人教版 九年级上册 第22章 22.1二次函数图像与性质 同步强化测试卷B（原卷+答案解析）

人教版 九年级上册第22章 22.1二次函数图像与性质

 同步强化测试卷

答案解析

一．选择题：

1.下列函数：①y＝3；②y；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】利用二次函数定义进行分析即可．

【解答】解：①y＝3；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个，

故选：C．

2..抛物线y＝2（x﹣1）2+4的对称轴和顶点坐标分别是（　　）

A．直线x＝1，（1，﹣4） B．直线x＝1，（1，4） 

C．直线x＝﹣1，（﹣1，4） D．直线x＝﹣1，（﹣1，﹣4）

【解析】解：∵抛物线为y＝2（x﹣1）2+4，

∴对称轴是直线x＝1，

顶点坐标（1，4）．

故选：B．

3．将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为（　　）

A．y＝2（x+2）2+1 B．y＝2（x﹣4）2+1 

C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x﹣4）2﹣3

【解析】解：抛物线y＝2x2﹣4x+1可化y＝2（x﹣1）2﹣1，

将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，

则平移后的抛物线解析式为y＝2（x﹣1﹣3）2﹣1﹣2，即y＝2（x﹣4）2﹣3，

故选：D．

4．已知二次函数y＝（m+2），当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的值为（　　）

A． B． C． D．2

【解析】解：由y＝（m+2）x是二次函数．且当x＜0时，y随x的增大而增大，得：

，

解得：，

综上，m＝﹣，

故选：A．

5.在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：

有下列结论：①抛物找开口向下；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点（﹣1，﹣2）；④当0＜x＜2时，y＞2．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程ax2+bx+c＝0即y＝0时x的值取值范围，得出答案即可．

【解答】解；①由图表中数据可得出：x＝1时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项正确；

②∵x＝0和x＝3时的函数值相同，

∴对称轴为直线x，

∴当x时，y随x的增大而减小，故此选项错误；

③∵点（4，﹣2）关于对称轴的对称点为（﹣1，﹣2），

∴抛物线一定经过点（﹣1，﹣2），故此选项正确；

④当0＜x＜2时，y＞2，此选项正确．

故选：C．

6．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（　　）

A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3

【解答】解：把（3，0）与（2，﹣3）代入抛物线解析式得：，

由直线x=1为对称轴，得到﹣=1，即b=﹣2a，

代入方程组得：，

解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，

则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，

故选B

7.抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，b），（3，c），则a、b、c的大小关系是（　　）

A．c＞a＞b B．b＞a＞c 

C．a＞b＞c D．无法比较大小

【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x，然后比较三个点都直线x的远近得到a、b、c的大小关系．

【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝x2+x+2＝（x）2，

∴抛物线的对称轴为直线x，

∵（2，a）、（﹣1，b），（3，c），

∴点（3，c）离直线x最远，（﹣1，b）离直线x最近，

而抛物线开口向上，

∴c＞a＞b；

故选：A．

8.已知二次函数y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，当x＞1时，y随x的增大而减小，而m的取值范围是（　　）

A．m B．m C．m D．m

【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案．

【解答】解：∵y＝﹣x2+（2m﹣1）x﹣3，

∴对称轴为x，

∵a＝﹣1＜0，

∴抛物线开口向下，

∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，

∵当x＞1时，y随x的增大而减小，

∴1，解得m，

故选：D．

9.一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【解题思路】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．

【解答过程】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；

B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；

C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；

D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．

故选：B．

10.已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是，则m的取值范围是（　　）

A．m≥﹣2 B．0≤m C．﹣2≤m D．m

【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是，得出m；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．

【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x，

∴当x时，y有最小值，此时y1，

∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是，

∴m；

∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x，

∴当x[1﹣（）]＝﹣2时，y＝1，

∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m；

∴﹣2≤m．

解法二：画出函数图象，如图所示：

y＝x2+x﹣1

＝（x）2，

∴当x＝1时，y＝1；

当x，y，当x＝﹣2，y＝1，

∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是，

∴﹣2≤m．

故选：C．

二，填空题：（24分）

11.如果函数y＝（k﹣3）kx+1是二次函数，则k的值是　 　．

【分析】利用二次函数定义可得k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，再解出k的值即可．

【解答】解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，

解得：k＝0，

故答案为：0．

12.抛物线y＝x2+bx+c图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣4x+3，则b+c的值为　 　．

【解题思路】根据图象平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案．

【解答过程】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

所以将该函数图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的函数解析式为：y＝（x﹣2+3）2﹣1+2＝x2+2x+2，

所以b＝2，c＝2，

所以b+c＝4．

故答案是：4．

13.已知抛物线y＝x2﹣ax+a﹣1的顶点恰好在x轴上，则a＝　　．

【解析】解：x2﹣ax+a﹣1＝0中判别式Δ＝a2﹣4（a﹣1），

由题意得a2﹣4（a﹣1）＝0，

解得a＝2．

故答案为：2．

14.如果将抛物线y=x2 + 2x-1向上平移，使它经过点A(0,3),么所得新抛物线的解析式

是          

答案 y=x2+2x+3

15.当﹣7≤x≤a时，二次函数y（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝　 　．

【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（﹣3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．

【解答】解：∵y（x+3）2+5，

∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．

∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，

∴当x＝a时，二次函数y（x+3）2+5恰好有最大值3，

把y＝3代入函数解析式得到 3（x+3）2+5，

解得 x1＝﹣5，x2＝﹣1．

∴a＝﹣5．

故答案是：﹣5．

16.定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 　     　．

【解析】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的表达式为y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．

∵此抛物线的的对称轴为直线x＝＝＝，

∴当m＝1时，对称轴为直线x＝0，即y轴．故①正确；

∵当m＝2时，此二次函数表达式为y＝2x2﹣x，令x＝0，则y＝0，

∴函数图象过原点，故②正确；

∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；

∵m＜0，

∴对称轴x＝＝，抛物线开口向下，

∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．

即x＞时，y随x的增大而减小．

故④错误．

故答案为：①②③．

三．解答题（66分）

17.（6分）已知，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m．

（1）若图象经过原点，求m的值；

（2）若图象的对称轴是y轴，求m的值；

（3）若图象的顶点在x轴上，求m的值．

【解题思路】（1）图象过原点意味着解析式中的c＝0；

（2）对称轴为x0，求出m的值即可；

（3）图象的顶点在x轴上说明图象和x轴有唯一的交点，即△＝0．

【解答过程】解：∵抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m，

∴a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣m，

（1）若图象经过原点，则c＝0，

∴﹣m＝0，

∴m＝0；

（2）若图象的对称轴是y轴，即x＝0，

∴x0，

∴0，

∴m＝1；

（3）若图象的顶点在x轴上，则△＝0，

∴b2﹣4ac＝0，

∴m＝﹣1．

18.（8分）分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．

（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；

（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）．

【解析】解 （1）设函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）

由题意得，解得，

∴函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；

（2）∵图象的顶点为（﹣2，3），且经过点（1，﹣3），

设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）2+3，

把（1，﹣3）代入，得a（1+2）2+3＝﹣3，

∴a＝﹣，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3（或y＝﹣x2﹣x+）．

19.（8分）已知抛物线．
求这条抛物线的对称轴；
若该抛物线的顶点在轴上，求其解析式；
设点，在抛物线上，若，求的取值范围．

解：抛物线．
抛物线的对称轴为直线；
抛物线的顶点在轴上，
，
解得或，
抛物线为或；
抛物线的对称轴为直线，
则关于对称点的坐标为，
当，时，；
当，或时，

20.（10分）如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．

（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；

（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．

【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．

∴函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣，

点M坐标为（2，﹣3）；

（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），

因为AB＝5+1＝6，

且△ABM、△ABC的高分别是点M、点C纵坐标的绝对值，

所以S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC＝+＝36．

21.（10分）二次函数．

（1）求该二次函数的对称轴；

（2）过动点作直线轴，当直线与抛物线只有一个公共点时，求关于的函数表达式；

（3）若对于每一个值，它所对应的函数值都不小于1，求整数的值．

【答案】（1）；（2）；（3）1

【分析】

（1）根据抛物线的对称轴方程即可求解；

（2）由题意知直线经过顶点时，直线与抛物线只有一个交点，据此可得；

（3）根据题意可知抛物线开口向下，且顶点的纵坐标不小于1，依此得到不等式组，解之即可．

【详解】

解：（1）∵

∴二次函数的对称轴为直线

（2）由题意知直线的解析式为

∵直线与抛物线只有一个公共交点

∴

（3）∵拋物线的顶点坐标为

由题意可知

解得

∴整数m的值为1

22.（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线经过点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象写出不等式的解集；

（3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点,当时，求P点的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）坐标有或或

【分析】

(1)先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；

(2)将不等式变形为,进而得到二次函数图像在一次函数图像上方即可求解；

(3)先证明△PDQ为等腰直角三角形，进而求出 ，再分类讨论P点在直线AB上方或下方进而求解．

【详解】

解：(1)当时，，解得，

当时，，

则点，点，

把，，，分别代入得

解得：，，，

∴该抛物线的解析式为．

(2)由不等式，

得，

由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方，

则不等式的解集为；

(3)如图，作轴于点，交于点，

在中，∵，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

设点，则点，

当点在直线上方时，

，

即，解得，

则，

∴点的坐标为：．

当点在直线下方时，

，

即解得，

∴，

∴或，

综上所述，符合条件的点坐标有或或．

23.（12分）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如

下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：

（1）观察探究：

①写出该函数的一条性质：__________；

②方程的解为：__________；

③若方程有四个实数根，则的取值范围是__________．

（2）延伸思考：

将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．

【答案】（1）①关于y轴对称；②；③；（2）将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，当时，自变量的取值范围为或．

【分析】

（1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当y=-1时，自变量x的值，则可看作直线y=-1与函数的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线y=a与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；

（2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题．

【详解】

解：（1）①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，（答案不唯一）；

故答案为关于y轴对称；

②由题意及图象可看作直线y=-1与函数的图象交点问题，如图所示：

∴方程的解为；

故答案为；

③由题意可看作直线y=a与函数的图象有四个交点的问题，如图所示：

∴由图象可得若方程有四个实数根，则的取值范围是；

故答案为；

（2）由题意得：将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图所示：

∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或．