高中数学复习专题：常见递推数列通项的九种求解方法

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常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一：（可以求和）累加法例1、在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。解析：             上述个等式相加可得：∴             评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。【类型一专项练习题】1、已知，（），求。           2、已知数列，=2，=+3+2，求。       3、已知数列满足，求数列的通项公式。4、已知中，，求。          5、已知,,求数列通项公式. 6、 已知数列满足求通项公式？7、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式                                                8、 已知数列满足，求数列的通项公式。9、已知数列满足，，求。            10、数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；                   （II）求的通项公式．         11、设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则　　；当时，　　　　　（用表示）．答案:1. 2.   3.  4. 5. 6.   7.   8.   9. 10.(1)2 (2) 11.(1)5 (2)  类型二： （可以求积）累积法例1、在数列中，已知有，()求数列的通项公式。解析：又也满足上式；        评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。【类型二专项练习题】1、  已知，()，求。             2、已知数列满足，，求。        3、已知中，，且，求数列的通项公式. 4、已知， ，求。                 5、已知,,求数列通项公式.      6、已知数列满足，求通项公式？                7、已知数列满足，求数列的通项公式。8、已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项   9、设{an}是首项为1的正项数列, 且(n + 1)a- na+an+1·an = 0  (n = 1, 2, 3, …)，求它的通项公式.                            10、数列的前n项和为，且，＝，求数列的通项公式.   答案：1. 2.   3.   4.   5.   6. 7.   8.        9.   10.                                            类型三：待定常数法可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。例1  在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。解析：设，则，于是是以为首项，以3为公比的等比数列。【类型三专项练习题】1、 在数列中， ，，求数列的通项公式。 2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式3、已知数列{a}中，a=1，a= a+ 1求通项a． 4、在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式. 5、在数列{an}中，求.             6、已知数列满足求数列的通项公式. 7、设二次方程x-x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用表示a；     （2）求证：数列是等比数列；（3）当时，求数列的通项公式            8、在数列中，为其前项和，若，，并且，试判断是不是等比数列？  答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.(1) (3) 8.是类型四： 可将其转化为-----（*）的形式，列出方程组,解出还原到（*）式，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出。例1  在数列中， ，，且求数列的通项公式。解析：令得方程组        解得则数列是以为首项，以2为公比的等比数列     评注：在中，若A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列。例2   已知、,,求解析：令，整理得      ；两边同除以得，，令，令，得       ∴，故是以为首项，为公比的等比数列。 ，即，得【类型四专项练习题】1、已知数列中，,,，求。2、 已知 a1=1，a2=，=-,求数列｛｝的通项公式.3、已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。4、数列：， ，求数列的通项公式。答案：1. 2. 3.(3) 4.      类型五： （且）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。例1  设在数列中， ，求数列的通项公式。解析：设 展开后比较得这时是以3为首项，以为公比的等比数列即，例2   在数列中， ，求数列的通项公式。解析：，两边同除以得是以=1为首项，2为公差的等差数列。     即例3          在数列中， ，求数列的通项公式。解析：在中，先取掉，得令，得，即；然后再加上得   ； 两边同除以，得是以为首项，1为公差的等差数列。，   评注：若中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。例4  已知数列满足，求数列的通项公式。解析：在中取掉待定令，则，   ；再加上得，，整理得：，令，则令  ；即；数列是以为首项，为公比的等比数列。，即；整理得类型5专项练习题：1、设数列的前n项和，求数列的通项公式。                                   2、已知数列中，点在直线上，其中（1）       令求证：数列是等比数列；（2）       求数列的通项 ；                   3、已知，，求。    4、设数列：，求.5、已知数列满足，求通项6、在数列中，，求通项公式。7、已知数列中，,，求。8、已知数列｛a｝，a=1, n∈N，a= 2a＋3 n ,求通项公式a． 9、已知数列满足，求数列的通项公式。10、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式                                                       11、已知数列满足,求.          12、  已知数列满足，，求数列的通项公式。13、已知数列满足，求数列的通项公式。14、  已知，，求。              15、  已知中，，，求.        16、已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。答案：1. 2.(2) 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.(3)  类型六：（）倒数法例1      已知，，求。解析：两边取倒数得：，设则；令；展开后得，；；     是以为首项，为公比的等比数列。；即，得；评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。【类型六专项练习题】：1、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。2、已知数列{}满足时，，求通项公式。3、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。4、设数列满足求5、已知数列{}满足a1=1，，求6、在数列中，，求数列的通项公式. 7、若数列｛a｝中，a=1，a=  n∈N，求通项a． 答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.  类型七： 例1      已知数列前n项和.求与的关系；           （2）求通项公式.解析：时，，得；时，；得。（2）在上式中两边同乘以得；是以为首项，2为公差的等差数列；；得。【类型七专项练习题】：1、数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn.求数列{an}的通项an。2、已知在正整数数列中，前项和满足，求数列的通项公式.                                        3、已知数列{an}的前n项和为Sn = 3n – 2, 求数列{an}的通项公式. 4、设正整数{an}的前n项和Sn =，求数列{an}的通项公式. 5、如果数列{an}的前n项的和Sn =, 那么这个数列的通项公式?6、已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？ 答案：1. 2. 3. 4. 5. an = 2·3 6.                                           递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。