2021学年2.1.1 等式的性质与方程的解集教学设计

2.1.1　等式的性质与方程的解集

素养目标·定方向

必备知识·探新知

基础知识　　

1．等式的性质

思考1：下列各式是否正确？

①若＝，则x＝y；

②若x＝y，则＝；

③若x＋a＝y－a，则x＝y；

④若x＝y，则ax＝by.

提示：①正确，②③④错误．

2．方程的解集

(1)方程的解(根)：能使方程左右两边相等的未知数的值．

(2)方程的解集：一个方程所有的解组成的集合．

思考2：把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？

提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．

教学小测　

1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)

(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25(　　)

(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4)．(　　)

(3)用因式分解法解方程时部分过程为：

(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2(　　)

【解析】(1)(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.

(2)x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y)．

(3)若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.

【答案】(1)× (2)× (3)×

2．方程2(x－2)＋x2＝(x＋1)(x－1)＋3x的解集为__.

【答案】{－3}

3．若m(3x－y2)＝9x2－y4，则m＝__.

【答案】3x＋y2

4．若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a＝_____.

【解析】因为4x2－3(a－2)x＋25＝(2x)2－3(a－2)x＋(±5)2＝(2x±5)2，

即4x2－3(a－2)x＋25＝(2x＋5)2或4x2－3(a－2)x＋25＝(2x－5)2.

所以－3(a－2)＝20或－3(a－2)＝－20.

解得a＝－或.

【答案】－  

5．方程x2＋2x－15＝0的解集为{3，－5}.

解：x2＋2x－15＝0，即(x－3)(x＋5)＝0，

所以x＝3或x＝－5.

所以方程的解集为{3，－5}．

关键能力·攻重难

类型一　常用乘法公式的应用

典例剖析

典例1　(1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是(　　)

A．－2m2　 B．0　　

C．－2　 D．－1

(2)计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是(　　)

A．8x2－8y2　 B．8y2－8x2

C．8(x＋y)2　 D．8(x－y)2

思路探究：掌握常用公式是解题的关键．

【解析】(1)(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)

＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2.

(2)方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)

＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.

方法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]

＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)

＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2.

【答案】(1)C    (2)B

归纳提升：(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式．

(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算．

对点训练1．(1)如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为(　　)

A．49　 B．7

C．－7　 D．7或－7

(2)已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为____.

【解析】(1)(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40，即(a－b)2＝49，则a－b＝±7.

(2)a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.

【答案】(1)D   (1)7

类型二　十字相乘法分解因式

典例剖析

典例2　分解因式：

(1)x2＋x－2；(2)x2－x＋1；

(3)2x2＋11x＋12；(4)5x2－7x－6.

思路探究：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项．分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．

解：

归纳提升：十字相乘法因式分解的形式

尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：

这里按斜线交叉相乘的积的和就是a1c2＋a2c1，如果它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c中一次项的系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1是上图中上面一行的两个数，a2，c2是下面一行的两个数．

对点训练

2．分解因式：

(1)x2＋x－6；

(2)6x2－x－1.

解：(1)x2＋x－6＝(x－2)(x＋3)．

(2)6x2－x－1＝(2x－1)(3x＋1)．

类型三　方程的解集

典例剖析

典例3　求下列方程的解集：

(1)－＝1；(2)－＝1.

思路探究：

解：(1)去分母，得2(2x＋1)－(5x－1)＝6.

去括号，得4x＋2－5x＋1＝6.

移项，得4x－5x＝6－2－1.

合并同类项，得－x＝3.

系数化为1，得x＝－3.

所以方程的解集为{－3}．

(2)原方程可化为－＝1.

去分母，得30x－7(17－20x)＝21.

去括号，得30x－119＋140x＝21.

移项、合并同类项，得170x＝140.

系数化为1，得x＝.

所以方程的解集为{}．

归纳提升：解含有分数系数的一元一次方程时应注意以下三点：(1)分母含有小数的应先化小数分母为整数分母，再去分母；(2)分子如果是一个多项式，去掉分母后，要添上括号；(3)去分母时，方程两边所有的项都乘以各分母的最小公倍数．

对点训练

3．如果方程－8＝－的解集与方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－的值．

解：解方程－8＝－，去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)，

去括号，得2x－8－48＝－3x－6，移项、合并同类项，得5x＝50.

系数化为1，得x＝10.

把x＝10代入方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1，

得4×10－(3a＋1)＝6×10＋2a－1，解得a＝－4.

当a＝－4时，a－＝－4－＝－.

易混易错警示　忽略系数为零

典例剖析

典例4　求关于x的方程(a＋3)x＝b－1的解集．

错因探究：未知数的系数含有字母，a＋3与0的关系不确定，因此应对a进行讨论，切勿直接利用等式的性质得出x＝.

解：当a＝－3，b＝1时，

由(a＋3)x＝b－1得0·x＝0，此时解集为R；

当a＝－3，b≠1时，

由(a＋3)x＝b－1得0·x＝b－1，

此时解集为∅；

当a≠－3时，由(a＋3)x＝b－1，

得x＝，此时解集为{}．

综上，当a＝－3，b＝1时，方程的解集为R；

当a＝－3，b≠1时，方程的解集为∅；

当a≠－3时，方程的解集为{}．

误区警示：在解方程时，若未知数的系数含有字母，则利用等式的性质2进行变形时，必须考虑未知数的系数是否等于0.

学科核心素养　恒等式的定义及其证明

典例剖析

恒等式的定义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．

(1)恒等变形：把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．

(2)恒等式的证明方法：证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．

典例5　求证：＋＝.

思路探究：用作差法证明左－右＝0.

【解析】＝＝＝－，

∴＝－，＝－.

∴左－右＝＋＋

＝－＋－＋－＝0.

故原式恒成立．

课堂检测·固双基

1．下列由等式的性质进行的变形，错误的是(　　)

A．如果a＝3，那么＝

B．如果a＝3，那么a2＝9

C．如果a＝3，那么a2＝3a

D．如果a2＝3a，那么a＝3

【解析】如果a＝3，那么＝，正确，故选项A不符合题意；如果a＝3，那么a2＝9，正确，故选项B不符合题意；如果a＝3，那么a2＝3a，正确，故选项C不符合题意；如果a＝0时，两边都除以a，无意义，故选项D符合题意．故选D．

【答案】D

2．下列分解因式正确的是(　　)

A．x2＋y2＝(x＋y)(x－y)

B．m2－2m＋1＝(m＋1)2

C．(a＋4)(a－4)＝a2－16

D．x3－x＝x(x2－1)

【解析】A．原式不能分解，错误；B．原式＝(m－1)2，错误；C．原式＝a2－16，正确；D．

原式＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)，错误．故选C．

【答案】C

3．若方程(x－2)(3x＋1)＝0，则3x＋1的值为__.

【解析】由方程(x－2)(3x＋1)＝0，

可得x－2＝0或3x＋1＝0，解得x1＝2，x2＝－，

当x＝2时，3x＋1＝3×2＋1＝7；

当x＝－时，3x＋1＝3×(－)＋1＝0.

【答案】7或0

4．不论x取何值等式2ax＋b＝4x－3恒成立，则a＋b＝____.

【解析】∵不论x取何值等式2ax＋b＝4x－3恒成立，

∴x＝0时，b＝－3，x＝1时，a＝2，即a＝2，b＝－3，∴a＋b＝2＋(－3)＝－1.

【答案】－1

5．因式分解：

(1)x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y.

(2)4xy＋1－4x2－y2.

解：(1)x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y＝(x＋2y)(x＋y)＋2(x＋2y)＝(x＋2y)(x＋y＋2)．

(2)4xy＋1－4x2－y2＝1－(4x2－4xy＋y2)＝1－(2x－y)2＝(1＋2x－y)(1－2x＋y)．