2022届贵州省贵阳市五校高三联合考试（七）数学（文）试题含解析

这是一份2022届贵州省贵阳市五校高三联合考试（七）数学（文）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届贵州省贵阳市五校高三联合考试（七）数学（文）试题一、单选题1．集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简集合后直接求交集即可.【详解】可知，，所以.故选：B．2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（       ）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据题意先表示出复数的代数形式，再用模长公式计算即可.【详解】由已知得，所以，故选：B3．在边长为2的正方形中，是的中点，则（       ）A．2 B． C． D．4【答案】A【分析】建立直角坐标系，用向量法即可【详解】在平面直角坐标系中以为原点，所在直线为轴建立坐标系，则，，，，所以，故选：A4．已知正方形ABCD中E为AB中点，H为AD中点，F，G分别为BC，CD上的点，，，将沿着BD折起得到空间四边形，则在翻折过程中，以下说法正确的是（       ）．A． B．EF与GH相交C．EF与GH异面 D．EH与FG异面【答案】B【分析】由条件可得且，则四边形为梯形，从而可得出答案.【详解】由，，则且由E为AB中点，H为AD中点，则且所以且，则四边形为梯形.梯形的两腰延长必交于一点所以相交，       EH与FG平行故选项A，C，D不正确，选项B正确.故选：B5．已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为（       ）．A．4 B．9 C． D．【答案】A【分析】画出可行域，结合目标函数的几何意义即可求出最小值.【详解】如图所示，目标函数即，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小．据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程，可得．据此可知目标函数的最小值为：．故选：A．6．《孙子算经》一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加3颗．问：五人各得几何？”其大意为“有5人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的已知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子数为（       ）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式求出首项即可计算作答.【详解】依题意，这5人得到的橘子数按从小到大的顺序排成一列构成公差的等差数列，而数列的前5项和，由，解得，则，所以分得橘子最多的人所得的橘子数为18.故选：D7．若在区间上单调递增，则实数的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦函数性质得出的含有0的增区间，从而可确定的最大值．【详解】由得，即函数在区间上递增，可见的其它增区间不含有实数0，又在上递增，即，故的最大值是，故选：B．8．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．9．若，，则x，y，z的大小关系为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，可得和，根据（）为增函数，即可比较三者大小.【详解】根据指数与对数的关系和（）为增函数：，由，即故可得，即综上：故选：D.10．若，则sin的值为（       ）A． B． C．－ D．－【答案】D【分析】用两角差的正弦公式和二倍角公式化简得，再两边同时平方即可求出答案.【详解】，则，，因为所以，两边同时平方得：，所以.故选：D.11．已知曲线在处的切线为，若与相交，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出切线，再根据圆心到直线的距离小于圆的半径列式可解得结果.【详解】因为，所以切线的斜率为，又时，，所以切点为，所以切线的方程为，即，由圆：得，所以圆心为，半径为，因为直线与圆相交，所以，即，解得，所以实数的取值范围是：.故选：A12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（       ）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】设，，根据和抛物线性质得出，再根据双曲线性质得出，，最后根据余弦定理列方程得出、间的关系，从而可得出离心率．【详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为、，不妨设，，则，为双曲线上的点，则，即，得，，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，解得或.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．二、填空题13．已知，，，且，则______．【答案】【分析】由向量垂直的坐标表示计算可得．【详解】由题意，又，则，故．故答案为：．14．已知抛物线经过点，则抛物线的准线方程是______．【答案】【分析】把已知点坐标代入求得后可得准线方程．【详解】由抛物线经过点，则，即，又抛物线的焦点在轴负半轴，故准线方程为．故答案为：．15．已知数列的前n项和为，满足，，则______．【答案】160【分析】先通过递推式证明是等比数列，再按照等比数列的求和公式求解即可.【详解】因为，当时，，，解得．当时，两式相减得，化简得：，又，故是以4为首项，3为公比的等比数列，则．故答案为：160.16．若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为______．【答案】【分析】找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可.【详解】如下图，作出简图，由题意知，，设函数的最小正周期为，因为，则，，结合有且，解得．故答案为：三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，且．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC的面积S．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角(的正弦)，进而利用同角三角函数的关系得到，再根据，结合两角和的正切公式得到关于的方程，求得的值，同时注意根据已知条件判定角为锐角，得到角的值；（2）利用同角三角函数的关系，求得三个内角的正弦值，进而利用正弦定理求得三角形另外两边的长，利用三角形面积公式计算即得S．【详解】(1)∵，∴,∴，即,又∵∴,解得或，又∵，∴角为钝角，∴角为锐角，∴，∴；(2)由（1）知，，，及已知条件,∴,，，又∵，∴，，∴.18．学习强国”APP是由中宣部主管以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成了党员干部群众学习的“新助手”，为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况，研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如下表所示：分数人数501002030 (1)现用分层抽样的方法从80分及以上的党员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机选取2人作为学习小组长，求所选取的两位小组长的分数都在上的概率；(2)为了调查“学习强国”APP得分情况是否受到学习时长的影响，研究人员随机抽取了部分党员作出调查，得到的数据如下表所示： 日均学习两小时以上日均学习不足两小时分数超过80220150分数不超过808050 判断是否有99%的把握认为“学习强国”APP得分情况与学习时长有关.附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828 【答案】(1)；(2)没有的把握认为“学习强国”得分情况与学习时长有关.【分析】（1）根据分层抽样求出分数在、应抽人数，由古典概率公式即可求解；（2）补全列联表计算的值与临界值比较即可判断.【详解】(1)由题意得，分数在的应抽人，记作，，分数在的应抽人，记作，，，选取人作为学习小组长的基本事件有，，，，，，，，，，共个，其中两位小组长的分数都在上的有，，，共个基本事件，所以所求概率.(2)补全列联表如下： 日均学习两小时以上日均学习不足两小时总计分数超过80220150370分数不超过808050130总计300200500 所以，所以没有的把握认为“学习强国”得分情况与学习时长有关.19．如图所示，点在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱下底面的内接四边形，且为圆柱下底面的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1．(1)证明：；(2)，为的中点，点在线段上，且，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先通过线线垂直证明线面垂直，再证明线线垂直；（2）将问题转化为，再求即可.【详解】(1)证明：如图，∵为直径，点在圆上且不同于，点，∴，又∵为母线，∴平面，又平面，从而，又，且平面，∴平面，又平面，∴．(2)由已知得，，∵为的中点，，∴，又在中，，则．20．已知点，直线l：y=4，P为曲线C上的任意一点，且是P到l的距离的.(1)求曲线C的方程；(2)若经过点F且斜率为的直线交曲线C于点M､N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）设,根据题意列出方程整理即得；（2）直线的方程为,与曲线C方程联立消去整理得：,检验判别式并利用弦长公式求得，利用韦达定理和中点坐标公式及直线垂直时的斜率关系得到中垂线的方程，进而求得的坐标，得到,从而证得结论.【详解】(1)设,由已知得,整理得：,此即为曲线C的方程；(2)经过点F且斜率为的直线的方程为,与曲线C方程联立得：,消去整理得：,恒成立,设,则,，设线段的中点为,则，，线段的中垂线的斜率为，方程为,令,解得，即为点的纵坐标，∴,∴（为定值）21．已知，函数，．(1)讨论的单调性；(2)过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数．【答案】(1)时， 在递增；时，的增区间是，减区间是．(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间；（2）根据导数的几何意义求出过原点的切线方程的斜率，由斜率之间的关系可得，再通过构造函数判断其有解即可.【详解】(1)的定义域是，，时，恒成立，在递增，时，时，，时，，的增区间是，减区间是．综上：时，在递增；时，的增区间是，减区间是．(2)证明：，，设的切线方程是，则，显然，，切点为，于是，解得，所以的斜率为e，于是的斜率为，设的切点坐标为，由，，又，所以，整理得，设，，当时，，在上递增，而，所以，时，，在上递减，又，所以存在，使得，因此关于的方程有正数解．所以存在，使得切线和的斜率互为倒数．【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数的几何意义及构造函数解决方程有解的问题.22．在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数），以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线、的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知射线：（），，若与、的公共点分别为、，求的最大值.【答案】(1)，(2)2【分析】（1）先求出的普通方程，再按照公式将、化为极坐标方程即可；（2）设出点A、B的极坐标，利用曲线、的极坐标方程求出，再结合极坐标的几何意义及求范围即可.【详解】(1)因为，所以曲线可化为...曲线化为普通方程为，即，因为，所以曲线化为.(2)设点A、B的极坐标分别为和因为点A在曲线上，所以，则;同理，点B在曲线上，所以，由极坐标的几何意义有，因为，所以.故，即的最大值为.23．已知函数.(1)解不等式：.(2)记的最大值为.若正实数满足，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接分当，，分别解不等式最后取并集即可；（2）由可得，结合基本不等式即可求出最小值.【详解】(1)当时，，显然成立，故；当时，，，解得，故；当时，，显然不成立；所以，不等式的解集是.(2)由（1）得的最大值为3，即，故，因为当且仅当时，即时取等号.故的最小值为.