2.
【分析】一组数据中出现次数最多的数是众数，可得到已知数据的众数.

14．解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是　         　.

【答案】x（x+1）

【知识点】解分式方程

【解析】【解答】解： 分式方程的最简公分母为x（x+1）.

故答案为：x（x+1）.
【分析】观察此分式方程中的分母，可得到此分式方程的最简公分母.

15．已知一次函数的图象经过点，则　     　.

【答案】1

【知识点】一次函数的定义

【解析】【解答】解：∵ 一次函数的图象经过点 ，
∴m+1=2
解之：m=1.
故答案为：1.
【分析】将点（m，2）代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.

16．如图，是的直径，点、在上，，则　     　度.

【答案】120

【知识点】圆周角定理

【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC
∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°.
故答案为：120.
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠AOC的度数，再利用邻补角的定义求出∠BOC的度数.

17．如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点为网格线的交点.若线段绕原点顺时针旋转90°后，端点的坐标变为　          　.

【答案】（2，-2）

【知识点】坐标与图形变化﹣旋转

【解析】【解答】解：如图，

旋转后的点A的坐标为（2，-2）.

故答案为：（2，-2）.
【分析】将线段OA绕着点O顺时针旋转90°，画出旋转后的线段，可得到旋转后的点A的坐标.

18．我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则　     　.

【答案】3

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，
设AF＝DE＝x，
∴AE＝x−1，
在Rt△AED中，AE2＋ED2＝AD2，
∴（x−1）2＋x2＝52，
解得：x1＝4，x2＝−3（舍去），
∴AE=x−1＝3，
故答案为：3．
【分析】利用已知条件可得到AD，EH的长；设AF＝DE＝x，可表示出AE的长；在Rt△AED中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出AE的长.

三、解答题（本大题共8个小题，共78分.）

19．解关于的不等式组：

【答案】解：解不等式（1）得，

解不等式（2），得

所以，原不等式组的解集是

【知识点】解一元一次不等式组

【解析】【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.

20．先化简，再求值：，其中.

【答案】解：原式

当时，原式

【知识点】利用分式运算化简求值

【解析】【分析】将括号里的分式通分计算，将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将x的值代入化简后的代数式进行计算.

21．“风华中学”计则在劳动技术课中增设剪纸、陶艺，厨艺、刺绣、养殖等五类选择性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完整统计图表：

样本中选择各技能课程的人数统计表

请根据上述统计数据解决下列问题：

（1）扇形统计图中　     　

（2）所抽取样本的样本容量是　     　.频数统计表中　     　.

（3）若该校有2000名学生，请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数.

【答案】（1）20

（2）200；50

（3）解：（人）

答：全校有意向选择“养殖”技能课程的学生约200人.

【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图

【解析】【解答】解：（1）m％=1-10％-35％-10％-25％=20％，
∴m=20.
故答案为：20.
（2）抽取样本的样本容量为20÷10％=200；
a=200×25％=50，
故答案为：200，50.
【分析】（1）利用扇形统计图求出m的值.
（2）用选择陶艺的人数÷选择陶艺的人数所占的百分比，列式计算求出抽取样本的样本容量；a=抽取的人数×25％，列式计算可求出a的值.

（3）利用该校的人数×有意向选择“养殖”技能课程的人数所占的百分比，列式计算即可.

22．受第24届北京冬季奥林匹克运动会的形响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了24秒；第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了20秒.

（1）求的值；

（2）设小勇从滑雪道端滑到瑞的平均速度为米/秒，所用时间为秒，请用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）.

【答案】（1）解：根据题意，得
解之：
答：x的值为3.

（2）解：

【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题

【解析】【分析】（1）利用路程不变，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
（2）由（1）可知总路程为120，即可得到v与t之间的函数解析式.

23．如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点.

（1）请用尺规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）：

（2）根据图形猜想四边形为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整.

证明：∵四边形是平行四边形，

∴

∵      ▲      .（两线平行，内错角相等）.

又∵平分，平分，

∴，

∴.

∴      ▲      （　　）（填推理的依据）

又∵四边形是平行四边形.

∴.

∴四边形为平行四边形（　　）（填推理的依据），

【答案】（1）解：（1）如图，

DE就是所求作的图形.

（2）证明：∵四边形是平行四边形，

∴

∵.（两线平行，内错角相等）.

又∵平分，平分，

∴，

∴.

∴（内错角相等，两线平行）（填推理的依据）

又∵四边形是平行四边形.

∴.

∴四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）

【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的定义；作图-角的平分线

【解析】【分析】（1）此题的作法正确，画出图形即可.
（2）利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质可推出∠ADB=∠DBC，利用角平分线的定义去证明∠EDB=∠DBF，利用内错角相等，两直线平行，可证得DE∥BF；然后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得结论.

24．为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地、、、四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示），、、、四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）.

方案一：如图2所示，沿正方形的三边铺设水管；

方案二：如图3所示，沿正方形的两条对角线铺设水管.

（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短：

（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），

满足，，、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由.（参考数据：，）

【答案】（1）解：方案一：（米）

方案二：（米）

所以方案二总长度更短

（2）解：如图，作，，垂足分别为和.则容易证明（省略）

∵，

∴（米），

，

总长度：（米）

∵

所以小明的方案总长度最短.

【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形

【解析】【分析】（1）利用已知条件可知正方形的边长为50m，利用方案一：沿正方形ABCD的三边铺设水管，可求出铺设水管的总长度；方案二：沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管，利用勾股定理求出对角线的长，再求出铺设水管的总长度；然后比较大小，可作出判断.
（2）作EG⊥AB，FH⊥CD，利用HL证明Rt△AEG≌Rt△BEG≌Rt△DFH≌Rt△CFH，利用全等三角形的性质可证得AG=BG=DH=CH，同时可求出CH的长；再利用解直角三角形求出GE，FH的长，可得到EF，GH的长；然后求出设水管的总长度；比较大小，可得答案.

25．如图，已知，是的直径，是的切线，点在的延长线上，，交于点，

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若的面积，求四边形的面积.

【答案】（1）证明：∵是的直径，是的切线，

∴，

∴

∴

（2）证明：∵，∴

∵，

∴

∵是直径，∴

∵，∴

∴

（3）解：∵∴

∴

∴

∵

∴，，

∴

【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用切线的性质可证得∠ABC+∠MBC=90°，然后利用三角形的内角和定理和余角的性质可证得结论.
（2）利用等边对等角可证得∠BAC=∠ACE，可推出∠ACD=∠ACE；利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠EAC=∠DAC=90°；然后利用ASA证明△AEC≌△ADC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（3）易证AB∥CD，可推出△AEO∽△DEC，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式；利用相似三角形的性质可求出△AOF，△COF，△CDF的面积，然后求出四边形AOCD的面积.

26．已知关于的函数.

（1）若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；

（2）若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围.

（3）阅读下面材料：

设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：

①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以；

②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即；

③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需.

综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为：

请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：

若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围.

【答案】（1）解：根据题意，得

解之，得，所以

函数的表达式或，当时，的最小值是0

（2）解：根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以

（3）解：函数的图象

图1：

即

所以，的值不存在.

图2：

即的值.

图3：

即

所以的值不存在

图4：

即

所以的值不存在.

图5：

即

所以的值为

图6：函数与轴的交点为

所以的值为0成立.

综上所述，的取值范围是或.

【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用

【解析】【分析】（1）将a的值及点（1，-4），（2，1）代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到函数解析式.
（2）将a，b，c代入函数解析式，由y=0，可得到关于x的一元二次方程，根据函数图象与x轴有交点，可得到b2-4ac≥0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）抓住已知条件：函数y=ax2-2x+3的图象在直线x=1的右侧，与x轴有且只有一个交点，分别画出函数图象，分情况讨论，可得到关于a的不等式组，分别求出不等式组的解集，可确定出a的取值范围.