2021-2022学年安徽省宿州市萧县鹏程中学职高班高一（下）第一次质检数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年安徽省宿州市萧县鹏程中学职高班高一（下）第一次质检数学试卷

副标题

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法正确的是(    )

A. 若，则 B. 零向量的长度是
C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是在同一条直线上的向量

3. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转，所得点对应的复数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知平面向量，满足，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知中，内角，，的对边分别为，，，，若为直角三角形，则的面积为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8. 设复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 内角对边分别是，，已知，，，则可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 下列说法正确的有(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与的方向相同或相反
D. 若共线，则，，三点共线

12. 已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是(    )

A. 若是锐角三角形，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是等腰三角形
D. 若是等边三角形，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 是虚数单位，已知复数满足等式，则的模______．
14. 已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量______用表示．

15. 已知三角形的三边之比为：：，则该三角形最大角的余弦值是______．
16. 如图所示，在矩形中，，分别为和上的点，且，若，其中，，则的值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 已知中，点是线段的中点，点是线段的一个靠近的三等分点，设，．
    用向量与表示向量；
    若，判断、、是否共线，并说明理由．

18. 北京年冬奥会将于年月日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，．
    求氢能源环保电动步道的长；
    若_____；求花卉种植区域总面积．
    从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

19. 已知向量，，在下列条件下分别求的值：
    与平行；
    与的夹角为．
20. 已知向量与的夹角为，，求：
    ；
    ．
21. 设是线段上的一点，点，的坐标分别是，
    当是线段的中点时，求点的坐标；
    当时线段的一个三等分点时，求点的坐标．
22. 已知，，分别为三个内角，，的对边，
    求；
    若，的面积为；求，．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
复数的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：对于，两个向量模相等，向量不一定平行，故A错误，
对于，零向量的长度是，故B正确，
对于，长度相等，方向相同的向量叫相等向量，故C错误，
对于，共线向量不一定是在同一条直线上的向量，向量可以平移，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合共线向量，零向量，相等向量，平行向量的定义，即可求解．
本题主要考查共线向量，零向量，相等向量，平行向量的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，，，，
又由，即，
则，，则有；
故选：．
根据题意，求出向量的坐标，又由可得，求出、的值，即可得答案．
本题考查向量的坐标计算，涉及向量加法、减法的运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：复数在复平面内对应的点为，

因为，
则，
将点绕着原点逆时针旋转，得到的点与点关于轴对称，即点，
因此，所求复数为．
故选：．
作出复数在复平面对应的点，写出点的坐标，求出旋转后复数对应的点的坐标，利用复数的几何意义即可得解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，，所以，，
又因为，所以，
所以，
所以．
故选：．
根据向量运算法则直接计算即可．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由，要使三角形有两解，就是要使以为圆心，半径为的圆与有两个交点，
当时，圆与相切；
当时交于点，也就是只有一解，
，且，即，
由正弦定理以及可得：，
，
解得的取值范围是．
故选：．
由题意判断出三角形有两解时，的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出的范围即可．
此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
由正弦定理可得，，即，
，
，
，
又为直角三角形，
若，则，，，
则，
若，则，，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．
本题主要考查解三角形，掌握正弦定理，以及余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
利用复数的除法化简复数，再利用复数乘方的周期性可求得结果．
本题考查了复数的四则运算法则、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由正弦定理知：，
又，，，
所以，
因为，
所以，且，
所以或．
故选：．
由正弦定理及大边对大角即可求解．
本题考查了正弦定理及大边对大角在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为为中点，
所以，A正确；
由为的重心可得，，
同理，，
所以，B正确；
因为，
所以，
，D正确．
故选：．
由已知结合向量的线性表示及三角形的重心性质分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了平面向量的线性表示及三角形的重心的性质的简单应用，数基础试题．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，不能由，推出，故A错误；
根据向量相等的传递性，若，则，故B正确；
若，则不能推出与的方向相同或相反，例如时，的方向是任意的；
若共线，则，，三点共线，故D正确，
故选：．
由题意利用两个向量共线的性质，得出结论．
本题主要考查两个向量共线的性质，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确；
对于，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；
对于，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确．
故选：．
利用诱导公式及正弦函数的性质可判断，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断．
本题考查了正弦定理的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为复数满足等式，
则，即，则，
所以，
故答案为：．
由已知可得则，然后化简即可求解．
本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：点是的边的中点，，
，
故答案为：．
根据平面向量的加减法运算和向量共线定理，即可求出结果．
本题考查平面向量的线性运算和向量共线定理，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设三边分别为，，，设最大角为，
由余弦定理可得，．
故答案为：．
先设出三边长，然后根据大边对大角及余弦定理即可求解．
本题主要考查了三角形的大边对大角及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，，
，
，
，
，
，，，
故答案为：．
利用平面向量基本定理，平面向量的线性运算，列出方程组求解即可．
本题考查平面向量基本定理，平面向量的线性运算，属于中档题．
 

17.【答案】解：，．
，


，
，
，
、、三点不共线． 

【解析】由平面向量的加法法则能用向量与表示向量．
由，能求出、、三点不共线．
本题考查向量的求法，考查三点是否共线的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量的运算法则的合理运用．
 

18.【答案】解：，，
，，由余弦定理得，
，．
选：，在中，由正弦定理得，．
，由知代入上式可得，解得，
，
，
，，故，
花卉种植区域总面积为．
选：，在中，由余弦定理得，解得或舍去，
，，
，，故，
花卉种植区域总面积为． 

【解析】，利用余弦定可求的长；
选：由正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，可分别求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
选：利用余弦定理求出，利用面积公式可求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
本题考查正余弦定理的应用，以及三角恒等变换，属中档题．
 

19.【答案】解：，，，．
又与平行，，即，解得．
，，．
与夹角为，，
即，解得． 

【解析】首先求出与，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可．
首先利用向量数量积的坐标运算求出，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可．
本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

20.【答案】解：已知，
则；
已知向量与的夹角为，，
则． 

【解析】由数量积的运算律可得所求等于，代入已知即可求；
由，由数量积的运算律和数量积公式即可求出．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
 

21.【答案】解：是线段上的一点，点，的坐标分别是，
当是线段的中点时，点分有向线段 成的比，设，
则，，故点的坐标为．
当是线段的一个三等分点时，点分有向线段 成的比 或，设，
若，则，，故点的坐标为 ．
若，则，，故点的坐标为．
综上可得，点的坐标为 或 ． 

【解析】由题意，利用定比分点分有向线段成的比的定义，可得，再利用定比分点坐标公式求得结果．
由题意，利用定比分点分有向线段成的比的定义，可得或，再分类讨论，利用定比分点坐标公式求得结果．
本题主要考查定比分点分有向线段成的比的定义，定比分点坐标公式，属于基础题．
 

22.【答案】解：由正弦定理得：，
即
，
即
．

；
若，的面积，

再利用余弦定理可得：
，

结合求得． 

【解析】已知等式利用正弦定理化简，整理后得到即可求出的值；
若，由的面积为，求得，再利用余弦定理可得，结合求得和的值．
本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．